专题13 平面直角坐标系的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题13 平面直角坐标系的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、点所在的象限及求参数 2 类型二、点到坐标轴的距离 4 类型三、平面直角坐标系中点的特征 7 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 10 类型五、在平面直角坐标系中求图形的面积 16 压轴能力测评（18题） 24 解题知识必备 1.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 2.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 3.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 4.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 5.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 6.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 7.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 8.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 9.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 10.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、点所在的象限及求参数 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点P的坐标为，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 4．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）点在轴上，点在轴上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 类型二、点到坐标轴的距离 例题：（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 3．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）已知点在第二象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和是11，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 类型三、平面直角坐标系中点的特征 例题：（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上． (2)点Q的坐标为，直线轴． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，试求出点P的坐标； (2)若，且轴，试求出点P的坐标． 3．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知． (1)若点在轴下方，在轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求的值； (2)已知点、均在直线上，且直线轴，求线段的长． 4．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若的坐标为，轴，求点的坐标． (3)若点到轴的距离为，求点的坐标． 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）郑州园博园占地面积亩，是第十一届中国（郑州）国际园林博览会举办地．建设室外展园个，国内城市园个，集中展示各地具有代表性的园林艺术文化．周末，王芳和李敏两人相约到郑州园博园游玩，一天游玩结束，她们绘制了如图所示几个展园的平面示意图，其中花盛轩的坐标是，荆门园的坐标是． (1)请你根据上述信息，建立平面直角坐标系； (2)写出示意图中民俗文化园、南京园的坐标； (3)如果某展园位置坐标是，请你在图中用字母标出这个展园的位置． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖北·期中）如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． (1)在图中画出符合条件的平面直角坐标系； (2)用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； (3)若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，教学楼的位置是．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； (3)若音乐楼的位置是，在图中标出它的位置； (4)学校计划新建一个花坛，若花坛在艺术楼北偏东，距离为单位长度处，写出该花坛的坐标． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图是某校的平面示意图． (1)以大门A所在位置为原点，小正方格的边长为1个单位长度，请在图中画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，直接写出教学楼B、实验楼C、图书馆D、操场E的坐标； (3)若体育馆F的位置坐标为，在图中标出它的位置． 4．（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 类型五、在平面直角坐标系中求图形的面积 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． (1)求出点A、B的坐标； (2)求的面积． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标． 4.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点，点且m、n是方程组的解，点C在x轴负半轴上，与y轴交于点E． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若三角形的面积，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段运动到点O不停，再继续以相同的速度沿x轴正半轴运动到点B后停止，设运动时间为秒，求当为何值时，三角形的面积是三角形面积的2倍． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西·期末）若点在轴上，则点在第 象限． 7．（24-25八年级上·全国·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）点在轴右侧，轴下方，且到轴的距离是2，到轴的距离为3，则点的坐标为 ． 9．（北京市燕山地区2024—2025学年上学期八年级数学期末质量监测）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    10．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)直线轴，且点的坐标为． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第三象限，且点到轴的距离是，求点的坐标． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，． (1)时，求点P到轴的距离； (2)若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，点，直线轴． (1)计算点的坐标并在坐标系中描出点的位置； (2)连接，，得到和．若点是轴上一点，请求出使的点的坐标． 17．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点，求下列情形下点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为6； (3)已知点且线段与轴平行． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．    (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 平面直角坐标系的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、点所在的象限及求参数 2 类型二、点到坐标轴的距离 4 类型三、平面直角坐标系中点的特征 7 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 10 类型五、在平面直角坐标系中求图形的面积 16 压轴能力测评（18题） 24 解题知识必备 1.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 2.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 3.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 4.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 5.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 6.