抢分秘籍12 几何图形中的课本再现问题（六大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍12 几何图形中的课本再现问题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】三角形中的课本再现问题 【题型二】平行四边形中的课本再现问题 【题型三】矩形中的课本再现问题 【题型四】菱形中的课本再现问题 【题型五】正方形形中的课本再现问题 【题型六】圆中的课本再现问题 ：几何图形中的课本再现问题综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，高频考点为圆切线性质、特殊四边形（矩/菱/正方）证明计算、全等/相似三角形、几何变换（旋转/平移），占比15%-20%，新定义题型（如“准互余图形”）近年增多，侧重知识迁移。 2．从题型角度看，选择填空考基础概念（如轴对称识别、角度计算）；解答题含课本例题改编的证明（如切线证明）、计算（扇形面积）、综合探究（函数+几何动态）及实际应用题（测量建模）。 ：回归课本吃透例题推导，对习题变式训练；掌握“手拉手”等模型，总结解题模板；规范步骤防跳步，建错题本分类复盘；限时训练基础题，分析真题把握新定义趋势，提升图形拆分能力。 【题型一】三角形中的课本再现问题 【例1】（2025·江西九江·模拟预测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，，，垂足为D． 求证：． 结论应用 （2）如图2，在菱形中，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，垂足为F，且交于点G． ①若，，求的长； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，列出比例式即可求证； （2）①由（1）可得：，那么，代入，即可求解； ②由，再由勾股定理可得，证明，则，求出，那么． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三角形课本再现题解题技巧：先判定理（全等/相似、特殊三角形性质），挖隐含条件（公共边/角、平行线角）。辅线用倍长中线、角平分线垂线、中位线。套“一线三垂直”等模型，拆复杂图形。计算设元列方程，用三角函数简算，规范步骤防漏条件。 【例2】（2025·江西新余·一模）【课本再现】 （1）如图1，，都是等边三角形，分别连接，，，与有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长； （4）如图3，在四边形中，，，，，，直接写出的长． 【答案】（1），见解析（2）（3）（4） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可得证． （2）过点E作，交延长线于点M，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． （3）不妨将绕点D顺时针旋转到，连接，根据等边三角形的判定和性质，圆周角，四边形内角和定理，勾股定理解答即可． （4）不妨将绕点D逆时针旋转到，使得，连接，，过点E作，交延长线于点N，利用三角形相似的判定和性质，三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：由， 不妨将绕点D顺时针旋转到，连接，过点E作，交延长线于点G， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：不妨将绕点D逆时针旋转到，使得，连接，，过点E作，交延长线于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴, ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求角度 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； （3）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，过点作，交的延长线于点，连接，由邻补角互补可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根据勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 且； （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 过点作，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质（、），平行四边形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【变式2】（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③；（2）①证明见详解，②5；（3）8 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，继而利用“两角对应相等，两三角形相似”得，； （2）①证明，则，即；②由，得到，求得，可求，再运用勾股定理可求； （3）在上取一点F，连接，使，由，求得， 再证明，得到，则有，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 同理可证：， 故答案为：②③； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：同①可证：， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴， 同上可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式3】（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：． 下面是两位同学两种添加辅助线的方法： 小明：如图2，延长至点E，使，连接； 小华：如图3，取的中点E，连接； （1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明． 【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆． 【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）小明的方法：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，进而得出结论即可；其他方法：分别取的中点E，的中点F，连接，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论； （2）取边的中点O，连接，利用斜边上的中线，推出，即可得证； （3）取的中点M，AD的中点N，连接，利用斜边上的中线，三角形的中位线定理，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接， 又∵点D是的中点，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：如图4，取边的中点O，连接， ∵是的高， ∴， 又∵O是边的中点， ∴，， ∴， ∴B，C，D，E四点在以点O为圆心，为直径的同一个圆上． （3）如图，取的中点M，的中点N，连接． ∵， ∴根据直角三角形斜边上中线的性质及中位线的性质， 可得：，，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 同理可证． 又∵， ∴ ∴，即， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查斜边上的中线，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【题型二】平行四边形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西吉安·一模）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，． 知识应用 （2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等： （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明，； （2）过点B作交于H，连接，则，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2），证明如下： 如图所示，过点B作交于H，连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∵点P为的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 平行四边形课本再现题解题技巧：活用性质（对边/角/对角线）与判定（如一组对边平行且相等）。连对角线分全等三角形，构中位线或倍长中线。拆图形为平行四边形+三角形，矩菱正问题用特性。计算用勾股、面积法，倒推条件，规范逻辑。 【例2】（2024·江苏扬州·一模）如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． （1）图③中的的形状是______；图④的活动发现了定理“____________”（注：填写定理完整的表述）；图⑤中的的长是_______； 【继续探索】 （2）如图，将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点E处，点E不与B、C重合，为折痕．