期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 11 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 11 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点 01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是 （积木上面的数表示在这个位置上所 用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是 ，图中数据表示在这 个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面 的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 【易错点 02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 第 3 页 共 11 页 1．汪杰用 10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的 图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形 不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿 1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( ) 种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【易错点 03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难 度较大 1．一个几何体从上面看是 ，从左面看是 。要搭成这样的几何体， 至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌 面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状 最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 第 4 页 共 11 页 【易错点 04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对 性 1．（判断）6÷3＝2，所以 6是倍数，3是因数。( ) 2．（判断）因为 5.7÷3＝1.9，所以 5.7是 3的倍数。( ) 【易错点 05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是 18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 2．一个数的最大因数是 15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【易错点 06】2、5、3 倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握 2、5、3 的倍数特征 1．一个四位数 145W ，W 最大填( )就是 3的倍数；W 最小填( ) 时，它既是 2的倍数，又是 3的倍数；当W 填( )时，它既是 3的倍数， 又是 5的倍数。 2．一个四位数“7□6□”能同时被 2、3、5整除，个位只能填( )，百位上 最大能填( )。 【易错点 07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是 75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是 ( )。 2．三个连续偶数的和是 36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是 ( )。 【易错点 08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果 a是偶数，那么 a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 2．表中粗线框中三个数的和是 9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的 第 5 页 共 11 页 三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是 64的三个数。 【易错点 09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合 数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数， E是 10以内最大的合数，F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家 的电话号码是( )。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的 2倍， 第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位 数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是 8个数字的公因数。已知前 四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的 2倍小 477，贝贝家的电话 是( )。 【易错点 10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与 4号面相对的面是( )。 A．1 B．2 C．3 D．6 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 第 6 页 共 11 页 【易错点 11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需 30厘米，至少需要多 长的丝带？（单位：厘米） 2．10月 18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋 糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去 18厘米，共用彩带多少厘米？ 【易错点 12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是 5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长 方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 2．王叔叔要将 2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的 包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 第 7 页 共 11 页 【易错点 13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【易错点 14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为 4分米，通风管长 3米，做 4节这样 的通风管需要多少铁皮？ 2．在 5月 6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的 50名人员每人 发了一个建党 100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平 方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 第 8 页 共 11 页 【易错点 15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深 30厘米，现在将乙容器中的水倒一部 分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的 厚度忽略不计） 2．两个长方体容器 A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器 A中 没有水，容器 B中水深 30厘米。要将容器 B中的水倒一部分给容器 A，使两个 容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【易错点 16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都 是 8厘米，高是 17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻 璃缸口 1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高 12厘米。 第 9 页 共 11 页 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断， 小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 2．在一个长 8米、宽 5米、高 2米的水池中注满水，然后把一条长 3米、宽 2 米、高 5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【易错点 17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根 m米长的木条锯成同样长的 3段，每段长    米，每段是这根木条 的    。 2．把 7米长的铁丝平均截成 9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【易错点 18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．一堆煤用去它的 3 4 ，还剩下 3 4 吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 2．把一根绳子分成 2段，第一段长 811米，第二段占全长的 8 11，两段绳子相比 ( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【易错点 19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 第 10 页 共 11 页 1．在 x 10里，当 x( )时，它是真分数；当 x( )时，它是能化成整 数的假分数；当 x( )时，它是能化成带分数的假分数。 2．在 a9（a为自然数）中，当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它是最小的合数。 【易错点 20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1． 3 3 5A    ， 3 5 7B    ，则A和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 2．如果 2 5a m   ， 5 7b m   ，a和 b的最大公因数是 10，那么 m是( )， a和 b的最小公倍数是( )。 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【易错点 21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在 1120、 4 5 、 2 6 、 3 8这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． 1120 B． 4 5 C． 2 6 D． 38 2．在 7 20 ， 5 6 ， 6 15， 1 125 ， 5 12， 8 25中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【易错点 22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给 6人，最后余下 3支，如果把它们平 均分给 4人，最后也余下 3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 第 11 页 共 11 页 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人 们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕， 张敏奶奶包了 120多个粽子，每 5个装一袋，或者每 8个装一袋，都还剩下 4 个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 第 1 页 共 26 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 26 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点 01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是 （积木上面的数表示在这个位置上所 用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据观察，可知这个立体图形的左面图形为 ，前面图形为 ，右 面图形为 ，据此选择。 【详解】 小亮搭的积木从上面看是 （积木上面的数表示在这个位置上所用的 小正方体的个数），搭的这组积木从左面看图形为 。 故答案为：A 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是 ，图中数据表示在这 第 3 页 共 26 页 个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据从上面看到的图形以及小正方体的个数，这个几何体的摆法应该是： ， 据此解答。 【详解】 由分析可得：数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是 ，图中数据 表示在这个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是 。 故答案为：B 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面 的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 【答案】图见详解 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根 据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形 状，从前面看有 3列，左边 1列 2个小正方形，中间 1列有 3个小正方形，右边 1列 2个小正方形；从左面看有 3列，左边 1列 2个小正方形，中间 1列有 3个 第 4 页 共 26 页 小正方形，右边 1列 2个小正方形。据此画图即可。 