专题15 函数与函数图象的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题13 函数与函数的图象的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、函数的理解 1 类型二、函数的三种表示方法 3 类型三、求自变量的值或函数值 7 类型四、动点问题画函数图象 9 类型五、从函数的图象获取信息 13 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.变量与函数 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 3.函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 压轴题型讲练 类型一、函数的理解 例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 类型二、函数的三种表示方法 例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 (1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量； (2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）： 提出一个新概念所用的时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强； (3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？ 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 10 20 30 声音在空气中的传播速度 319 325 331 337 343 349 阅读上述材料，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪些量是变量？ (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (3)用含t的代数式表示v； (4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 类型三、求自变量的值或函数值 例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化． （1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为 ； （3）当r由变化到时，V由 变化到 ． 类型四、动点问题画函数图象 例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为 ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E 在正方形 的边上，且 ，点 P 沿 从点 B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点 N的纵坐标a的值为 ． 类型五、从函数的图象获取信息 例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是 ．（填写序号） ① 第所用的时间最长；  ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同；   ④ 第的平均速度最大． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是 ．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位：）的关系图，则下列说法正确的是 （填序号）． ①小明家离学校的距离是；②小华乘坐的公共汽车的速度是；③小华乘坐公共汽车后，在与小明离学校的距离一致． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是 （填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）下列各图中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（   ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 4．（2025八年级下·全国·专题练习）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（    ）      A．12 B．15 C．17.5 D．20 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形周长18，腰长为，底边为，写出关于的函数解析式是 ，定义域是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高h变化时圆柱的体积V也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________________________； (2)试写出V与h的函数关系式；（用含和h的式子表示） 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 13．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，用长为15m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在一边开了一个1m宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为()，求关于的函数关系式． (2)写出自变量的取值范围，并求出当时，所围苗圃的面积是多少？ 14．（2025七年级下·全国·专题练习）在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与当地温度之间有如下的近似关系： 当地温度 5 6 7 8 9 … 蟋蟀叫的次数y 14 21 28 35 42 … (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是______________； (2)①当地温度x（单位：）每增加，这种蟋蟀叫的次数y是怎样变化的？ ②这种蟋蟀叫的次数y与当地温度x之间的关系式为____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 15．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某工厂一车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件如图，分别表示甲、乙两组加工的数量（个）与甲组加工时间为之间的关系． 根据图象回答下列问题： (1)甲组检修机器的时长为________h； (2)甲组在检修机器前平均每小时加工零件_______个，乙组平均每小时加工零件________个； (3)求a的值． 17．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)长方形的长________，宽________； (2)直接写出________，________，_______； (3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 函数与函数的图象的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、函数的理解 1 类型二、函数的三种表示方法 3 类型三、求自变量的值或函数值 7 类型四、动点问题画函数图象 9 类型五、从函数的图象获取信息 13 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.变量与函数 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 3.函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 压轴题型讲练 类型一、函数的理解 例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义，对于两个变量、，当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，则称是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故A选项不符合题意； B选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故B选项不符合题意； C选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有个值与对应，不是的函数，故C选项符合题意； D选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项A不表示是的函数． 选项B：在这个图象中，对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选项B表示是的函数． 选项C：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表示是的函数． 选项D：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表示是的函数． 故答案为：B． 