折叠后的梯形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等腰三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， （2）存在最小值，最小值为6 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题 【分析】（1）由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； 由，得，，由折叠得，则，所以，于是得到问题的答案； 由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则，由勾股定量得，于是得到问题的答案； （2）连接，过点N作于点G，先证明，，则在中，由勾股定理得，然后将表示面积的相关线段用x的代数式表示出，则，化简，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）如图③四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 如图④，， ，， 由折叠得，， ， ， ， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图⑤，四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠得， ， ， 在中，，， ， 解得， 故答案为：． （2）存在最小值，连接，过点N作于点G，即， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则在中，由勾股定理得：， 则， ∴， ∴ ，当时，最小值为6． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的判定、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、二次函数求最值，此题综合性强，难度较大． 【变式1】（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．    【初步体验】 （1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ； （2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：． 证明：过点作的平行线交于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； （4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．    【答案】（1）3，（2）见解析（3）是定值，值为1（4） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，以及平行线分线段成比例，推出和的各角对应相等，各边对应成比例，即可得证； （3）过点作，交于点，得到，即可得到； （4）过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质，进行推导求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：3，； （2）证明：过点作的平行线交于点 F    则：， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （3）过点作，交于点，    ∴， ∴， 即：为定值，值为1； （4）过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握平行线分线段成比例，添加辅助线，构造平行和相似三角形． 【题型三】矩形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西吉安·模拟预测）【课本再现】 思考我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线、相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②满足时，四边形是矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是利用矩形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质解答． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可； （2）由直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得出，再证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论； （3）当满足时，四边形是矩形，根据平行四边形的判定与性质及矩形的判定解答即可． 【详解】解：（1）证明：在图1中，四边形是平行四边形， ，． 又， ， ， ， ， ， 是矩形． （2）①是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②当满足时，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当时，， 四边形是矩形． 矩形课本再现题解题技巧：用矩形性质（四角直角、对角线相等）证线段/角相等。连对角线得全等直角三角形，遇中点构中位线。结合勾股定理计算边长，面积法求高。判定先证平行四边形，再证直角或对角线等，拆图形为三角形或坐标系问题，规范步骤防漏条件。 【例2】（2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 (1)如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． (2)如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 (3)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是矩形、矩形与折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵E 是  的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式1】课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是． 【变式2】课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，，是它的两条对角线，． 求证：平行四边形是矩形． 知识应用 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且． （）试判断四边形的形状，并说明理由． （）过作于，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析；（3） 【知识点】证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据题意得出，在边上截取，设，则，，进而得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）平行四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是矩形， （3）∵，， ∴， 在边上截取， 设，则， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，即 【变式3】（2025·江西南昌·一模）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据矩形的判定即可得证； ②设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得，过点作于点，设与交于点，则四边形都是矩形，再根据等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． ②由题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 【题型四】菱形中的课本再现问题 【例1】课本再现 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形 （如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， 垂足为， ∴是的垂直平分线， ∴___________ ∴平行四边形是菱形． 知识应用 （2）如图2 ，在中，对角线和相交于点，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析，②． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， 在，中， ， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形． （2）①证明：四边形是平行四边形，， ，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴， ∴， ∴ 菱形课本再现题解题技巧：用菱形性质（四边相等、对角线垂直平分且平分角）证全等/垂直。连对角线得直角三角形，用勾股定理计算。判定先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。遇中点构中位线，面积用对角线乘积一半。规范步骤，拆图形为三角形，注意角平分线与对称特性。 【例2】（2024·江西九江·二模）课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）四边形是菱形，，． ，，，， ， ； （2）①四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 由旋转可得：，， ， 如图2，过作于， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ， ， 点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ，的面积为6， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式1】（2024·江西吉安·一模）课本再现 菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直． 