【详解】 【易错点 02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 1．汪杰用 10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的 图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形 不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 【答案】 3 4 【分析】要使前面看到的图形不变，那么可以将第一行下面右边 2个和上面 1 个拿走；要使从上面看到的图形不变，那么可以将最上面两层的 4个拿走。 【详解】据分析可知，如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走 3个小 正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走 4个小正方体。 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿 1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( ) 种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【答案】(1)③、④ (2)8 第 5 页 共 26 页 【分析】（1）从左面观察 5个立体图形，确定这 5个立体图形从左面看到的形 状，然后再解答即可； （2）⑤号图形只有 6个正正方体，需要在⑤号图形的基础上再添加一个正方体， 但是不能改变从正面看到的形状，这个正方体必须添加在已有正方体的后面，可 以放在第一层左边、 中间、或右边的小正方体后面，同理放在前面也有 3种， 共有 6种不同的摆法；也可以放在第二层左边的小正方体前、后面，据此解答。 【详解】（1） ①从左面看是： ； ②从左边看是： ； ③从左边看是： ； ④从左边看是： ； ⑤从左边看是： 。 ③、④从左边看形状相同。 从左面看形状相同的是③、④。 （2）6＋2＝8（种） 如果再拿 1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有 8种摆法。 【易错点 03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难 度较大 1．一个几何体从上面看是 ，从左面看是 。要搭成这样的几何体， 至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】 第 6 页 共 26 页 根据题意，从上面看到的图形为 ，结合用相同的小正方体最少时，下面 一层 4个，结合从左面看到的图形，则上面一层最少有 1个，则至少要用 4＋1 ＝5个小正方体。用相同的小正方体最多时，下面一层 4个，摆成从上面看到的 形状；上面一层 3个，与从上面看到的一行 3个一一对应，放在其上面即可。据 此可以得出答案。 【详解】最少：4＋1＝5（个） 最多：4＋3＝7（个） 则要搭成这样的几何体，至少要用 5个小正方体，最多可以用 7个小正方体。 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌 面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状 最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 【答案】 8 10 【分析】根据从上面看到形状可知，底层有 3枚象棋，结合从前面和右面看到的 形状可知， “车”有 4枚， “马”有 3枚， “兵”至少有 1枚，最多有 3枚，据此 解答即可。 【详解】3＋4＋3＝10（个） 3＋4＋1＝8（个） 由分析可知，如图是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状最少要用 8 枚象棋，最多要用 10枚象棋。 【易错点 04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对 性 1．（判断）6÷3＝2，所以 6是倍数，3是因数。( ) 【答案】× 【分析】倍数、因数是相对的，即一个数是另一个数的倍数，另一个数是一个数 的因数。据此可得出答案。 第 7 页 共 26 页 【详解】6÷3＝2，所以 6是 3的倍数，3是 6的因数，题干表述错误。 故答案为：× 2．（判断）因为 5.7÷3＝1.9，所以 5.7是 3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍 数。而在小数除法中，不能说小数是另一个数的倍数。 【详解】5.7是小数，倍数的概念是在整数范围内讨论的。当两个整数相除没有 余数时，我们才能说被除数是除数的倍数。在这个例子中，5.7不是整数，所以 不能说 5.7是 3的倍数，该说法错误。 故答案为：× 【易错点 05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是 18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 【答案】 18 18 【分析】一个数的最小倍数是它本身；一个数的最大因数是它本身。据此解答。 【详解】通过分析可得： 一个数的最小倍数是 18，这个数是 18，它的最大因数是 18。 2．一个数的最大因数是 15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 15 1、3、5、15 【分析】一个数的最小因数是 1，最大因数是本身。一个数的最小倍数也是本身。 一个数的最大因数是 15，说明这个数就是 15，再通过等积式求出它的因数即可。 【详解】15＝1×15＝3×5 一个数的最大因数是 15，它的最小倍数是 15，它的因数有 1、3、5、15。 【易错点 06】2、5、3 倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握 2、5、3 的倍数特征 1．一个四位数 145W ，W 最大填( )就是 3的倍数；W 最小填( ) 时，它既是 2的倍数，又是 3的倍数；当W 填( )时，它既是 3的倍数， 又是 5的倍数。 第 8 页 共 26 页 【答案】 8 2 5 【分析】根据 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数字就是 3的倍数，当个位上是 8时，1 4 5 8 18    ，18 3 6  ； 2、3的倍数特征：要想使这个数既是 2的倍数又是 3的倍数，个位上是 0、2、4、 6或 8且各数位上的数字之和是 3的倍数，当个位上是 2时，1 4 5 2 12    ， 12 3 4  ； 3、5的倍数特征：要想使这个数既是 3的倍数又是 5的倍数，个位上必须是 0、 或5且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是5时，1 4 5 5 15    ，15 3 5  ； 当个位上是 0时，1 4 5 0 10    ，10 3 3 1   ，所以 1450不是 3的倍数；据此 解答。 【详解】一个四位数 145W ，W 最大填 8就是 3的倍数；W 最小填 2时，它既是 2的倍数，又是 3的倍数；当W 填 5时，它既是 3的倍数，又是 5的倍数。 2．一个四位数“7□6□”能同时被 2、3、5整除，个位只能填( )，百位上 最大能填( )。 【答案】 0 8 【分析】同时是 2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是 0，各个数位上数字相加 的和是 3的倍数，所以这个四位数的个位数字只能是 0，再从最大的一位数判断 这个数各个数位上的数字之和是否为 3的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，这个四位数的个位只能填 0。 当百位数字为 9时，7＋9＋6＋0＝22，22不是 3的倍数； 当百位数字为 8时，7＋8＋6＋0＝21，21是 3的倍数。 所以，一个四位数“7□6□”能同时被 2、3、5整除，个位只能填 0，百位上最大能 填 8。 【易错点 07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是 75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是 ( )。 【答案】 23 27 【分析】三个连续的奇数，后一个奇数比前一个多 2，中间的一个就是三个数的 第 9 页 共 26 页 平均数。据此用 75除以 3即可求出中间的那个奇数，再用这个数分别减 2、加 2 即可解答。 【详解】75÷3＝25 25－2＝23 25＋2＝27 则这三个奇数中最小的是 23，最大的是 27。 2．三个连续偶数的和是 36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是 ( )。 【答案】 12 14 【分析】根据平均数＝总数量÷总个数，先求出平均数；由于是连续的偶数，则 每相邻的两个偶数相差 2，则平均数是中间的数，最大的数比平均数大 2。 【详解】平均数为：36÷3＝12 最大的数为：12＋2＝14 【点睛】此题考查的是平均数的应用，解答本题关键是要先求出平均数，再结合 3个连续偶数的特点解答。 【易错点 08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果 a是偶数，那么 a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 【答案】 偶 奇 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫偶数，不是 2的倍数的数叫奇数。根据奇数 和偶数的运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数。 从题意可知：a是偶数，2是偶数，a＋2就是偶数＋偶数，结果还是偶数；a是 偶数，1是奇数，a＋1就是偶数＋奇数，结果是奇数。 【详解】根据分析可得： 如果 a是偶数，那么 a＋2的和是偶数，a＋1的和是奇数。 2．表中粗线框中三个数的和是 9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的 三个数的和各不相同。 第 10 页 共 26 页 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是 64的三个数。 【答案】(1)13 (2)不能 【分析】（1）将表中的 15个数依次以“三连格”方式框出，即从 1＋3＋5到 25 ＋27＋29，15个数中，从 1开始一直到 25都能框出“三连格”，但最后两个数 27 和 29无法与后面的数框出“三连格”，所以一共得到 13个不同的和。 （2）表中的数都是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，可知三 个奇数相加的和一定是奇数，据此判断是否能框出和为 64的三个数。 【详解】（1）15－2＝13（个） 一共可以框出（13）个不同的和。 （2）每次框出来的三个数都是奇数，3个奇数相加和是奇数，而 64是偶数，所 以（不能）框出和是 64的三个数。 【易错点 09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合 数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数， E是 10以内最大的合数，F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家 的电话号码是( )。 【答案】4210958 【分析】最小的合数是 4，最小的质数是 2，既不是质数也不是合数的数是 1， 比最小的质数小 2的数是 0，10以内最大的合数是 9，因数只有 1和 5的数是 5， 一位数中最大的偶数是 8，所以平平家的电话号码是 4210958。 【详解】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小 的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的 数，E是 10以内最大的合数，F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平 平家的电话号码是 4210958。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的 2倍， 第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位 第 11 页 共 26 页 数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是 8个数字的公因数。已知前 四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的 2倍小 477，贝贝家的电话 是( )。 【答案】84254451 【分析】 第三位数字是最小的质数，则是 2；六位数字是最小的合数，是 4，第一位数字 是第六位数字的 2倍，第一位就 8；第八位数字是 8个数字的公因数，是 1。设 这个数的第二位和第五位是 a，第四位和第七位是 b，则这个 8位数是8 2 4 1a ba b ， 观察后设 0a b x ，根据运算的算理则8 2a b ＝8020＋x， 4 1 10 401a b x  ，再根据前四 位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的 2倍小 477列出方程求出 a和 b的值。 【详解】设 0a b x 8020 2 10 401 477x x   （ ） 8020 20 802 477x x    8020 20 325x x   20 8020 325x x   19 7695x  7695 19x   405x  则 a是 4，b是 5 贝贝家的电话是 84254451。 【点睛】要熟练掌握加减乘除的运算的算理。 【易错点 10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与 4号面相对的面是( )。 第 12 页 共 26 页 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】据图可知，这是“1－3－2”型正方体展开图，可以把 4号面看作下面， 则 5号面和 1号面是左右面，2号面和 6号面是前后面，3号面和 4号面是上下 面，据此解答。 【详解】据图可知，6号面和 2号面相对，1号面和 5号面相对，4号面和 3号 面相对。 故答案为：C 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有 11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即 第一行有 1个，第二行有 4个，第三行有 1个；“2－2－2”型，即第一行有 2个， 第二行有 2个，第三行有 2个；“3－3”型，即第一行有 3个，第二行有 3个；“1 －3－2”型，即第一行有 1个，第二行有 3个，第三行有 2个；据此结合选项给 出的展开图判断即可。 【详解】 A． 