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 7.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 8.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 9.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 10.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、点所在的象限及求参数 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点P的坐标为，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，即可求解．本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，是解题的关键． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 故选：B 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，确定出、的符号情况是解题的关键． 根据点在第二象限，确定出、的符号情况，然后再求出点的横坐标与纵坐标的符号情况即可进行判断． 【详解】解：点在第二象限， ， ，； 故点在第三象限； 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、不等式的性质、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性，平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，解题的关键是根据非负性确定点A的横纵坐标的符号． 根据平方和算术平方根的非负性，结合不等式的性质得到横坐标小于0，纵坐标大于0，即可确定点A所在象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点在第二象限， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0．因为点在轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点在二象限， 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）点在轴上，点在轴上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，根据轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为，分别求出、的值，再把、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 点在轴上， 解得：， ． 故选：D． 类型二、点到坐标轴的距离 例题：（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，平面直角坐标系中点到轴的距离是这个点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴的距离是点的横坐标的绝对值， 点到轴的距离是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】1 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是1， 故答案为：1． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】0 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了第四象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：0． 3．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）已知点在第二象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和是11，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、求不等式组的解集 【分析】本题考查各象限点的特征和解一元一次不等式组．根据“第二象限内横坐标为负，纵坐标为正”，可得，再根据到坐标轴的距离，即可求出a． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为11， ∴， ∴ 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 【答案】 或 【知识点】整式加减的应用、其他问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义， （1）依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）点的“阶和谐点”到x轴的距离为7，即可得到关于t的方程，进而得到t的值． 【详解】解：（1）点的“3阶和谐点”的坐标为， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）∵点， ，． ∴点C的“阶和谐点”为， ∵点的“阶和谐点”到x轴的距离为7， ∴， ∴或． 解得 或 ． 故答案为：或． 类型三、平面直角坐标系中点的特征 例题：（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握点在坐标轴上，直线平行于坐标轴的特点是关键． （1）根据点在轴上，横坐标为0，列式计算即可； （2）根据点的坐标为，且轴，则纵坐标相等，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴， 解得， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上． (2)点Q的坐标为，直线轴． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握点的坐标特征，是解题的关键： （1）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可。 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． （2）∵点，，直线轴， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，试求出点P的坐标； (2)若，且轴，试求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）x轴上的点纵坐标为0，据此列方程求解即可； （2）轴时，横坐标相等，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知． (1)若点在轴下方，在轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求的值； (2)已知点、均在直线上，且直线轴，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图象，解方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出方程，然后解方程即可； （）由轴，则点、的纵坐标相等，列出方程，求出的值，则有，然后即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：点在第三象限， 因为点到两坐标轴的距离相等， 所以， 解得：， （2）解：因为轴， 所以点、的纵坐标相等， 所以， 解得：， 所以， 所以． 4．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若的坐标为，轴，求点的坐标． (3)若点到轴的距离为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握点在坐标轴上，直线平行于坐标轴，点到坐标轴的距离的计算是关键． （1）根据点在轴上，横坐标为0，列式计算即可； （2）根据轴，则纵坐标相等，列式求解即可； （3）根据点到轴的距离为，则横坐标的绝对值为，列式求解即可． 【详解】（1）解：点， ∵点在轴上，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵轴，且点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：∵点到轴的距离为， ∴， 解得或， 当时，， 则点的坐标为； 当时，， 则点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）郑州园博园占地面积亩，是第十一届中国（郑州）国际园林博览会举办地．建设室外展园个，国内城市园个，集中展示各地具有代表性的园林艺术文化．周末，王芳和李敏两人相约到郑州园博园游玩，一天游玩结束，她们绘制了如图所示几个展园的平面示意图，其中花盛轩的坐标是，荆门园的坐标是． (1)请你根据上述信息，建立平面直角坐标系； (2)写出示意图中民俗文化园、南京园的坐标； (3)如果某展园位置坐标是，请你在图中用字母标出这个展园的位置． 【答案】(1)见解析； (2)民俗文化园，南京园； (3)见解析． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标位置的确定，平面直角坐标系的特点，点的坐标，准确坐标原点的位置是解题的关键． （）以乌鲁木齐所在水平线为轴，左移一格，再作垂线即为轴，建立平面直角坐标系即可； （）根据平面直角坐标系即可求解； （）在平面直角坐标系中描点即可． 