2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、表中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意； B、图中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意； C、图中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意； D、在的部分，每一个值都对应两个值，故不是的函数，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ①；③当取值时，有唯一的值对应； 即y是x的函数的是①③， 故选：C． 类型二、函数的三种表示方法 例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 (1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量； (2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式． 【答案】(1)气温，声速，气温 (2)随着的增大，也增大 (3)气温每升高，声速增加， 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数解析式 【分析】本题考查了变量之间的关系，函数解析式． （1）根据表格，结合变量的相关知识即可解答； （2）根据表格中的数据即可解答； （3）观察表格发现气温每升高，声速增加，据此可得函数解析式． 【详解】（1）解：上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量； 故答案为：气温，声速，气温； （2）解：由表可知，随着的增大，也增大； （3）解：从表中数据的变化．可知：气温每升高，声速增加， 所以与之间的函数表达式为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）： 提出一个新概念所用的时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强； (3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？ 【答案】(1)反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量 (2)13 (3)学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱 【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键． （1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案； （2）根据表格中两个变量变化的数据可得出答案； （3）根据表格提供变化情况得出结论． 【详解】（1）解：题表反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量． （2）解：由题意可得：当提出一个新概念所用的时间是时，学生对这个新概念的接受能力最强； （3）解：由表格中的数据可知，学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 10 20 30 声音在空气中的传播速度 319 325 331 337 343 349 阅读上述材料，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪些量是变量？ (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (3)用含t的代数式表示v； (4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温和声音在空气中的传播速度 (2)气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， (3) (4) 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，变量的定义以及变量之间的关系等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据声音在空气中的传播速度随着气温的变化而变化即可得到答案； （2）由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，据此可得答案； （3）根据（2）所求列式计算即可； （4）根据（3）所求求出此时声音在空气中传播的速度，再根据路程等于速度乘以时间列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中气温和声音在空气中的传播速度是变量； （2）解：由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， ∴气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了； （3）解：由题意得，； （4）解：， 答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】(1)1.5 (2)60，80，110 (3)270 (4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 类型三、求自变量的值或函数值 例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴且； 故答案为：且． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为 ． 【答案】或 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 解得：，符合题意， 当， 解得：，符合题意； 综上：，则x的值为或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则 ． 【答案】5 【知识点】程序流程图与代数式求值、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值，看懂程序图是解题的关键． 根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解， 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化． （1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为 ； （3）当r由变化到时，V由 变化到 ． 【答案】 圆柱的底面半径 圆柱的体积 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的概念 【分析】本题考查了函数定义，求解函数关系式，利用圆柱体积公式求解函数关系式是本题解题的关键． （1）根据函数之间两变量之间的关系即可得到答案． （2）根据圆柱的体积公式即可求得关系式． （3）将自变量r的变化值代入（2）中求得的解析式中即可． 【详解】解：（1）在这个变化的过程中，自变量为圆柱的底面半径，因变量为圆柱的体积； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为； （3）当时，, 当时，； 当r由变化到时，V由变化到． 故答案为：圆柱的底面半径，圆柱的体积，，，； 类型四、动点问题画函数图象 例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时，；，先求得，推出，在利用勾股定理求得． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 由图象可知；当点N与点B重合时，；． 在中，由勾股定理，可得． ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键． 根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解． 【详解】解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动， 当点运动到点时，，即， ∴， ∴， 当点从点运动到点时，的面积是， ∴， 解得，， ∴长方形的周长为， 故答案为： ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E 在正方形 的边上，且 ，点 P 沿 从点 B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点 N的纵坐标a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故答案为：． 类型五、从函数的图象获取信息 例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是 ．（填写序号） ① 第所用的时间最长；  ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同；   ④ 第的平均速度最大． 【答案】①③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故①说法正确； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故④说法正确； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选③说法正确； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故②说法错误； 综上所述：说法正确的是①③④． 