属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方 体； B． 不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C． 属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正 方体； 第 13 页 共 26 页 D． 属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正 方体。 故答案为：B 【易错点 11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需 30厘米，至少需要多 长的丝带？（单位：厘米） 【答案】750厘米 【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的 3组，每组 4条棱的长度 相等，由图形可知：需要彩带的长度＝4条长＋4条高＋4条宽＋打结用的 30厘 米即可。 【详解】85×4＋60×4＋35×4＋30 ＝340＋240＋140＋30 ＝580＋140＋30 ＝720＋30 ＝750（厘米） 答：至少需要 750厘米的丝带。 2．10月 18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋 糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去 18厘米，共用彩带多少厘米？ 【答案】288cm 【分析】根据图可知，共用的彩带的长度＝2个长＋4个宽＋6个高＋打结处的 第 14 页 共 26 页 长度。据此解答即可。 【详解】50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带 288厘米。 【易错点 12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是 5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长 方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 【答案】134平方厘米 【分析】根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长 和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两 个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。 【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是 134平方厘米。 2．王叔叔要将 2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的 包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 【答案】280平方厘米 【分析】要想包装最节省包装纸，组合后的长方体的表面积最小，即把两个小长 方体的最大的面重合在一起，组合后的长方体的长是 10厘米，宽是 5厘米，高 是（3＋3）厘米；再根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2， 代入数据，即可解答。 第 15 页 共 26 页 【详解】由分析可得：组合后的长方体的长是 10厘米，宽是 5厘米，高是（3 ＋3）厘米； 3＋3＝6（厘米） （10×5＋10×6＋5×6）×2 ＝（50＋60＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 答：最节省包装纸的包装方法需要 280平方厘米的包装纸。 【易错点 13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】844平方分米 【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长 方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有 一个面是与长方体相接的，所以只有 4个面，所以，可以直接计算 4个面的面积。 最后将得出的结果相加即可。 【详解】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 第 16 页 共 26 页 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为 844平方分米。 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小 长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长 方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长 ×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是 6分米，宽是 2分米，面积＝长×宽。 正方形的边长是 2分米，面积＝边长×边长。 【详解】 (10 6 10 2 6 2) 2      ＝ (60 20 12) 2   ＝92 2 ＝184（平方分米） 6 2 4 48   （平方分米） 2 2 4 16   （平方分米） 184 48 16 248   （平方分米） 则图形的表面积是 248平方分米。 【易错点 14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为 4分米，通风管长 3米，做 4节这样 的通风管需要多少铁皮？ 【答案】1920平方分米 【分析】根据题意，一节通风管需要的铁皮是通风管的侧面积，先计算出通风管 的侧面积，而侧面积正好等于长方体的四个面的面积和，底面为正方形的长方体， 侧面四个面的形状大小完全一样，据此求出一节通风管的铁皮面积，然后再乘 4 第 17 页 共 26 页 即可。 【详解】3米＝30分米 一节铁皮面积：4 30 4  120 4  480 （平方分米） 4节通风管铁皮面积：4 480 1920  （平方分米） 答：做 4节这样的通风管需要 1920平方分米铁皮。 2．在 5月 6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的 50名人员每人 发了一个建党 100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平 方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 【答案】51.2平方分米 【分析】从图中可知，这个宣传袋没有上面，求做一个这样的宣传袋至少需要包 装纸的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共 5个面的面积之和，根据 “长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求解。 【详解】4×0.8＋4×5×2＋0.8×5×2 ＝3.2＋40＋8 ＝51.2（平方分米） 答：做一个这样的宣传袋至少需要 51.2平方分米的包装纸。 【易错点 15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深 30厘米，现在将乙容器中的水倒一部 分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的 厚度忽略不计） 第 18 页 共 26 页 【答案】7.5厘米 【分析】根据题干分析可得。可设两个容器的水深相同为 x厘米，根据长方体的 体积 V＝abh可知，甲容器中的水的体积是（60×30×x）立方厘米；乙容器中的 水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于乙容器中 高为 30厘米时的水的体积，即可列出方程，求出 x的值即可解答问题。 【详解】解：设两个容器的水深相同为 x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深 7.5厘米。 2．两个长方体容器 A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器 A中 没有水，容器 B中水深 30厘米。要将容器 B中的水倒一部分给容器 A，使两个 容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】因为水的总体积＝A容器水的体积＋B容器水的体积＝A容器的底面积 ×A容器水的高度＋B容器的底面积×B容器水的高度，因为两个容器中水的高度 相同，所以水的总体积＝（A容器的底面积＋ B容器的底面积）×水的高度。先 求出 A、B 两个容器的底面积之和，再算出水的总体积，最后用水的总量除以 底面积之和，即可得到相同高度的水深是多少，据此解答。 第 19 页 共 26 页 【详解】 40 30 30 20   1200 600  1800 （平方厘米） 30 20 30 18000   （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深 10厘米。 【易错点 16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都 是 8厘米，高是 17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻 璃缸口 1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高 12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断， 小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）不对；红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升 1厘米高水的体 积 （2）320立方厘米 【分析】（1）由题意可知，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口 1厘米， 即水面高度为 17－1＝16厘米，说明水没有倒满，小玲把红薯放入水中，再把红 薯取出，这时水面高 12厘米，这时水的高度少了（16－12）厘米，因此，红薯 的体积等于溢出的水的体积＋上升 1厘米高水的体积。 （2）由（1）可知，红薯的体积溢出的水的体积＋上升 1厘米高水的体积，根据 长方体的体积＝底面积×高可知，底面积是 8×8＝64平方厘米，高为（16－12＋ 1），把数据代入公式即可求出红薯的体积。 【详解】（1）由分析可知： 第 20 页 共 26 页 小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，此说法不正确，红薯的 体积等于溢出的水的体积加上上升 1厘米高水的体积。 （2）17－1＝16（厘米） 8×8×（16－12＋1） ＝64×（4＋1） ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：红薯的体积是 320立方厘米。 2．在一个长 8米、宽 5米、高 2米的水池中注满水，然后把一条长 3米、宽 2 米、高 5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】12立方米 【分析】由于是石柱立着放入池中，放入水中的石柱高度是 2米，根据  长方体的体积＝长 宽 高，求出放入水中石柱的体积，放入水中石柱的体积就是 溢出的水的体积，据此即可解答。 【详解】3×2×2＝12（立方米） 答：水池溢出的水的体积是 12立方米。 【易错点 17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根 m米长的木条锯成同样长的 3段，每段长    米，每段是这根木条 的    。 【答案】 3 m ； 1 3 【分析】求每段长的米数，平均分的是具体的数量 m米，求的是具体的数量； 求每段长是这根木条的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；都用除法 计算。 【详解】m÷3＝ 3 m （米） 1÷3＝ 13 第 21 页 共 26 页 则每段长 3 m 米，每段是这根木条的 1 3。 2．把 7米长的铁丝平均截成 9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 7 9 1 9 【分析】求每段长多少米，用铁丝的长度÷平均截的段数；把铁丝的全长看作单 位“1”，平均分成 9段，求每段是全长的几分之几，用 1÷9解答。 【详解】7÷9＝ 79（米） 1÷9＝ 1 9 把 7米长的铁丝平均截成 9段，每段长 79米，每段是全长的 1 9 。 【易错点 18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．一堆煤用去它的 3 4 ，还剩下 3 4 吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 【答案】A 【分析】由“一堆煤用去它的 3 4 ”可知，将一堆煤看作单位“1”，用去了 3 4 ，还剩下 1－ 3 4 ＝ 1 4，直接比较 3 4 和 1 4 即可比较出用去的和剩下的哪一个多。据此解答。 【详解】1－ 3 4 ＝ 1 4 3 4 ＞ 1 4 所以，用去的多。 故答案为：A 2．把一根绳子分成 2段，第一段长 811米，第二段占全长的 8 11，两段绳子相比 ( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【答案】B 【分析】根据题意可知，一根绳子分成两段，第二段占全长的 8 11，则第一段占全 第 22 页 共 26 页 长的（1－ 811），计算后再比较，即可得解。 【详解】 8 31 11 11   8 3 11 11  把一根绳子分成 2段，第一段长 811米，第二段占全长的 8 11，两段绳子相比第二 段长。 故答案为：B 【易错点 19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 1．在 x 10里，当 x( )时，它是真分数；当 x( )时，它是能化成整 数的假分数；当 x( )时，它是能化成带分数的假分数。 【答案】 大于 0小于 10 是 10的倍数 大于 10 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的 分数叫做假分数，假分数大于或等于 1；把假分数写成整数和真分数的形式，叫 做带分数；据此解答。 【详解】在10 x 里，当 x大于 0小于 10时，它是真分数；当 x是 10的倍数时， 它是能化成整数的假分数；当 x大于 10时，它是能化成带分数的假分数。 2．在 a9（a为自然数）中，当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它是最小的合数。 【答案】 9 36 【分析】分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；一个数，除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答即可。 