【详解】（1）解：以乌鲁木齐所在水平线为轴，左移一格，再作垂线即为轴，如图， （2）解：由上图可知，民俗文化园，南京园； （3）解：如图， 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖北·期中）如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． (1)在图中画出符合条件的平面直角坐标系； (2)用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； (3)若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 【答案】(1)平面直角坐标系见解析部分 (2)， (3)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，熟练运用平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系得到各点坐标； （3）在图中标出艺术楼点坐标即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， （2）解：根据（1）中坐标系可得操场，实验楼； （3）解：艺术楼如图． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，教学楼的位置是．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； (3)若音乐楼的位置是，在图中标出它的位置； (4)学校计划新建一个花坛，若花坛在艺术楼北偏东，距离为单位长度处，写出该花坛的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)餐厅，艺术楼 (3)见解析 (4)花坛的坐标为 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，勾股定理，正确得出原点的位置是解题关键． （1）根据实验楼和教学楼的坐标，确定原点，再画出平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，即可解答； （3）根据坐标，再图中标出即可； （4）根据艺术楼北偏东，距离为单位长度结合勾股定理可确定花坛的位置，再结合图形可得其坐标． 【详解】（1）解：如图所示，平面直角坐标系即为所求；    （2）解：由图可知：餐厅，艺术楼； （3）音乐楼的位置如图所示； （4）由图可知：花坛的坐标为． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图是某校的平面示意图． (1)以大门A所在位置为原点，小正方格的边长为1个单位长度，请在图中画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，直接写出教学楼B、实验楼C、图书馆D、操场E的坐标； (3)若体育馆F的位置坐标为，在图中标出它的位置． 【答案】(1)见解析 (2)教学楼，实验楼，图书馆，操场 (3)见解析 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系（实际问题中用坐标表示位置），直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点等知识点，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）依题意画出平面直角坐标系即可； （2）根据所建立的平面直角坐标系，写出各点坐标即可； （3）在图中标出点的位置即可． 【详解】（1）解：如图，以大门A所在位置为原点，建立平面直角坐标系如下： （2）解：写出各点坐标如下： 教学楼， 实验楼， 图书馆， 操场； （3）解：点的位置如图所示， ． 4．（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： （2）解：由坐标系得，黑棋③坐标为，白棋④坐标为； （3）解：要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或． 类型五、在平面直角坐标系中求图形的面积 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键． （1）观察图象可得出点的坐标． （2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图象可得，点的坐标分别为，，，． （2）解：如图：连接，过点作垂直于的延长线于点． 阴影部分的面积为： ． ∴图中阴影部分的面积为． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． (1)求出点A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了非负数的和为零，平面直角坐标系内的三角形面积； （1）由非负数的和为零得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用非负数的和为零的性质及三角形面积进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，； （2）解：由（1）得：，， ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、坐标与图形综合 【分析】本题考查了非负性的性质、坐标与图形的性质： （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用割补法求解即可； （3）由点C的纵坐标为b，可知点C的坐标为，从而轴．由得点C在点A右侧，过点B作BD⊥AC于点D．然后画出图形，根据以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：由（1），得，， ∴． （3）解：∵点C的纵坐标为b， ∴点C的坐标为， ∴轴． ∵， ∴点C在点A右侧． 如答图，过点B作BD⊥AC于点D． ∵， ∴， 即， 解得， ∴点C的坐标为． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键． （1）分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，根据割补法可直接进行求解； （2）由（1）可得，进而的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，然后可得或，最后问题可求解． 【详解】（1）解：分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，如下图： ，，， ； （2）解：设点，由题意得：， ∴的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，即， ∴或， ∴点P的坐标为或． 4.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点，点且m、n是方程组的解，点C在x轴负半轴上，与y轴交于点E． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若三角形的面积，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段运动到点O不停，再继续以相同的速度沿x轴正半轴运动到点B后停止，设运动时间为秒，求当为何值时，三角形的面积是三角形面积的2倍． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积是面积的2倍． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、加减消元法、坐标与图形 【分析】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的面积，解二元一次方程组，一元一次方程的应用，三角形面积公式，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）过点A作轴于点H，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）利用，求得，再分两种情况讨论，①当点P在线段上和②当点P在线段上时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∴点A的坐标是； （2）解：过点A作轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点P在线段上，， ∵， ∴， 解得：； ②当点P在线段上时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述当或时，的面积是面积的2倍． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案． 【详解】解：点， 点所在的象限是第一象限 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：轴上的点的纵坐标为．