定理证明 （）如图，已知四边形为菱形，前面已证菱形的四条边相等，请进一步证明对角线． 知识应用 （）如图，已知四边形为菱形，等腰的顶点在上，底边交边于点，点为的中点，点为与的交点，且． ①求证：； ②若，，，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②5 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）根据菱形的性质及等腰三角形的性质即可证明结论成立； （）①令交于点，证明，得，从而证明，进而即可得证；②如图，令交于点，证明，得，再证明四边形是矩形，得，，，，从而由得，再利用三角函数即可得解． 【详解】（）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴； （）①证明：令交于点，    ∵等腰的顶点在上，底边交边于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，令交于点，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型五】正方形形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西景德镇·三模）【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②；（3）8 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】（1）只需要证明，即可得到结论，，然后利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）①只需要证明，即可得到； ②根据①中，求出，设，则，然后在，利用勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （3）由平移的性质可得，，结合，，可求出，再证明垂直平分，得到，根据，可设，利用勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1），， 理由如下： 延长交于G， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵， ∴． 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）由平移的性质可得，， ∵，， ∴， ∵点H为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 正方形课本再现题解题技巧：用四边相等、直角、对角线垂直相等且平分角的性质证全等/垂直。连对角线得等腰直角三角形，用勾股定理或三角函数计算。判定先证矩形+邻边相等或菱形+直角。借旋转/对称构全等，遇中点连中线，规范步骤分阶段证明，拆图形为三角形或坐标系问题。 【例2】（2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、求一点到圆上点距离的最值、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， ， 又， ，即， ， 故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 【变式1】（2024·广西南宁·二模）几何探究 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题： ①求证； ②连接，则之间的数量关系是____________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3）或． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①利用正方形的性质，证明即可；②由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）①∵正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， ∴， ∴， ∴； ②连接，    ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2），理由如下： 连接，    ∵矩形的中心O是矩形的一个顶点， ∴，，， 延长，交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴； 解：（3）设， ①当点在线段上：    ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， 解得：， ∴； ②当点在线段的延长线上时：如图，    此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ∴， 又， ∴， 解得：解得：， ∴； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 【题型六】圆中的课本再现问题 【例1】（2025·江西·二模）【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（   ） A．    B．    C．    D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求部分． 【答案】（1）；（2）①，② 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、求扇形面积 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）①连接，根据切线的性质定理，可得，平分，，，因此，结合，即可求出的度数． ②在中，过点A作于点H，，，，，可求得，再证明是等边三角形，即，在中，，如答图1，连接，交于点G，易知，且，，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）连接，如图所示， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ,， 故选：B． （2）①如答图1，连接． 分别与相切， ，平分，，． ． 又， ， ． ②如答图2，在中，过点A作于点H． 在中，，，， ，，． ． ． ，， 是等边三角形． ． 在中，， ． ， ． 如答图1，连接，交于点G，易知，且， ． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形的相关计算，正确作出辅助线是解题的关键． 圆课本再现题解题技巧：活用垂径定理（作弦心距）、圆周角定理（找同弧角）、切线性质（连半径证垂直）。遇切线连半径，弦问题作垂线，构直角三角形用勾股。弧长/面积套公式，圆内接四边形用对角互补。规范步骤，借辅助线转化为三角形问题，注意隐含等弧/等角条件。 【例2】（2024·江西吉安·二模）课本再现 （1）如图1，是的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 知识应用 （2）如图2，，，三点均在上，的延长线交于点，若的直径为8，，，求的长．    【答案】（1）直径所对的圆周角是，证明见解析，（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）连接．由得．再由即可得出结论； （2）延长交于点，连接．可得．可证得，从而得出．再证，可得，求得，再求解即可． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是． 证明：如图，连接．   ， ． ， ． ∴直径所对的圆周角是   （2）如图，延长交于点，连接．   ． 的直径为8， ． ， ． ，即． ， 在中，． 由， 得． ，即． ． ． 【变式1】（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用 （2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；②． 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）根据圆周角定理即可解答； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】（1）解：直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； ②解：， ， ，， ， 设，则，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，（舍去），或， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式2】【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，先判定，根据推出即可求解； （2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，，，再结合直角三角形的正弦值列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 则， ∵平分， ∴， 则， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍12 几何图形中的课本再现问题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】三角形中的课本再现问题 【题型二】平行四边形中的课本再现问题 【题型三】矩形中的课本再现问题 【题型四】菱形中的课本再现问题 【题型五】正方形形中的课本再现问题 【题型六】圆中的课本再现问题 ：几何图形中的课本再现问题综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，高频考点为圆切线性质、特殊四边形（矩/菱/正方）证明计算、全等/相似三角形、几何变换（旋转/平移），占比15%-20%，新定义题型（如“准互余图形”）近年增多，侧重知识迁移。 