专题01《二次根式的混合运算》（挑战压轴题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷

2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题01《二次根式的混合运算》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.40（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式进行计算，先将式子变形为，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【完整解答】解： ， 故选：A． 2．（本题2分）（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答． 【完整解答】解：根据题意可得：甲和乙都对， 故选：A． 3．（本题2分）（23-24八年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，先计算原式得到，再估算得到，即可得到答案. 【完整解答】解： ∵ ∴ ∴ 即的值应在6和7之间， 故选：C 4．（本题2分）（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【完整解答】、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（本题2分）（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【完整解答】解：． 故选：D． 6．（本题2分）（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【完整解答】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 7．（本题2分）（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【完整解答】解： 故选：D． 8．（本题2分）（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【完整解答】解：① ，故错误； ②设有理数，满足：， ， ， ，故错误； ③， ， ， ，故正确； ④ ， 而， ，故错误； ⑤， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的为③⑤，为2个， 故选：B． 9．（本题2分）（22-23八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【完整解答】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 【考点评析】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 10．（本题2分）（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【完整解答】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为 ． 【答案】19 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【完整解答】解：∵； ； ； ……， ∴， ∴ ， ∵结果的小数部分，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为19． 故答案为：19． 12．（本题2分）（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）观察下列各式：，，，…利用你发现的规律解决： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，二次根式的混合运算及平方差公式，解题的关键是通过观察所给的等式，探索出运算的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算．通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再计算即可． 【完整解答】解：原式 ， 故答案为：． 13．（本题2分）（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂，先利用完全平方公式进行计算，并计算算术平方根、零指数幂，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【思路点拨】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【完整解答】解：， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 15．（本题2分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【完整解答】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 16．（本题2分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）化简的结果是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了平方差公式、二次根式的混合运算、幂的乘方，将式子变形为，计算即可得出答案． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 17．（本题2分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【完整解答】解：∵ ∴ 故答案为：． 18．（本题2分）（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【完整解答】 ， 故答案为：． 19．（本题2分）（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式、立方根和平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 令 ，，则，将化简得出，再代入依据二次根式和立方根的运算法则解答即可． 【完整解答】解：令 ，． ． ， ，， ， 则的算术平方根是， 故答案为：． 20．（本题2分）（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 22．（本题6分）（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）先算乘除，再化简各数，最后合并同类二次根式即可； （2）先进行完全平方和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【完整解答】（1）解： （2） 23．（本题8分）（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)7 (4) 【思路点拨】本题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （3）先化简各式，计算括号内，再算除法； （4）先进行乘法的计算，再合并同类二次根式即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（本题8分）（24-25八年级下·河南洛阳·期中）我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． (1)5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． (2)若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与不是关于1的“平衡数”，见解析 【思路点拨】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算5和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【完整解答】（1）解：∵， ∴5与是关于1的“平衡数”， ∵， ∴与是关于1的“平衡数”， 故依次填：，； （2）解：不是． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∴与不是关于1的“平衡数”． 25．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）阅读下面的材料并解决问题． …… (1)观察上式并填空：______； (2)观察上式并猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)请利用（2）的结论计算下列式子： ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要二次根式的化简求值、分母有理数，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）分子、分母都乘以，再进一步计算可得； （2）分子、分母都乘以，再进一步计算可得； （3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以求解可得． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） ． 26．（本题8分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 【答案】(1)1 (2) (3)1 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的运用及二次根式的混合运算，能根据完全平方公式展开是解此题的关键． （1）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，可得的值； （2）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，进行比较可得、的值，最后进行计算即可； （3）将化为完全平方式，然后再开方，最后进行二次根式的加减运算即可． 【完整解答】（1）解：， ，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：． 27．（本题8分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【思路点拨】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 28．（本题8分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【思路点拨】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【完整解答】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题01《二次根式的混合运算》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.40（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 3．（本题2分）（23-24八年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．（本题2分）（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题2分）（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 6．（本题2分）（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题2分）（22-23八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（本题2分）（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为 ． 12．（本题2分）（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）观察下列各式：，，，…利用你发现的规律解决： ． 13．（本题2分）（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算： ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 15．（本题2分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 16．（本题2分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）化简的结果是 ． 17．（本题2分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 18．（本题2分）（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 19．（本题2分）（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则的算术平方根是 ． 20．（本题2分）（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： (1)； (2)． 22．（本题6分）（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1) (2) 23．（本题8分）（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 24．（本题8分）（24-25八年级下·河南洛阳·期中）我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． (1)5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． (2) 若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 25．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）阅读下面的材料并解决问题． …… (1)观察上式并填空：______； (2)观察上式并猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)请利用（2）的结论计算下列式子： ． 26．（本题8分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3) 化简：． 27．（本题8分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 28．（本题8分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$