故答案为①③④． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是 ．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 【答案】①②④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．观察图象，横坐标是比赛用时，纵坐标是路程分钟内，乌龟一直匀速运动，24分钟共行进的路程为，分钟，兔子一直匀速运动，第分钟内路程不变，说明兔子在休息，分内，兔子匀速上山，第18分后开始下山，分钟内匀速运动，第24分到达终点，兔子的总路程为．要能根据函数图象的性质对图象上的数据分析得出有用信息将问题解决． 【详解】解：兔子在上山过程中休息6分钟后，乌龟游过的路程是，兔子跑过的路程是．故①正确； 乌龟在水中游动的速度（千米分）（千米时），故②正确； 兔子下山的速度（千米分）（千米时）， 上山休息后的速度（千米分）（千米时）， （千米时）， 兔子下山的速度比上山休息后的速度快50千米时．故③错误； 这场比赛，只要兔子在上山过程中少休息一会儿，则它到达终点的时间就小于分钟，兔子用的时间就比乌龟少了，它就能赢．故④正确． 故答案为：①②④． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位：）的关系图，则下列说法正确的是 （填序号）． ①小明家离学校的距离是；②小华乘坐的公共汽车的速度是；③小华乘坐公共汽车后，在与小明离学校的距离一致． 【答案】①②③ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查的是一次函数图象的综合应用，根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项． 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校，故①正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了，所以公共汽车的速度为，故②正确； 小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是，即相遇，即在与小明离学校的距离一致，故③正确． 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是 （填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 【答案】①②③④ 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意． 【详解】解：由图象可得， 小刚返回家的速度为： （米/分钟）， 故①正确，符合题意； 小亮与小刚家相距为： （米）， 故②正确，符合题意； 小亮到体育馆用的时间为：（分）， 故③正确，符合题意； 小刚从家到体育馆用的时间为： （分）， 小刚回家后取装备用的时间为： （分）， 故④正确，符合题意； 小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟， ， 解得， ∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为： （米）， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）下列各图中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图像只会有一个交点． 在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（   ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量之间的关系，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键． 由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度增加，当不挂重物时弹簧长度为，然后逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，说法正确，故A不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度为，原说法错误，故B符合题意； C．物体质量每增加，弹簧长度增加，说法正确，故C不符合题意； D．由C知，，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理；由图可知，当 M 位于 A 处时，面积最大，且为面积的一半，由图可知，根据面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知， 当 M 位于 A 处时，面积最大． 又因为是一条斜边的中点D与顶点A连成的中线， 所以面积是面积的一半． 根据图2，可知， s， 则的面积为， 故的面积为面积的一半，即15． 故选：D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（    ）      A．12 B．15 C．17.5 D．20 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】当时，点在点处，可得，当点在点处时，可知此时取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点运动到点，过点作于点，结合图象有：，在中，，据此即可作答． 【详解】当时，点在点处，， ∴结合图象有：，即， 当点在点处时，， 如图，连接， ∴，， ∴可知当点运动到点时，取最小值， ∴结合图象有：， ∵在中，， ∴， ∴解得：或者， ∴或者， ∵， ∴，， 当时点运动到点，过点作于点，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵结合图象有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴解得：， ∴， ∵点沿折线以每秒个单位长度的速度从点匀速运动到点， ∴当时，点运动到点， 故选：． 【点睛】此题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形周长18，腰长为，底边为，写出关于的函数解析式是 ，定义域是 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数关系式，三角形的周长公式，三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据三角形的周长公式可得函数关系式，根据底边长是正数以及三角形的三边关系可确定自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：由三角形的周长公式，得， 由底边长是正数，得， 解得：， 由两边之和大于第三边，得， 解得：， 关于的关系式及定义域是， 故答案为：， 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【答案】 D B A C 【知识点】函数图象识别 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，结合函数图象可得的值，再利用勾股定理求出的值，即可求出的面积和周长． 【详解】解：根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0， 由函数图象可得当时，的面积最大， ， 当时，的面积为0，此时，P点运动到C点，重合， ， ∴在中，， ∴， ∴的面积为，周长为． 故答案为：，． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 【答案】 4 400 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为； 没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满； 根据题意：正方体的体积为：， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意得：， 解得， 水槽的底面面积为． 故答案为：4；400． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，根据函数图象即可判断①；求出小明、小红的速度即可判断②；设二人出发后相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可判断③；求出小明到达村所用时间即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，两村相距，故①正确； 小明的骑行速度为：， 小红的骑行速度为：， 小明每小时比小红多骑行，故②错误； 设二人出发后相遇， 由题意可得：， 解得：， 故出发后两人相遇，故③正确； 小明到达村所用时间为， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③； 故答案为：①③． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高h变化时圆柱的体积V也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________________________； (2)试写出V与h的函数关系式；（用含和h的式子表示） 【答案】(1)圆柱的高，圆柱的体积 (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数解析式、圆柱的体积公式，自变量和正确掌握相关性质内容是解题的关键．，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义进行作答即可； （2）圆柱的体积等于底面积乘高，据此列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，在这个变化过程中，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高，圆柱的体积； （2）解：依题意， 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【答案】(1)（） (2)厘米 (3)千克 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数解析式等，理解实际意义，能根据表格得到函数解析式是解题的关键． （1）由表格的数据，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解； （3）当时，代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 （）； （2）解：当时， （厘米）， 答：如果拉力是10千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：当时， ， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是13厘米． 13．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，用长为15m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在一边开了一个1m宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为()，求关于的函数关系式． (2)写出自变量的取值范围，并求出当时，所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2)， 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了列函数解析式和求函数值等知识，准确列出函数解析式是关键． （1）根据矩形的面积公式可以列出函数解析式； （2）根据题意写出自变量取值范围，并求函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知矩形的另一边长为m， ∴； （2）解：自变量的取值范围为， 把代入，得， 答：当时，所围苗圃的面积是． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与当地温度之间有如下的近似关系： 当地温度 5 6 7 8 9 … 蟋蟀叫的次数y 14 21 28 35 42 … (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是______________； (2)①当地温度x（单位：）每增加，这种蟋蟀叫的次数y是怎样变化的？ ②这种蟋蟀叫的次数y与当地温度x之间的关系式为____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 【答案】(1)当地温度，蟋蟀叫的次数 (2)①当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7；② (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了用表格和函数解析式表示两个变量间的关系，自变量和因变量，求函数值的问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格即可确定； （2）根据表格即可确定变化情况以及函数关系式； （3）把代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是当地温度，因变量是蟋蟀叫的次数； 故答案为：当地温度，蟋蟀叫的次数； （2）解：①由表格可得：当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7． ②， ∴次数y与当地温度x之间的关系式为， 故答案为：； （3）解：当时，，解得． 故当这种蟋蟀叫的次数时，当时该地的温度为． 15．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)是 (2)①4；② 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． （2）解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某工厂一车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件如图，分别表示甲、乙两组加工的数量（个）与甲组加工时间为之间的关系． 根据图象回答下列问题： (1)甲组检修机器的时长为________h； (2)甲组在检修机器前平均每小时加工零件_______个，乙组平均每小时加工零件________个； (3)求a的值． 【答案】(1)1 (2)40；120 (3) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）直接根据函数图象得出答案即可； （2）根据函数图象得出甲3个小时加工120个，乙3个小时加工360个，然后求出结果即可； （3）根据函数图象求出乙所加工总数量，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图象可知：甲组检修机器的时长为； （2）解：甲组在检修机器前平均每小时加工零件： （个）， 乙组平均每小时加工零件： （个）； （3）解：∵甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工， ∴根据函数图象可知： ． 17．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)长方形的长________，宽________； (2)直接写出________，________，_______； (3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 【答案】(1)6；4 (2)1；4；9 (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】（1）根据题意，得，结合，计算得到，即可得出答案． （2）根据题意，得，结合，计算得到，结合得到，继而得到运动时间为（秒），结合图像可确定a值，m的值；根据，判定点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，从而得到，计算可得到b． （3）分三种情况：当时，点P在上，当时，点P在上，当时，点P在上，分别画出图形，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，当点P在上时，三角形的面积保持不变， 且为， ∵， ∴， 根据长方形的性质可知：； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为（秒）， ∴（秒）， ∴（单位每秒）； 根据图像，得，点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． （3）解：当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ∴； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了运动问题，矩形的性质，图像信息综合题，正确读懂图像并获得信息是解题的关键． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 【答案】(1)6；2 (2)12 (3)①17；②；点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象可得动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动，由此即可得解； （2）先求出半圆弧的长为厘米，再求出点在半圆弧上运动的时间为秒，即可得解； （3）当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动，结合函数图象计算即可得解；②先求出当点运动到点处时，的长，从而可得点的横坐标为，即可得解． 【详解】（1）解：由函数图象可得：动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动， ∴半圆O的半径是厘米，点P的运动速度（厘米/秒）； （2）解：由（1）可得：半圆O的半径是厘米，点P的运动速度2厘米/秒， ∴半圆弧的长为（厘米）， ∴点在半圆弧上运动的时间为（秒）， ∴； （3）解：当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动， 由题意及函数图象可得：； ②由题意及函数图象可得：当点运动到点处时，（厘米）， ∴点的横坐标为， ∴图象中点的坐标为， 点坐标的实际意义是：点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$