【详解】当 a＝9时，它是最小的假分数； 最小的合数是 4，4＝ 369 ，当 a＝36时，它是最小的合数。 所以，在 a 9（a为自然数）中，当 a＝9时，它是最小的假分数；当 a＝36时，它 是最小的合数。 第 23 页 共 26 页 【易错点 20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1． 3 3 5A    ， 3 5 7B    ，则A和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 15 315 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是 公有质因数与独有质因数的连乘积，据此进行计算即可。 【详解】因为 3 3 5A    ， 3 5 7B    则A和 B 的最大公因数是 3×5＝15，最小公倍数是 3×5×3×7＝315。 【点睛】本题考查求最大公因数和最小公倍数，明确求最大公因数和最小公倍数 的方法是解题的关键。 2．如果 2 5a m   ， 5 7b m   ，a和 b的最大公因数是 10，那么 m是( )， a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 2 140 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是 公有质因数与独有质因数的连乘积。据此解答即可。 【详解】因为 2 5a m   ， 5 7b m   ，a和 b的最大公因数是 10 则 5m＝10 解：5m÷5＝10÷5 m＝2 那么 m是 2，a和 b的最小公倍数是 2×5×m×7＝70m＝70×2＝140。 【点睛】本题考查求最大公因数和最小公倍数，明确求最大公因数和最小公倍数 的方法是解题的关键。 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 3n 18n 【分析】根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是两个数最 大公因数；最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘 积就是两个数的最小公倍数；用分解质因数的方法来求出 A的因数和 B的因数， 第 24 页 共 26 页 然后找出公共的因数，据此来解决最大公因数和最小公倍数。 【详解】A＝6n，A的因数有 3，2，n。 B＝9n，B的因数有；3，3，n。 A和 B的最大公因数：3×n＝3n；最小公倍数：3×n×2×3＝18n。 已知 A＝6n，B＝9n（n为大于 0的自然数），则 A和 B的最大公因数是 3n，最 小公倍数是 18n。 【点睛】熟练掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解答本题的关键，本题不仅 有数字公因数还有字母公因数，不要漏掉。 【易错点 21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在 1120、 4 5 、 2 6 、 3 8这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． 1120 B． 4 5 C． 2 6 D． 38 【答案】C 【分析】判断一个分数能否化成有限小数，根据一个最简分数， 如果分母中只 含有质因数 2或 5，这个分数就能化成有限小数，如果分母中含有 2或 5以外的 质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此判断即可。 【详解】A． 1120的分母只有质因数 2和 5，所以 11 20可以化为有限小数； B． 45 的分母只有质因数 5，所以 4 5可以化为有限小数； C． 2 6 ＝ 1 3的分母含有质因数 3，所以 2 6 不可以化为有限小数； D． 38的分母含有质因数 2，所以 3 8可以化为有限小数。 故答案为：C 【点睛】本题考查分数与小数的关系，明确分数化小数的方法是解题的关键。 2．在 7 20 ， 5 6 ， 6 15， 1 125 ， 5 12， 8 25中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】判断分数是否能化成有限小数的方法： 第 25 页 共 26 页 （1）判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数； （2）把分数的分母分解质因数：如果分母中除了 2和 5以外，不含有其他质因 数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2和 5以外的质因数，这个分 数就不能化成有限小数。据此，先看给定的分数是否为最简分数，然后把分母分 解质因数，根据因数是否含有 2和 5以外的数来判断。 【详解】 7 20 是最简分数，且 20＝2×2×5，可以化成有限小数； 5 6 是最简分数，但是 6＝2×3，不能化成有限小数； 6 15化为最简分数是 2 5 ，可以化成有限小数； 1 125 是最简分数，且 125＝5×5×5，可以化成有限小数； 5 12是最简分数，但是 12＝2×2×3，不能化成有限小数； 8 25是最简分数，且 25＝5×5，可以化成有限小数。 综上，能化成有限小数的分数有 4个。 故答案为：D 【点睛】考查了对于一个分数能否化为最简分数的掌握，需要熟悉最简分数的含 义，分解质因数的方法。 【易错点 22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给 6人，最后余下 3支，如果把它们平 均分给 4人，最后也余下 3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 【答案】15支 【分析】根据题意，一捆铅笔平均分给 6人，最后余下 3支；平均分给 4人，最 后也余下 3支；说明这捆铅笔的数量至少比 6和 4的最小公倍数还多 3； 先把 6和 4分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们 的最小公倍数，再加 3，即是这捆铅笔最少的数量。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和 4的最小公倍数是 2×2×3＝12 第 26 页 共 26 页 12＋3＝15（支） 答：刘老师买回的铅笔最少有 15支。 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人 们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕， 张敏奶奶包了 120多个粽子，每 5个装一袋，或者每 8个装一袋，都还剩下 4 个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 【答案】124个 【分析】由题意可知，每 5个装一袋，则粽子个数是 5的倍数，同理也是 8的倍 数，即粽子个数可看作是 5和 8的公倍数；又因为装完都还剩下 4个，粽子的个 数应是 5和 8的公倍数，再加上 4个，先求出 5和 8的最小公倍数，再结合题意 奶奶包了 120多个粽子，因为 40的 3倍是 120，接近粽子个数，进而求得粽子 的数量。 【详解】5和 8是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 5×8＝40 40×3＋4 ＝120＋4 ＝124（个） 答：张敏奶奶一共包了 124个粽子。 第 1 页 共 15 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 15 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点 01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是 （积木上面的数表示在这个位置上所 用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 【答案】A 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是 ，图中数据表示在这 个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面 的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 第 3 页 共 15 页 【答案】 【易错点 02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 1．汪杰用 10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的 图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形 不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 【答案】 3 4 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿 1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( ) 种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【答案】(1)③、④；(2)8 【易错点 03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难 度较大 第 4 页 共 15 页 1．一个几何体从上面看是 ，从左面看是 。要搭成这样的几何体， 至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 【答案】 5 7 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌 面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状 最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 【答案】 8 10 【易错点 04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对 性 1．（判断）6÷3＝2，所以 6是倍数，3是因数。( ) 【答案】× 2．（判断）因为 5.7÷3＝1.9，所以 5.7是 3的倍数。( ) 【答案】× 【易错点 05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是 18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 【答案】 18 18 2．一个数的最大因数是 15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 15 1、3、5、15 【易错点 06】2、5、3 倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握 2、5、3 的倍数特征 1．一个四位数 145W ，W 最大填( )就是 3的倍数；W 最小填( ) 时，它既是 2的倍数，又是 3的倍数；当W 填( )时，它既是 3的倍数， 第 5 页 共 15 页 又是 5的倍数。 【答案】 8 2 5 2．一个四位数“7□6□”能同时被 2、3、5整除，个位只能填( )，百位上 最大能填( )。 【答案】 0 8 【易错点 07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是 75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是 ( )。 【答案】 23 27 2．三个连续偶数的和是 36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是 ( )。 【答案】 12 14 【易错点 08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果 a是偶数，那么 a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 【答案】 偶 奇 2．表中粗线框中三个数的和是 9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的 三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是 64的三个数。 【答案】(1)13；(2)不能 【易错点 09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合 第 6 页 共 15 页 数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数， E是 10以内最大的合数，F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家 的电话号码是( )。 【答案】4210958 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的 2倍， 第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位 数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是 8个数字的公因数。已知前 四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的 2倍小 477，贝贝家的电话 是( )。 【答案】84254451 【易错点 10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与 4号面相对的面是( )。 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【易错点 11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需 30厘米，至少需要多 长的丝带？（单位：厘米） 第 7 页 共 15 页 【答案】 85×4＋60×4＋35×4＋30 ＝340＋240＋140＋30 ＝580＋140＋30 ＝720＋30 ＝750（厘米） 答：至少需要 750厘米的丝带。 2．10月 18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋 糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去 18厘米，共用彩带多少厘米？ 【答案】 50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带 288厘米。 