根据轴上点的纵坐标等于零，求出，即可得答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握各个象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据点的坐标的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴它的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点到轴，轴的距离分别为， ∴点的坐标为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 点， 故故选：：D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查直角坐标系和全等三角形的判定和性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西·期末）若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，解一元一次方程，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0得到，求出，从而求出点B的坐标，进而判断出点B所在的象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴，， ∴点B的坐标为，它在第二象限． 故答案为：二 7．（24-25八年级上·全国·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】此题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式．先根据第二象限内点的坐标特点得出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：点在第二象限， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）点在轴右侧，轴下方，且到轴的距离是2，到轴的距离为3，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点在各象限的坐标特征分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据题意得出点在第四象限，再根据点到坐标轴的距离即可得到答案． 【详解】解：根据题意得点在第四象限， 点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 9．（北京市燕山地区2024—2025学年上学期八年级数学期末质量监测）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【知识点】坐标系中的对称、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    10．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和SAS综合（SAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质、坐标与图形，根据题意，做出图形，由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，且有可，可得出点的坐标．由条件得到或是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 点，， ，，且为直角三角形， 当和全等时，可知为直角三角形，且有公共边， 或， 当时，则点坐标为或（与A重合，舍去）； 当时，则，且， 点坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)直线轴，且点的坐标为． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握y轴上点的坐标特征和平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0求出m值，即可求解； （2）根据与x轴平行的直线上点的纵坐标相等，求出m值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵直线轴，且点的坐标为， ∴ 解得：， ∴ ∴点的坐标为． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4) 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门， 故答案为：，； （3）解：体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示，； （4）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，图书馆的位置为，大门的位置为， ∵1个单位长度表示， ∴从大门到图书馆的最短距离为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第三象限，且点到轴的距离是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查不同象限内点的坐标和点到坐标轴的距离．理解点到轴距离等于纵坐标绝对值是解题关键． （1）根据点在轴上，可得，求解即可； （2）根据点在第三象限，点到轴的距离是，可得，可得，即可求解； 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：， ， 解得： （2）解：点在第三象限，点到轴的距离是， ， 则， 点的坐标为； 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及象限内的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据轴上纵坐标为0求解； （2）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组，求解并取正整数解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，． (1)时，求点P到轴的距离； (2)若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解、求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组等知识，灵活运用这些知识是关键． （1）当时，由可求得m的值，再由可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离； （2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可可设点P的坐标为，从而可得关于a与m的方程组，消去m即可求得a的值，从而可得点P的坐标； 【详解】（1）把代入， 得， ， 把代入， 得， ， ， ∴点P到轴的距离为． （2）∵点P落在第二、第四象限的角平分线上， ∴设点P的坐标为， 把点分别代入 ，， 得， ②×3-①×2得， 解得． ∴点P的坐标为． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，点，直线轴． (1)计算点的坐标并在坐标系中描出点的位置； (2)连接，，得到和．若点是轴上一点，请求出使的点的坐标． 【答案】(1)；点的位置见解析 (2)点的坐标或． 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形综合、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查三角形的面积，图形与坐标； （1）由轴，可得，进而求得的值即可求解； （2）设，根据坐标可得，，解得或即可． 【详解】（1）解：∵，点，轴， ∴， 解得：，则， ∴； 点的位置如图所示， ； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标或． 17．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点，求下列情形下点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为6； (3)已知点且线段与轴平行． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．一元一次方程的应用． （1）根据点在y轴上，则点的横坐标为0求解即可． （2）根据点到轴的距离为6，可知点的横坐标为6或进而求解即可． （3）根据线段与轴平行，可知，点纵坐标等于A点的纵坐标求解即可． 【详解】（1）解：点，且点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：点到轴的距离为6， 或， 或， 点的坐标为或； （3）解：与轴平行， ， ， ， 点的坐标为． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．    (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形综合、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过点作轴于点，如图所示，根据等腰直角三角形性质，由三角形全等判定定理得到，再结合点、点，求出即可得到答案； （2）由勾股定理得到，再由等腰直角三角形性质，结合直角三角形面积公式代值求解即可得到答案； （3）根据题意，分三种情况：当；当；当；作出图形，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示：    在中，，， ， ， ， 在和中， ， ，， 点、点， ， ， 点的坐标； （2）解：点、点， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，，， 的面积为； （3）解：根据题意，分三种情况： 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为． 【点睛】本题考查图形与坐标、互余、直角三角形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，其中（3），要注意分类讨论，避免遗漏． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$