2．从题型角度看，选择填空考基础概念（如轴对称识别、角度计算）；解答题含课本例题改编的证明（如切线证明）、计算（扇形面积）、综合探究（函数+几何动态）及实际应用题（测量建模）。 ：回归课本吃透例题推导，对习题变式训练；掌握“手拉手”等模型，总结解题模板；规范步骤防跳步，建错题本分类复盘；限时训练基础题，分析真题把握新定义趋势，提升图形拆分能力。 【题型一】三角形中的课本再现问题 【例1】（2025·江西九江·模拟预测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，，，垂足为D． 求证：． 结论应用 （2）如图2，在菱形中，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，垂足为F，且交于点G． ①若，，求的长； ②若，，求的长． 三角形课本再现题解题技巧：先判定理（全等/相似、特殊三角形性质），挖隐含条件（公共边/角、平行线角）。辅线用倍长中线、角平分线垂线、中位线。套“一线三垂直”等模型，拆复杂图形。计算设元列方程，用三角函数简算，规范步骤防漏条件。 【例2】（2025·江西新余·一模）【课本再现】 （1）如图1，，都是等边三角形，分别连接，，，与有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长； （4）如图3，在四边形中，，，，，，直接写出的长． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【变式2】（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【变式3】（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：． 下面是两位同学两种添加辅助线的方法： 小明：如图2，延长至点E，使，连接； 小华：如图3，取的中点E，连接； （1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明． 【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆． 【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：． 【题型二】平行四边形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西吉安·一模）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，． 知识应用 （2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 平行四边形课本再现题解题技巧：活用性质（对边/角/对角线）与判定（如一组对边平行且相等）。连对角线分全等三角形，构中位线或倍长中线。拆图形为平行四边形+三角形，矩菱正问题用特性。计算用勾股、面积法，倒推条件，规范逻辑。 【例2】（2024·江苏扬州·一模）如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． （1）图③中的的形状是______；图④的活动发现了定理“____________”（注：填写定理完整的表述）；图⑤中的的长是_______； 【继续探索】 （2）如图，将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点E处，点E不与B、C重合，为折痕．折叠后的梯形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．    【初步体验】 （1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ； （2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：． 证明：过点作的平行线交于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； （4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．    【题型三】矩形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西吉安·模拟预测）【课本再现】 思考我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线、相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 矩形课本再现题解题技巧：用矩形性质（四角直角、对角线相等）证线段/角相等。连对角线得全等直角三角形，遇中点构中位线。结合勾股定理计算边长，面积法求高。判定先证平行四边形，再证直角或对角线等，拆图形为三角形或坐标系问题，规范步骤防漏条件。 【例2】（2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 (1)如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． (2)如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 (3)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【变式1】课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【变式2】课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，，是它的两条对角线，． 求证：平行四边形是矩形． 知识应用 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且． （）试判断四边形的形状，并说明理由． （）过作于，，，求的长． 【变式3】（2025·江西南昌·一模）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【题型四】菱形中的课本再现问题 【例1】课本再现 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形 （如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， 垂足为， ∴是的垂直平分线， ∴___________ ∴平行四边形是菱形． 知识应用 （2）如图2 ，在中，对角线和相交于点，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 菱形课本再现题解题技巧：用菱形性质（四边相等、对角线垂直平分且平分角）证全等/垂直。连对角线得直角三角形，用勾股定理计算。判定先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。遇中点构中位线，面积用对角线乘积一半。规范步骤，拆图形为三角形，注意角平分线与对称特性。 【例2】（2024·江西九江·二模）课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 【变式1】（2024·江西吉安·一模）课本再现 菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直． 定理证明 （）如图，已知四边形为菱形，前面已证菱形的四条边相等，请进一步证明对角线． 知识应用 （）如图，已知四边形为菱形，等腰的顶点在上，底边交边于点，点为的中点，点为与的交点，且． ①求证：； ②若，，，，求的长．    【题型五】正方形形中的课本再现问题 【例1】（2024·江西景德镇·三模）【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 正方形课本再现题解题技巧：用四边相等、直角、对角线垂直相等且平分角的性质证全等/垂直。连对角线得等腰直角三角形，用勾股定理或三角函数计算。判定先证矩形+邻边相等或菱形+直角。借旋转/对称构全等，遇中点连中线，规范步骤分阶段证明，拆图形为三角形或坐标系问题。 【例2】（2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 【变式1】（2024·广西南宁·二模）几何探究 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题： ①求证； ②连接，则之间的数量关系是____________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【题型六】圆中的课本再现问题 【例1】（2025·江西·二模）【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（   ） A．    B．    C．    D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求部分． 圆课本再现题解题技巧：活用垂径定理（作弦心距）、圆周角定理（找同弧角）、切线性质（连半径证垂直）。遇切线连半径，弦问题作垂线，构直角三角形用勾股。弧长/面积套公式，圆内接四边形用对角互补。规范步骤，借辅助线转化为三角形问题，注意隐含等弧/等角条件。 【例2】（2024·江西吉安·二模）课本再现 （1）如图1，是的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 知识应用 （2）如图2，，，三点均在上，的延长线交于点，若的直径为8，，，求的长．    【变式1】（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用 （2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长． 【变式2】【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$