【易错点 12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是 5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长 方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 【答案】 （5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 第 8 页 共 15 页 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是 134平方厘米。 2．王叔叔要将 2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的 包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 【答案】 组合后的长方体的长是 10厘米，宽是 5厘米，高是（3＋3）厘米； 3＋3＝6（厘米） （10×5＋10×6＋5×6）×2 ＝（50＋60＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 答：最节省包装纸的包装方法需要 280平方厘米的包装纸。 【易错点 13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】 长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 第 9 页 共 15 页 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为 844平方分米。 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】 (10 6 10 2 6 2) 2      ＝ (60 20 12) 2   ＝92 2 ＝184（平方分米） 6 2 4 48   （平方分米） 2 2 4 16   （平方分米） 184 48 16 248   （平方分米） 则图形的表面积是 248平方分米。 【易错点 14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为 4分米，通风管长 3米，做 4节这样 的通风管需要多少铁皮？ 【答案】 3米＝30分米 一节铁皮面积：4 30 4  120 4  480 （平方分米） 4节通风管铁皮面积：4 480 1920  （平方分米） 第 10 页 共 15 页 答：做 4节这样的通风管需要 1920平方分米铁皮。 2．在 5月 6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的 50名人员每人 发了一个建党 100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平 方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 【答案】 4×0.8＋4×5×2＋0.8×5×2 ＝3.2＋40＋8 ＝51.2（平方分米） 答：做一个这样的宣传袋至少需要 51.2平方分米的包装纸。 【易错点 15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深 30厘米，现在将乙容器中的水倒一部 分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的 厚度忽略不计） 【答案】 解：设两个容器的水深相同为 x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 第 11 页 共 15 页 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深 7.5厘米。 2．两个长方体容器 A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器 A中 没有水，容器 B中水深 30厘米。要将容器 B中的水倒一部分给容器 A，使两个 容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】 40 30 30 20   1200 600  1800 （平方厘米） 30 20 30 18000   （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深 10厘米。 【易错点 16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都 是 8厘米，高是 17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻 璃缸口 1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高 12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断， 小玲说的对吗？为什么？ 第 12 页 共 15 页 （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）由分析可知： 小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，此说法不正确，红薯的 体积等于溢出的水的体积加上上升 1厘米高水的体积。 （2）17－1＝16（厘米） 8×8×（16－12＋1） ＝64×（4＋1） ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：红薯的体积是 320立方厘米。 2．在一个长 8米、宽 5米、高 2米的水池中注满水，然后把一条长 3米、宽 2 米、高 5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】 3×2×2＝12（立方米） 答：水池溢出的水的体积是 12立方米。 【易错点 17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根 m米长的木条锯成同样长的 3段，每段长    米，每段是这根木条 的    。 【答案】 3 m ； 1 3 2．把 7米长的铁丝平均截成 9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 7 9 1 9 【易错点 18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 第 13 页 共 15 页 1．一堆煤用去它的 3 4 ，还剩下 3 4 吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 【答案】A 2．把一根绳子分成 2段，第一段长 811米，第二段占全长的 8 11，两段绳子相比 ( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【答案】B 【易错点 19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 1．在 x 10里，当 x( )时，它是真分数；当 x( )时，它是能化成整 数的假分数；当 x( )时，它是能化成带分数的假分数。 【答案】 大于 0小于 10 是 10的倍数 大于 10 2．在 a9（a为自然数）中，当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它是最小的合数。 【答案】 9 36 【易错点 20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1． 3 3 5A    ， 3 5 7B    ，则A和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 15 315 2．如果 2 5a m   ， 5 7b m   ，a和 b的最大公因数是 10，那么 m是( )， a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 2 140 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 3n 18n 第 14 页 共 15 页 【易错点 21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在 1120、 4 5 、 2 6 、 3 8这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． 1120 B． 4 5 C． 2 6 D． 38 【答案】C 2．在 7 20 ， 5 6 ， 6 15， 1 125 ， 5 12， 8 25中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【易错点 22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给 6人，最后余下 3支，如果把它们平 均分给 4人，最后也余下 3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 【答案】 6＝2×3 4＝2×2 6和 4的最小公倍数是 2×2×3＝12 12＋3＝15（支） 答：刘老师买回的铅笔最少有 15支。 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人 们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕， 张敏奶奶包了 120多个粽子，每 5个装一袋，或者每 8个装一袋，都还剩下 4 个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 【答案】 5和 8是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 5×8＝40 40×3＋4 ＝120＋4 第 15 页 共 15 页 ＝124（个） 答：张敏奶奶一共包了 124个粽子。 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是（积木上面的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是，图中数据表示在这个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 【易错点02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 1．汪杰用10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( )种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【易错点03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难度较大 1．一个几何体从上面看是，从左面看是。要搭成这样的几何体，至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 【易错点04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对性 1．（判断）6÷3＝2，所以6是倍数，3是因数。( ) 2．（判断）因为5.7÷3＝1.9，所以5.7是3的倍数。( ) 【易错点05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 2．一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【易错点06】2、5、3倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握2、5、3的倍数特征 1．一个四位数145，最大填( )就是3的倍数；最小填( )时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 2．一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填( )，百位上最大能填( )。 【易错点07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是( )。 2．三个连续偶数的和是36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是( )。 【易错点08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果a是偶数，那么a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 2．表中粗线框中三个数的和是9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是64的三个数。 【易错点09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是( )。 【易错点10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与4号面相对的面是( )。 A．1 B．2 C．3 D．6 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【易错点11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需30厘米，至少需要多长的丝带？（单位：厘米） 2．10月18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去18厘米，共用彩带多少厘米？ 【易错点12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 2．王叔叔要将2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 【易错点13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【易错点14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？ 2．在5月6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的50名人员每人发了一个建党100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 【易错点15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 2．两个长方体容器A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，容器B中水深30厘米。要将容器B中的水倒一部分给容器A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【易错点16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都是8厘米，高是17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断，小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 2．