高二数学第三次月考卷（沪教版2020，测试范围：沪教版2020必修第二册第六～八章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求. 【解析】令公比为，则，可得， 所以或（舍），可得，则. 故答案为： 2．圆的半径为 【答案】2 【分析】根据圆的一般方程半径公式求解. 【解析】圆的半径为. 故答案为：2. 3．过点且平行于向量的直线的点法式方程是 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的一个法向量，再求出点法式方程. 【解析】依题意，直线的方向向量为，则该直线的法向量为， 所以该直线的点法式方程是. 故答案为： 4．双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【解析】详根据题意可得， 所以左焦点为，渐近线方程为， 即，所以左焦点到其中一条渐近线的距离为． 故答案为：. 5．，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【解析】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 6．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【解析】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 7．与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【解析】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 8．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解. 【解析】因为为无穷等比数列，， 所以，则，则， 因为，所以是以为公比的等比数列，且， 此时，所以， 当时，； 当时，， 因为，所以，故，则； 综上：，即，故的取值范围为. 故答案为：. 9．数列满足：为正整数，，若，则 . 【答案】 【分析】利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，从而利用数列的周期性即可得解. 【解析】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 10．某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    【答案】 【分析】依题意，，，得到是以为首项，以为公差的等差数列，求出与比较得到答案. 【解析】因为在中， ，，    所以，， 故， 故是以为首项，以为公差的等差数列， 故， 而，， 故. 所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕. 故答案为：. 11．已知是抛物线：的焦点，，是上不同的两点，为坐标原点，若，，垂足为，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意，设出直线的方程，求出，同理可得，从而得直线的方程，且知过定点，由条件得当点M到x轴距离为最大值3时，的面积最大. 【解析】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，解得. 因为直线的斜率，同理可得， 当时，，，或者，， 因为，所以，轴，， 即O，F，M三点共线，不符合题意； 当时，， 直线的方程为， 所以直线过定点， 因为，所以点M的轨迹是以为直径的圆（不包含点O，D）， 所以当点M到x轴距离为最大值3时，的面积最大， 又，则面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件可得直线的方程且过定点，本题关键点是将条件转化为点M的轨迹是以为直径的圆（不包含点O，D），即点M到x轴距离为最大值3时，的面积最大. 12．已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【解析】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【解析】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论． 【解析】， ，，即且， ，且，两边都除以，得，可得． 对于A，由，可得，故A项不正确； 对于B，由于，所以不成立，故B不正确； 对于C，因为，所以，可得． 结合，可得，故C正确； 对于D，根据且，当，时，， 此时不成立，故D不正确． 故选：C． 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【解析】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. 【解析】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 18．已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，然后利用求得. （2）利用错位相减法求得. 【解析】（1）由于，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 也符合上式，所以. （2）， ，， 两式相减得 ， 所以. 19．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设分别与轴的交点为点，根据已知条件求出 坐标，设抛物线的解析式为，代入求出抛物线方程，令解得可得答案； （2）由（1）米，设，直线的解析式为，把代入解得，利用直线的解析式与抛物线方程联立，再由解得，可得， A，B分别是PS和QR的中点得，从而得出答案. 【解析】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴， 且，，米，， 所以，设抛物线的解析式为， 代入得解得，所以， 当时，解得，所以， 所以（米）， 所以杠杆AB的长度为米； （2）由（1）米，，设，且， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得， 因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B， 所以，， 所以，解得， 经检验，是分式方程的根，符合题意， 所以，由勾股定理得米， 因为A，B分别是PS和QR的中点，所以米， 所以米， 即等腰梯形的周长为米. 20．已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据曲线和有且仅有两个公共点，可得曲线和的两公共点为左右顶点，从而可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解； （2）设，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解； （3）联立方程，利用韦达定理可得，同理可得，再根据，即可得出结论. 【解析】（1）因为曲线和有且仅有两个公共点， 所以曲线和的两公共点为左右顶点， 则，曲线的半焦距， 所以曲线的离心率，渐近线方程为. （2）由题意可得：曲线：和直线：， 设直线与曲线交与， 联立方程联立，消去y得， 可得，且， 解得， 因为， 整理得，解得或（舍去）， 即，所以直线的方程. （3）联立，消去y得， 则，且，可得， 所以，， 可得， 同理可得：联立直线：与曲线：， 可得， 因为，所以， 又因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 21．若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设等比数列满足，，则 . 2．圆的半径为 3．过点且平行于向量的直线的点法式方程是 4．双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 5．，，则向量在向量上的投影向量是 ． 6．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 7．与圆，都相切的直线有 条． 8．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 9．数列满足：为正整数，，若，则 . 10．某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    11．已知是抛物线：的焦点，，是上不同的两点，为坐标原点，若，，垂足为，则面积的最大值为 . 12．已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 18．已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 19．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 20．已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 21．若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共2页） 试题 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设等比数列满足，，则 . 2．圆的半径为 3．过点且平行于向量的直线的点法式方程是 4．双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 5．，，则向量在向量上的投影向量是 ． 6．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 7．与圆，都相切的直线有 条． 8．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 9．数列满足：为正整数，，若，则 . 10．某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    11．已知是抛物线：的焦点，，是上不同的两点，为坐标原点，若，，垂足为，则面积的最大值为 . 12．已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 18．已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 19．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 20．已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 21．若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．2 3． 4． 5． 6． 7．3 8． 9． 10． 11． 12．60 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B D C A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． (2分) 平面，平面， ∴平面． (4分) ∵平面， ∴平面平面． (6分) （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， (8分) 设平面的法向量为， 则得 当时，则， (10分) 设点B到平面的距离为， ， 则． (14分) 18．（1）由于，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时，， 所以， (5分) 也符合上式，所以. (6分) （2）， ，， (8分) 两式相减得 ， 所以. (14分) 19．（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴， 且，，米，， 所以，设抛物线的解析式为， 代入得解得，所以， 当时，解得，所以， 所以（米）， 所以杠杆AB的长度为米； (6分) （2）由（1）米，，设，且， 直线的解析式为， 把代入得，解得， (8分) 所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得， 因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B， 所以，， 所以，解得， (10分) 经检验，是分式方程的根，符合题意， 所以，由勾股定理得米， (12分) 因为A，B分别是PS和QR的中点，所以米， 所以米， 即等腰梯形的周长为米. (14分) 20．（1）因为曲线和有且仅有两个公共点， 所以曲线和的两公共点为左右顶点， 则，曲线的半焦距， 所以曲线的离心率，渐近线方程为. (4分) （2）由题意可得：曲线：和直线：， 设直线与曲线交与， 联立方程联立，消去y得， 可得，且， 解得， 因为， 整理得，解得或（舍去）， 即，所以直线的方程. (10分) （3）联立，消去y得， 则，且，可得， 所以，， 可得， 同理可得：联立直线：与曲线：， 可得， 因为，所以， 又因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即． (18分) 21．（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； (4分) （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. (10分) （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. (18分) 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． __ __________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$