专题08 二元一次方程组全章复习（三大考点8种题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版2024）

专题08 二元一次方程组全章复习 目录 【题型一 利用二元一次方程（组）的定义求字母的值】 1 【题型二 由二元一次方程（组）的解确定字母的值】 2 【题型三 根据实际问题列二元一次方程（组）】 2 【题型四 选择合适的方法解二元一次方程组】 3 【题型五 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 3 【题型六 列二元一次方程组解决数字、方案、配套问题】 4 【题型七 解三元一次方程组】 5 【题型八 三元一次方程组的应用】 5 【题型一 利用二元一次方程（组）的定义求字母的值】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程是二元一次方程，则 ． 【变式训练】 1．（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ． 【题型二 由二元一次方程（组）的解确定字母的值】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若是方程的一个解，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解 ． 【题型三 根据实际问题列二元一次方程（组）】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校八年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖的个班级购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每班元，二等奖奖品每班元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个?设获得一等奖和二等奖的班级分别有个和个，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江湖州·一模）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 【题型四 选择合适的方法解二元一次方程组】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 2．（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【题型五 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 例题：（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【变式训练】 1．（24-25九年级下·吉林四平·阶段练习）今年的“三八节”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元．求采购1张文化墙贴和1个小书柜各需要多少钱． 2．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【题型六 列二元一次方程组解决数字、方案、配套问题】 例题：（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【题型七 解三元一次方程组】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【题型八 三元一次方程组的应用】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，设公鸡买x只，小鸡买y只．则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 9．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为 ． 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 12．（24-25七年级下·天津南开·期中）解下列方程组 (1) (2) 13．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 14．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二元一次方程组全章复习 目录 【题型一 利用二元一次方程（组）的定义求字母的值】 1 【题型二 由二元一次方程（组）的解确定字母的值】 3 【题型三 根据实际问题列二元一次方程（组）】 4 【题型四 选择合适的方法解二元一次方程组】 6 【题型五 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 9 【题型六 列二元一次方程组解决数字、方案、配套问题】 11 【题型七 解三元一次方程组】 13 【题型八 三元一次方程组的应用】 15 【题型一 利用二元一次方程（组）的定义求字母的值】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键． 根据二元一次方程的定义得出，，求出，，再代入求出即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，利用二元一次方程组的定义求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型二 由二元一次方程（组）的解确定字母的值】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得： ， ， 解得， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入得：， 解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据对应相等，由方程组的解是，可以得到方程组的解，本题得以解决． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴在方程组中， 解得，， 故答案为：． 【题型三 根据实际问题列二元一次方程（组）】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列二元一次方程组．根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】 解：表示的方程是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校八年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖的个班级购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每班元，二等奖奖品每班元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个?设获得一等奖和二等奖的班级分别有个和个，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程组． 【详解】解：设获得一等奖和二等奖的班级分别有个和个， 根据获得一等奖和二等奖的共有个班级， 可列方程， 根据一等奖奖品每班元，二等奖奖品每班元，共花费元， 可列方程， 可列方程组． 故选：C． 2．（2025·浙江湖州·一模）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程（组）是解题关键．①设应调往甲处人，则调往乙处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于的一元一次方程；②设应调往乙处人，则调往甲处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于的一元一次方程；③设应调往甲处人，乙处人，根据调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程组即可得． 【详解】解：①列出关于的一元一次方程：设应调往甲处人，则调往乙处人， 则，选项A符合题意； ②列出关于的一元一次方程：设应调往乙处人，则调往甲处人， 则，选项B符合题意； ③列出关于二元一次方程组，设应调往甲处人，乙处人， 则或，选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：D． 【题型四 选择合适的方法解二元一次方程组】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用代入消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 把②代入①得： ， 把代入②得：， 原方程组的解为； （2）解：， 方程组整理得：， 得： ， 把代入②得： ， 则方程组的解为． 2．（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 【题型五 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 例题：（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·吉林四平·阶段练习）今年的“三八节”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元．求采购1张文化墙贴和1个小书柜各需要多少钱． 【答案】采购1张文化墙贴需要50元，1个小书柜需要300元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 根据“购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元，购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元”列出方程组即可． 【详解】解：设采购1张文化墙贴需要x元，1个小书柜需要y元， 由题意，得， 解得， 答：采购1张文化墙贴需要50元，1个小书柜需要300元． 2．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 【题型六 列二元一次方程组解决数字、方案、配套问题】 例题：（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，每套由4个型零件和3个型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 2．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 【题型七 解三元一次方程组】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 【详解】解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，直接利用加减消元法消元解方程即可． 【详解】解：， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：； 把代入④得：，解得：； 把，代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 【题型八 三元一次方程组的应用】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程组，审清题意找准等量关系成为解题的关键． 设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据“足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列出方程组即可解答． 【详解】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场， 由题可得：． 故答案为：． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三元一次方程组，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据化学方程式左右两边的C，H，O原子的个数相等，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， b的值为16． 故答案为：16． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组的解是解题的关键．仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】解：关于，的方程组 变形为， 关于，的方程组的解是， ，即． 故选：C． 3．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，设公鸡买x只，小鸡买y只．则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，利用总价=单价×数量，结合花费一百钱买一百只鸡，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设公鸡买x只，小鸡买y只， 由题意得，， ， ∴可得方程组为：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，求出方程组的解，再对各结论进行判断即可． 【详解】解：解方程组得： ，则； 当时，，方程组的解为， ∴，故①正确； 当时，；当时，； 即x，y均为正整数的解有2对，故②错误； 若x、y的值互为相反数，即，由知，得，矛盾，故③错误； 把方程组的解代入中，得，解得，故④正确； 故正确的有两个； 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法把方程组变形为，得到，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解∶ 得， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了球场上的积分问题，设设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据题意列方程组即可解题． 【详解】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场， 列方程为：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为 ． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的长与宽是解题的关键；设小长方形的长为、宽为，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得：， 解得：， 则大长方形的宽为， 阴影部分的面积为：； 故答案为：33． 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可． 【详解】解：∵解方程时，小明把看错了，得， ∴， ∵正确的答案是， ∴，， 解得：，联立， 解得：， 故答案为：，，． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 12．（24-25七年级下·天津南开·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程的解为． 13．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人 (2)①见解析；②最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元 【分析】（）设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆，由题意得，即得，可得一定是的倍数，据此即可求解；②根据①的结果求出每一种方案的租金即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人； （2）解：①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆， 由题意得，， 整理得，， ， ∵为正整数， ∴一定是正整数， ∴一定是的倍数， ∴或， ∴租车方案有两种： 方案一：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆； 方案二：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆． ②方案一的费用为（元）， 方案二的费用为1（元）， ∵， ∴最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元． 14．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$