在一个长8米、宽5米、高2米的水池中注满水，然后把一条长3米、宽2米、高5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【易错点17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根m米长的木条锯成同样长的3段，每段长米，每段是这根木条的。 2．把7米长的铁丝平均截成9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【易错点18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．一堆煤用去它的，还剩下吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 2．把一根绳子分成2段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【易错点19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 1．在里，当x( )时，它是真分数；当x( )时，它是能化成整数的假分数；当x( )时，它是能化成带分数的假分数。 2．在（a为自然数）中，当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它是最小的合数。 【易错点20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1．，，则和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．如果，，a和b的最大公因数是10，那么m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【易错点21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在、、、这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． B． C． D． 2．在，，，，，中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【易错点22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给6人，最后余下3支，如果把它们平均分给4人，最后也余下3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕，张敏奶奶包了120多个粽子，每5个装一袋，或者每8个装一袋，都还剩下4个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是（积木上面的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 【答案】A 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是，图中数据表示在这个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 【答案】 【易错点02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 1．汪杰用10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 【答案】 3 4 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( )种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【答案】(1)③、④；(2)8 【易错点03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难度较大 1．一个几何体从上面看是，从左面看是。要搭成这样的几何体，至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 【答案】 5 7 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 【答案】 8 10 【易错点04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对性 1．（判断）6÷3＝2，所以6是倍数，3是因数。( ) 【答案】× 2．（判断）因为5.7÷3＝1.9，所以5.7是3的倍数。( ) 【答案】× 【易错点05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 【答案】 18 18 2．一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 15 1、3、5、15 【易错点06】2、5、3倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握2、5、3的倍数特征 1．一个四位数145，最大填( )就是3的倍数；最小填( )时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 8 2 5 2．一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填( )，百位上最大能填( )。 【答案】 0 8 【易错点07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是( )。 【答案】 23 27 2．三个连续偶数的和是36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是( )。 【答案】 12 14 【易错点08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果a是偶数，那么a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 【答案】 偶 奇 2．表中粗线框中三个数的和是9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是64的三个数。 【答案】(1)13；(2)不能 【易错点09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是( )。 【答案】84254451 【易错点10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与4号面相对的面是( )。 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【易错点11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需30厘米，至少需要多长的丝带？（单位：厘米） 【答案】 85×4＋60×4＋35×4＋30 ＝340＋240＋140＋30 ＝580＋140＋30 ＝720＋30 ＝750（厘米） 答：至少需要750厘米的丝带。 2．10月18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去18厘米，共用彩带多少厘米？ 【答案】 50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带288厘米。 【易错点12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 【答案】 （5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是134平方厘米。 2．王叔叔要将2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 【答案】 组合后的长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是（3＋3）厘米； 3＋3＝6（厘米） （10×5＋10×6＋5×6）×2 ＝（50＋60＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 答：最节省包装纸的包装方法需要280平方厘米的包装纸。 【易错点13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】 长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 【易错点14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？ 【答案】 3米＝30分米 一节铁皮面积： （平方分米） 4节通风管铁皮面积：（平方分米） 答：做4节这样的通风管需要1920平方分米铁皮。 2．在5月6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的50名人员每人发了一个建党100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 【答案】 4×0.8＋4×5×2＋0.8×5×2 ＝3.2＋40＋8 ＝51.2（平方分米） 答：做一个这样的宣传袋至少需要51.2平方分米的包装纸。 【易错点15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深7.5厘米。 2．两个长方体容器A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，容器B中水深30厘米。要将容器B中的水倒一部分给容器A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】 （平方厘米） （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【易错点16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都是8厘米，高是17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断，小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）由分析可知： 小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，此说法不正确，红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升1厘米高水的体积。 （2）17－1＝16（厘米） 8×8×（16－12＋1） ＝64×（4＋1） ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：红薯的体积是320立方厘米。 2．在一个长8米、宽5米、高2米的水池中注满水，然后把一条长3米、宽2米、高5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】 3×2×2＝12（立方米） 答：水池溢出的水的体积是12立方米。 【易错点17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根m米长的木条锯成同样长的3段，每段长米，每段是这根木条的。 【答案】； 2．把7米长的铁丝平均截成9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 【易错点18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．一堆煤用去它的，还剩下吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 【答案】A 2．把一根绳子分成2段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【答案】B 【易错点19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 1．在里，当x( )时，它是真分数；当x( )时，它是能化成整数的假分数；当x( )时，它是能化成带分数的假分数。 【答案】 大于0小于10 是10的倍数 大于10 2．在（a为自然数）中，当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它是最小的合数。 【答案】 9 36 【易错点20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1．，，则和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 315 2．如果，，a和b的最大公因数是10，那么m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 2 140 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 3n 18n 【易错点21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在、、、这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 2．在，，，，，中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【易错点22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给6人，最后余下3支，如果把它们平均分给4人，最后也余下3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 【答案】 6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数是2×2×3＝12 12＋3＝15（支） 答：刘老师买回的铅笔最少有15支。 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕，张敏奶奶包了120多个粽子，每5个装一袋，或者每8个装一袋，都还剩下4个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 【答案】 5和8是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 5×8＝40 40×3＋4 ＝120＋4 ＝124（个） 答：张敏奶奶一共包了124个粽子。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·易错攻略篇【二十二大易错点】 【易错点01】通过数字观察立体图形 【易错点拨】数字的引入使得观察较为抽象，不能准确到观察物体 1．小亮搭的积木从上面看是（积木上面的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据观察，可知这个立体图形的左面图形为，前面图形为，右面图形为，据此选择。 