高一数学第三次月考卷（沪教版2020，测试范围：沪教版2020必修第二册第六～八章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.76。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【解析】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 2．的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据单位向量的求法，即可得答案. 【解析】由题意得：与同方向的单位向量为. 故答案为： 3．已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【解析】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 4．已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】利用扇形面积公式列方程求半径. 【解析】令扇形的半径为，则，可得. 故答案为：6. 5．已知向量和，则在方向上的投影是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【解析】向量和，则有，， 所以在方向上的投影是. 故答案为：. 6．若向量的夹角，，则 . 【答案】2 【分析】直接根据平面向量数量积的概念以及向量模的表示即可得结果. 【解析】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 故答案为：2. 7．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【解析】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 8．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 【答案】 【分析】令，由平面向量的线性运算即可求解； 【解析】设， 则， 即， 解得 ． 故答案为： 9．已知为锐角，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用角变换结合切化弦求解. 【解析】， ， 故答案为：. 10．函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】0 【分析】根据阴影面积得出，再根据诱导公式求解即可． 【解析】由图可知，，则， 所以， 故答案为：0． 11．如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数分别表示出，从而得到关于的表达式，再利用换元法与同角关系式进一步得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【解析】如图，延长交于点，延长交于点， 由四边形是正方形，四边形是矩形， 可知，又， 所以， 则，. 令，由，可得， 故， ，即， 则，其开口向上，对称轴为， 因为， 所以当时，取最大值，最大值为. 故答案为：. 12．中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【解析】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【解析】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 14．在平行四边形中，，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【解析】由题意可得 ， 所以，， 所以， 故选：D 15．将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的平移求得的解析式，根据已知求得的最大值和的最小值，即可求得的最大值以及的最小值，即得答案. 【解析】将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像, 即，则， 故由可得， 则， 因为，故， 所以需取到最大值，取到最小值， 即取到最大值，取到最小值，此时取最大值， 即最大值为， 故选：A 16．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解. 【解析】和相互垂直， 则，则， 结合图象，， 则 ， 因为恒成立，则， 即，则， 法（一）： 对称轴时： ，即 法（二）：，因为， 所以向量的终点共线（起点重合）， 则的面积， ，所以. 故选:．    【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值. （2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果. 【解析】（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以,又，所以； （2）， 解得：， 故 18．已知函数． (1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可. 【解析】（1）由题知， 所以， 当时，， 列表 0 2 0 0 作图 （2）由（1）得， 因为， 所以， 又函数在区间上是严格增函数， 所以， ， 解得，，又 解得，所以的取值范围为. 19．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图和图，均记. (1)记图裁出的矩形面积为，图裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式; (2)求的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大. 【答案】(1) (2)的最大值为，的最大值为，选择图裁法得到的矩形的面积更大. 【分析】（1）图矩形的面积直接计算即可，而图矩形的面积则需要先用正弦定理表示出， 再利用的平分线所在直线为对称轴计算出，然后计算面积 ； （2）分别求出和的最大值即可得出结论. 【解析】（1）对于图，在中，，    矩形的面积为； 对于图，因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴， 则， 所以矩形的面积为 （2）， 当时，取最大值，最大值为 ， 当时，取最大值，最大值为， 所以，选择图裁法得到的矩形的面积更大. 20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【解析】（1）由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. （3）， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 21．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 【答案】(1)①线性无关；②线性相关；理由见解析 (2)向量，，线性无关；理由见解析 (3)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【解析】（1）对于①，设， 则可得，所以，线性无关；                           对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （2）设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （3）①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期第三月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.68。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的初始相位是 ． 2．的单位向量的坐标为 ． 3．已知是第二象限角，那么 为第 象限角 4．已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为 ． 5．已知向量和，则在方向上的投影是 . 6．若向量的夹角，，则 . 7．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 8．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 9．已知为锐角，，则 ． 10．函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 11．如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.则的最大值为 . 12．中，，当时，的最小值为，则 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在平行四边形中，，．若，则（    ） A． B． C． D． 15．将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 16．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 18．已知函数． (1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 19．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图和图，均记. (1)记图裁出的矩形面积为，图裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式; (2)求的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大. 20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 21．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．一或三 4． 5． 6．2 7． 8． 9．/ 10．0 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 C D A D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：， （2分） 又因为， 所以, （4分） 又，所以； （6分） （2）， 解得：， （10分） 故 （14分） 18．（1）由题知， 所以， 当时，， 列表 0 2 0 0 作图 （6分） （2）由（1）得， 因为， 所以， （7分） 又函数在区间上是严格增函数， 所以， ， （9分） 解得，，又 （11分） 解得，所以的取值范围为. （14分） 19．（1）对于图，在中，，    矩形的面积为； 对于图，因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴， 则， （2分） 所以矩形的面积为 （6分） （2）， 当时，取最大值，最大值为 ， 当时，取最大值，最大值为， 所以，选择图裁法得到的矩形的面积更大. （14分） 20．（1）由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. （4分） （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. （10分） （3）， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. （18分） 21．（1）对于①，设， 则可得，所以，线性无关；                           对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （4分） （2）设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （10分） （3）①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 （18分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第三月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.68。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的初始相位是 ． 2．的单位向量的坐标为 ． 3．已知是第二象限角，那么 为第 象限角 4．已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为 ． 5．已知向量和，则在方向上的投影是 . 6．若向量的夹角，，则 . 7．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 8．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 9．已知为锐角，，则 ． 10．函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 11．如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.则的最大值为 . 12．中，，当时，的最小值为，则 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在平行四边形中，，．若，则（    ） A． B． C． D． 15．将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 16．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 18．已知函数． (1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 19．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图和图，均记. (1)记图裁出的矩形面积为，图裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式; (2)求的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大. 20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 21．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$