【详解】 小亮搭的积木从上面看是（积木上面的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看图形为。 故答案为：A 2．数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是，图中数据表示在这个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据从上面看到的图形以及小正方体的个数，这个几何体的摆法应该是：，据此解答。 【详解】 由分析可得：数学课上，小芳摆的几何体从上面看到的是，图中数据表示在这个位置上所用小正方体的个数。小芳摆的几何体从前面看到的是。 故答案为：B 3．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 【答案】图见详解 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形状，从前面看有3列，左边1列2个小正方形，中间1列有3个小正方形，右边1列2个小正方形；从左面看有3列，左边1列2个小正方形，中间1列有3个小正方形，右边1列2个小正方形。据此画图即可。 【详解】 【易错点02】小正方体的摆放变化 【易错点拨】随着小正方体的移动变化，需要发挥空间想象能力继续观察 1．汪杰用10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走( )个小正方体。 【答案】 3 4 【分析】要使前面看到的图形不变，那么可以将第一行下面右边2个和上面1个拿走；要使从上面看到的图形不变，那么可以将最上面两层的4个拿走。 【详解】据分析可知，如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走3个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走4个小正方体。 2．下面是用小正方体搭成的几何体。 (1)从左面看形状相同的是( )。 (2)如果再拿1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有( )种摆法。（摆的时候至少有一个面重合） 【答案】(1)③、④ (2)8 【分析】（1）从左面观察5个立体图形，确定这5个立体图形从左面看到的形状，然后再解答即可； （2）⑤号图形只有6个正正方体，需要在⑤号图形的基础上再添加一个正方体，但是不能改变从正面看到的形状，这个正方体必须添加在已有正方体的后面，可以放在第一层左边、 中间、或右边的小正方体后面，同理放在前面也有3种，共有6种不同的摆法；也可以放在第二层左边的小正方体前、后面，据此解答。 【详解】（1） ①从左面看是：； ②从左边看是：； ③从左边看是：； ④从左边看是：； ⑤从左边看是：。 ③、④从左边看形状相同。 从左面看形状相同的是③、④。 （2）6＋2＝8（种） 如果再拿1个正方体来摆，不改变⑤从正面看到的形状，一共有8种摆法。 【易错点03】根据三视图还原立体图形，判断数量范围 【易错点拨】从平面视图还原立体图形，判断数量范围，题目较为抽象，难度较大 1．一个几何体从上面看是，从左面看是。要搭成这样的几何体，至少要用( )个小正方体，最多可以用( )个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】 根据题意，从上面看到的图形为，结合用相同的小正方体最少时，下面一层4个，结合从左面看到的图形，则上面一层最少有1个，则至少要用4＋1＝5个小正方体。用相同的小正方体最多时，下面一层4个，摆成从上面看到的形状；上面一层3个，与从上面看到的一行3个一一对应，放在其上面即可。据此可以得出答案。 【详解】最少：4＋1＝5（个） 最多：4＋3＝7（个） 则要搭成这样的几何体，至少要用5个小正方体，最多可以用7个小正方体。 2．中国象棋源远流长，是中华民族的文化瑰宝。佳佳从小喜欢下象棋，她在桌面上用象棋摆了一个形状。下面是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状最少要用( )枚象棋，最多要用( )枚象棋。 【答案】 8 10 【分析】根据从上面看到形状可知，底层有3枚象棋，结合从前面和右面看到的形状可知， “车”有4枚， “马”有3枚， “兵”至少有1枚，最多有3枚，据此解答即可。 【详解】3＋4＋3＝10（个） 3＋4＋1＝8（个） 由分析可知，如图是她从三个方向所看到的图形，佳佳摆这个形状最少要用8枚象棋，最多要用10枚象棋。 【易错点04】因数和倍数的意义 【易错点拨】没有正确认识因数和倍数的意义，未能理解因数和倍数的相对性 1．（判断）6÷3＝2，所以6是倍数，3是因数。( ) 【答案】× 【分析】倍数、因数是相对的，即一个数是另一个数的倍数，另一个数是一个数的因数。据此可得出答案。 【详解】6÷3＝2，所以6是3的倍数，3是6的因数，题干表述错误。 故答案为：× 2．（判断）因为5.7÷3＝1.9，所以5.7是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。而在小数除法中，不能说小数是另一个数的倍数。 【详解】5.7是小数，倍数的概念是在整数范围内讨论的。当两个整数相除没有余数时，我们才能说被除数是除数的倍数。在这个例子中，5.7不是整数，所以不能说5.7是3的倍数，该说法错误。 故答案为：× 【易错点05】因数和倍数的特征 【易错点拨】未能掌握因数和倍数的特征 1．一个数的最小倍数是18，这个数是( )，它的最大因数是( )。 【答案】 18 18 【分析】一个数的最小倍数是它本身；一个数的最大因数是它本身。据此解答。 【详解】通过分析可得： 一个数的最小倍数是18，这个数是18，它的最大因数是18。 2．一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 15 1、3、5、15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。一个数的最小倍数也是本身。一个数的最大因数是15，说明这个数就是15，再通过等积式求出它的因数即可。 【详解】15＝1×15＝3×5 一个数的最大因数是15，它的最小倍数是15，它的因数有1、3、5、15。 【易错点06】2、5、3倍数特征综合 【易错点拨】未能掌握2、5、3的倍数特征 1．一个四位数145，最大填( )就是3的倍数；最小填( )时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 8 2 5 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，当个位上是8时，，； 2、3的倍数特征：要想使这个数既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6或8且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是2时，，； 3、5的倍数特征：要想使这个数既是3的倍数又是5的倍数，个位上必须是0、或5且各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是5时，，；当个位上是0时，，，所以1450不是3的倍数；据此解答。 【详解】一个四位数145，最大填8就是3的倍数；最小填2时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 2．一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填( )，百位上最大能填( )。 【答案】 0 8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个数位上数字相加的和是3的倍数，所以这个四位数的个位数字只能是0，再从最大的一位数判断这个数各个数位上的数字之和是否为3的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，这个四位数的个位只能填0。 当百位数字为9时，7＋9＋6＋0＝22，22不是3的倍数； 当百位数字为8时，7＋8＋6＋0＝21，21是3的倍数。 所以，一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填0，百位上最大能填8。 【易错点07】连续奇数或偶数和 【易错点拨】未能理解奇数和偶数的概念及特征 1．三个连续奇数的和是75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是( )。 【答案】 23 27 【分析】三个连续的奇数，后一个奇数比前一个多2，中间的一个就是三个数的平均数。据此用75除以3即可求出中间的那个奇数，再用这个数分别减2、加2即可解答。 【详解】75÷3＝25 25－2＝23 25＋2＝27 则这三个奇数中最小的是23，最大的是27。 2．三个连续偶数的和是36，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是( )。 【答案】 12 14 【分析】根据平均数＝总数量÷总个数，先求出平均数；由于是连续的偶数，则每相邻的两个偶数相差2，则平均数是中间的数，最大的数比平均数大2。 【详解】平均数为：36÷3＝12 最大的数为：12＋2＝14 【点睛】此题考查的是平均数的应用，解答本题关键是要先求出平均数，再结合3个连续偶数的特点解答。 【易错点08】奇数和偶数的性质变化 【易错点拨】未能掌握奇数和偶数的性质变化 1．如果a是偶数，那么a＋2的和是( )数，a＋1的和是( )数。 【答案】 偶 奇 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。根据奇数和偶数的运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数。从题意可知：a是偶数，2是偶数，a＋2就是偶数＋偶数，结果还是偶数；a是偶数，1是奇数，a＋1就是偶数＋奇数，结果是奇数。 【详解】根据分析可得： 如果a是偶数，那么a＋2的和是偶数，a＋1的和是奇数。 2．表中粗线框中三个数的和是9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是64的三个数。 【答案】(1)13 (2)不能 【分析】（1）将表中的15个数依次以“三连格”方式框出，即从1＋3＋5到25＋27＋29，15个数中，从1开始一直到25都能框出“三连格”，但最后两个数27和29无法与后面的数框出“三连格”，所以一共得到13个不同的和。 （2）表中的数都是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，可知三个奇数相加的和一定是奇数，据此判断是否能框出和为64的三个数。 【详解】（1）15－2＝13（个） 一共可以框出（13）个不同的和。 （2）每次框出来的三个数都是奇数，3个奇数相加和是奇数，而64是偶数，所以（不能）框出和是64的三个数。 【易错点09】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合 【易错点拨】未能掌握多种数的概念特征，综合性较强 1．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【详解】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是( )。 【答案】84254451 【分析】 第三位数字是最小的质数，则是2；六位数字是最小的合数，是4，第一位数字是第六位数字的2倍，第一位就8；第八位数字是8个数字的公因数，是1。设这个数的第二位和第五位是a，第四位和第七位是b，则这个8位数是，观察后设，根据运算的算理则＝8020＋x，，再根据前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477列出方程求出a和b的值。 【详解】设 则a是4，b是5 贝贝家的电话是84254451。 【点睛】要熟练掌握加减乘除的运算的算理。 【易错点10】正方体的表面展开图 【易错点拨】未能掌握正方体展开图的多种变化，具有一定的抽象性 1．如图与4号面相对的面是( )。 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】据图可知，这是“1－3－2”型正方体展开图，可以把4号面看作下面，则5号面和1号面是左右面，2号面和6号面是前后面，3号面和4号面是上下面，据此解答。 【详解】据图可知，6号面和2号面相对，1号面和5号面相对，4号面和3号面相对。 故答案为：C 2．下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【详解】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 【易错点11】多条棱长的计算 【易错点拨】未读懂题意，计算实际的棱长总和 1．一个礼盒，如下图这样用丝带捆扎起来。如果打结处需30厘米，至少需要多长的丝带？（单位：厘米） 【答案】750厘米 【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：需要彩带的长度＝4条长＋4条高＋4条宽＋打结用的30厘米即可。 【详解】85×4＋60×4＋35×4＋30 ＝340＋240＋140＋30 ＝580＋140＋30 ＝720＋30 ＝750（厘米） 答：至少需要750厘米的丝带。 2．10月18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去18厘米，共用彩带多少厘米？ 【答案】288cm 【分析】根据图可知，共用的彩带的长度＝2个长＋4个宽＋6个高＋打结处的长度。据此解答即可。 【详解】50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带288厘米。 【易错点12】切拼问题 【易错点拨】未能理解立体图形的多种切拼变化 1．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 【答案】134平方厘米 【分析】根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。 【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是134平方厘米。 2．王叔叔要将2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米） 【答案】280平方厘米 【分析】要想包装最节省包装纸，组合后的长方体的表面积最小，即把两个小长方体的最大的面重合在一起，组合后的长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是（3＋3）厘米；再根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】由分析可得：组合后的长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是（3＋3）厘米； 3＋3＝6（厘米） （10×5＋10×6＋5×6）×2 ＝（50＋60＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 答：最节省包装纸的包装方法需要280平方厘米的包装纸。 【易错点13】组合立体图形的表面积计算 【易错点拨】未能去掉重叠部分的面积，计算多余 1．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】844平方分米 【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。 【详解】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 2．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【详解】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 【易错点14】实际部分的表面积计算 【易错点拨】未能结合生产生活实际计算实际部分的表面积 1．一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？ 【答案】1920平方分米 【分析】根据题意，一节通风管需要的铁皮是通风管的侧面积，先计算出通风管的侧面积，而侧面积正好等于长方体的四个面的面积和，底面为正方形的长方体，侧面四个面的形状大小完全一样，据此求出一节通风管的铁皮面积，然后再乘4即可。 【详解】3米＝30分米 一节铁皮面积： （平方分米） 4节通风管铁皮面积：（平方分米） 答：做4节这样的通风管需要1920平方分米铁皮。 2．在5月6日，涧西区党员宣传队进学校讲党史活动中，参加的50名人员每人发了一个建党100周年宣传袋（如下图），做一个这样的宣传袋至少需要多少平方分米的包装纸？（粘接处忽略不计） 【答案】51.2平方分米 【分析】从图中可知，这个宣传袋没有上面，求做一个这样的宣传袋至少需要包装纸的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求解。 【详解】4×0.8＋4×5×2＋0.8×5×2 ＝3.2＋40＋8 ＝51.2（平方分米） 答：做一个这样的宣传袋至少需要51.2平方分米的包装纸。 【易错点15】倒水的体积不变 【易错点拨】未能很好的理解等积变形原理 1．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】7.5厘米 【分析】根据题干分析可得。可设两个容器的水深相同为x厘米，根据长方体的体积V＝abh可知，甲容器中的水的体积是（60×30×x）立方厘米；乙容器中的水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于乙容器中高为30厘米时的水的体积，即可列出方程，求出x的值即可解答问题。 【详解】解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深7.5厘米。 2．两个长方体容器A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，容器B中水深30厘米。要将容器B中的水倒一部分给容器A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】因为水的总体积＝A容器水的体积＋B容器水的体积＝A容器的底面积×A容器水的高度＋B容器的底面积×B容器水的高度，因为两个容器中水的高度相同，所以水的总体积＝（A容器的底面积＋ B容器的底面积）×水的高度。先求出 A、B 两个容器的底面积之和，再算出水的总体积，最后用水的总量除以底面积之和，即可得到相同高度的水深是多少，据此解答。 【详解】 （平方厘米） （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【易错点16】溢水问题 【易错点拨】未能理解溢水情况 1．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都是8厘米，高是17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断，小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）不对；红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升1厘米高水的体积 （2）320立方厘米 【分析】（1）由题意可知，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，即水面高度为17－1＝16厘米，说明水没有倒满，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米，这时水的高度少了（16－12）厘米，因此，红薯的体积等于溢出的水的体积＋上升1厘米高水的体积。 （2）由（1）可知，红薯的体积溢出的水的体积＋上升1厘米高水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高可知，底面积是8×8＝64平方厘米，高为（16－12＋1），把数据代入公式即可求出红薯的体积。 【详解】（1）由分析可知： 小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，此说法不正确，红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升1厘米高水的体积。 （2）17－1＝16（厘米） 8×8×（16－12＋1） ＝64×（4＋1） ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：红薯的体积是320立方厘米。 2．在一个长8米、宽5米、高2米的水池中注满水，然后把一条长3米、宽2米、高5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】12立方米 【分析】由于是石柱立着放入池中，放入水中的石柱高度是2米，根据，求出放入水中石柱的体积，放入水中石柱的体积就是溢出的水的体积，据此即可解答。 【详解】3×2×2＝12（立方米） 答：水池溢出的水的体积是12立方米。 【易错点17】分量和分率未能区分开 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．把一根m米长的木条锯成同样长的3段，每段长米，每段是这根木条的。 【答案】； 【分析】求每段长的米数，平均分的是具体的数量m米，求的是具体的数量； 求每段长是这根木条的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；都用除法计算。 【详解】m÷3＝（米） 1÷3＝ 则每段长米，每段是这根木条的。 2．把7米长的铁丝平均截成9段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 【分析】求每段长多少米，用铁丝的长度÷平均截的段数；把铁丝的全长看作单位“1”，平均分成9段，求每段是全长的几分之几，用1÷9解答。 【详解】7÷9＝（米） 1÷9＝ 把7米长的铁丝平均截成9段，每段长米，每段是全长的。 【易错点18】根据分量和分率比较大小 【易错点拨】混淆分量和分率概念 1．一堆煤用去它的，还剩下吨，用去的和剩下的比( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．无法比较 【答案】A 【分析】由“一堆煤用去它的”可知，将一堆煤看作单位“1”，用去了，还剩下1－＝，直接比较和即可比较出用去的和剩下的哪一个多。据此解答。 【详解】1－＝ ＞ 所以，用去的多。 故答案为：A 2．把一根绳子分成2段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 D．两段一样长 【答案】B 【分析】根据题意可知，一根绳子分成两段，第二段占全长的，则第一段占全长的（1－），计算后再比较，即可得解。 【详解】 把一根绳子分成2段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比第二段长。 故答案为：B 【易错点19】真分数、假分数和带分数 【易错点拨】混淆真分数、假分数和带分数的概念 1．在里，当x( )时，它是真分数；当x( )时，它是能化成整数的假分数；当x( )时，它是能化成带分数的假分数。 【答案】 大于0小于10 是10的倍数 大于10 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1；把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数；据此解答。 【详解】在里，当x大于0小于10时，它是真分数；当x是10的倍数时，它是能化成整数的假分数；当x大于10时，它是能化成带分数的假分数。 2．在（a为自然数）中，当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它是最小的合数。 【答案】 9 36 【分析】分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答即可。 【详解】当a＝9时，它是最小的假分数； 最小的合数是4，4＝，当a＝36时，它是最小的合数。 所以，在（a为自然数）中，当a＝9时，它是最小的假分数；当a＝36时，它是最小的合数。 【易错点20】多种形式求最大公因数和最小公倍数 【易错点拨】未能掌握多种形式最大公因数和最小公倍数的求法 1．，，则和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 315 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，据此进行计算即可。 【详解】因为， 则和的最大公因数是3×5＝15，最小公倍数是3×5×3×7＝315。 【点睛】本题考查求最大公因数和最小公倍数，明确求最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 2．如果，，a和b的最大公因数是10，那么m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 2 140 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积。据此解答即可。 【详解】因为，，a和b的最大公因数是10 则5m＝10 解：5m÷5＝10÷5 m＝2 那么m是2，a和b的最小公倍数是2×5×m×7＝70m＝70×2＝140。 【点睛】本题考查求最大公因数和最小公倍数，明确求最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 3．已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 3n 18n 【分析】根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是两个数最大公因数；最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积就是两个数的最小公倍数；用分解质因数的方法来求出A的因数和B的因数，然后找出公共的因数，据此来解决最大公因数和最小公倍数。 【详解】A＝6n，A的因数有3，2，n。 B＝9n，B的因数有；3，3，n。 A和B的最大公因数：3×n＝3n；最小公倍数：3×n×2×3＝18n。 已知A＝6n，B＝9n（n为大于0的自然数），则A和B的最大公因数是3n，最小公倍数是18n。 【点睛】熟练掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解答本题的关键，本题不仅有数字公因数还有字母公因数，不要漏掉。 【易错点21】判断分数化有限小数 【易错点拨】混未能掌握快速判断分数化有限小数的方法 1．在、、、这四个分数中，不能化成有限小数的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个分数能否化成有限小数，根据一个最简分数， 如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数，如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此判断即可。 【详解】A．的分母只有质因数2和5，所以可以化为有限小数； B．的分母只有质因数5，所以可以化为有限小数； C．＝的分母含有质因数3，所以不可以化为有限小数； D．的分母含有质因数2，所以可以化为有限小数。 故答案为：C 【点睛】本题考查分数与小数的关系，明确分数化小数的方法是解题的关键。 2．在，，，，，中，能化成有限小数的分数有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】判断分数是否能化成有限小数的方法： （1）判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数； （2）把分数的分母分解质因数：如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。据此，先看给定的分数是否为最简分数，然后把分母分解质因数，根据因数是否含有2和5以外的数来判断。 【详解】是最简分数，且20＝2×2×5，可以化成有限小数； 是最简分数，但是6＝2×3，不能化成有限小数； 化为最简分数是，可以化成有限小数； 是最简分数，且125＝5×5×5，可以化成有限小数； 是最简分数，但是12＝2×2×3，不能化成有限小数； 是最简分数，且25＝5×5，可以化成有限小数。 综上，能化成有限小数的分数有4个。 故答案为：D 【点睛】考查了对于一个分数能否化为最简分数的掌握，需要熟悉最简分数的含义，分解质因数的方法。 【易错点22】同余问题 【易错点拨】在求出最大公因数后，未能加上余数 1．刘老师买回一捆铅笔，把它们平均分给6人，最后余下3支，如果把它们平均分给4人，最后也余下3支。刘老师买回的铅笔最少有多少支？ 【答案】15支 【分析】根据题意，一捆铅笔平均分给6人，最后余下3支；平均分给4人，最后也余下3支；说明这捆铅笔的数量至少比6和4的最小公倍数还多3； 先把6和4分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，再加3，即是这捆铅笔最少的数量。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数是2×2×3＝12 12＋3＝15（支） 答：刘老师买回的铅笔最少有15支。 2．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕，张敏奶奶包了120多个粽子，每5个装一袋，或者每8个装一袋，都还剩下4个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？ 【答案】124个 【分析】由题意可知，每5个装一袋，则粽子个数是5的倍数，同理也是8的倍数，即粽子个数可看作是5和8的公倍数；又因为装完都还剩下4个，粽子的个数应是5和8的公倍数，再加上4个，先求出5和8的最小公倍数，再结合题意奶奶包了120多个粽子，因为40的3倍是120，接近粽子个数，进而求得粽子的数量。 【详解】5和8是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 5×8＝40 40×3＋4 ＝120＋4 ＝124（个） 答：张敏奶奶一共包了124个粽子。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$