专题06 二元一次方程组及其解法（8大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版2024）

专题06 二元一次方程组及其解法 目录 【题型一 二元一次方程（组）的概念】 1 【题型二 由二元一次方程组的解求参数】 3 【题型三 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 4 【题型四 同解方程组】 6 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 8 【题型六 代入消元法或加减消元法解二元一次方程组】 10 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 12 【题型八 构造二元一次方程组求解】 14 【题型一 二元一次方程（组）的概念】 例题：（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）下列是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把各选项的值代入方程，判断方程的左边和右边是否相等即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可．本题考查了二元一次方程组的定义；熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A．不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； B．整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； C．符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； D．最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意． 故选C． 【题型二 由二元一次方程组的解求参数】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得： 将代入方程得， ， 解得：， 即． 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”、解一元一次方程，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于，的方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 【题型三 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 例题：（24-25七年级下·江苏盐城·期中）甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及负指数幂、零次幂，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义是解题关键． （1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得； （2）解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【题型四 同解方程组】 例题：（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．先由求出，再代入求值即可． 【详解】解：解方程组得：, 把代入得：， 整理得 ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题． 根据题意，把代入，得到一个关于a、b的方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：由题意可知，把代入， 可得：，解得：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； （2）把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若方程组的解中，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加，可得，又由得到，求解即可解答． 【详解】解：方程组两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 【题型六 代入消元法或加减消元法解二元一次方程组】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了运用加减消元法解二元一次方程组，先解得，再把代入，解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法． （1）根据二元一次方程组的代入法消元法即可求出答案； （2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法是解本题的关键． （1）把方程①化为，再利用代入法求解即可； （2）由先求解y，再求解x即可． 【详解】（1）解：， 由①，得．③ 将③代入②，得， ， ， ． 将代入③，得． 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， ． 将代入①，得， ． 所以原方程组的解是． 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例题：（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x、y的方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．可得结果． 【详解】解：， ，得 ， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，将方程组变形为，由关于、的二元一次方程组的解为，可得，解方程组即可． 【详解】解：， 整理可得：， 关于、的二元一次方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【答案】[模仿应用]；[解决问题]30元；[拓展延伸] 【分析】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键． [模仿应用]根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值； [解决问题] 设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，列出方程组，由先求出，再求出，即可得出答案； [拓展延伸]根据题意得出方程组，由求出，即可求出的值． 【详解】[模仿应用]解： 由，得； [解决问题] 解：设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，根据题意，得 ，得，所以． 所以购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需要30元． [拓展延伸] 因为， 所以①，② ①②组成方程组得， ，得． 【题型八 构造二元一次方程组求解】 例题：（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值． 【答案】16 【分析】根据新规定结合已知条件得出，即可求出a、b的值，再代入计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新规定运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，且满足， ∴ 分别代入，列方程组： 解得： ∴ ∴ 【变式训练】 1．（24-25九年级下·福建福州·期中）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】29 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，铁原子的个数相等列式，以及氧原子的个数相等，得出方程组，再解出，即可作答． 【详解】解：依题意， 解得， ∴， 故答案为：29． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ，即， 得：，解得：， 将代入，得， 解得： 解得：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，关键是二元一次方程组定义的熟练掌握．根据二元一次方程组的定义“方程组中含有两个未知数，含未知数的式子都是整式，且含未知数的项的次数是1”，细心观察排除，得出正确答案． 【详解】解：A中，是二元一次方程组，本选项符合题意； B中，此方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； C中，第二个方程含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意； D中，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·北京·期中）对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 故选：A 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解以及方程的解的应用，解题的关键是通过对原方程组进行变形，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 先将方程组中的两个方程相加并化简，得到关于的式子，然后把代入该式，进而求出的值． 【详解】解：， ①+②得：， 整理得：， 代入得：，解得：． 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程中用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把二元一次方程看成关于其中一个未知数的一元一次方程是解题的关键．根据，则整理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据新定义运算列式计算即可； （2）根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：（1）当，且时， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题． 解方程组： 解：，得，③第一步 ________，得，第二步 ，第三步 将代入②，得，第四步 ∴原方程组的解是，第五步 (1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错； (2)请你用与小欣不同的方法解此方程组． 【答案】(1)；三 (2)，过程见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，涉及加减消元法、代入消元法，熟练掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解决问题的关键． （1）由二元一次方程组的解法步骤，逐项检查题中各个步骤即可得到答案； （2）题中解二元一次方程组的方法是加减消元法，另一种解法是采用代入消元法解二元一次方程组，先由②得③，将③代入①得，求出，再将值代入③即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：， 得； ，故步骤三开始出错； 故答案为：；三； （2）解：由②得③， 将③代入①得， 解得， 把代入③得， ∴原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)5 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出，的值，再根据方程组的解的定义，得到关于，的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：中，， 方程是最佳方程， 故答案为：是； （2）解：∵关于，的二元一次方程是“最佳”方程， ，解得； （3）解：方程组是“最佳”方程组， ，， ，， 原方程组为， 是方程组的解， ， 解得， ． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组；根据与关于、的方程组的形式，相当于中的m，n，从而由的解得，解此方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法． （1）根据二元一次方程组的代入法消元法即可求出答案； （2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二元一次方程组及其解法 目录 【题型一 二元一次方程（组）的概念】 1 【题型二 由二元一次方程组的解求参数】 2 【题型三 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 2 【题型四 同解方程组】 3 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 3 【题型六 代入消元法或加减消元法解二元一次方程组】 4 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 4 【题型八 构造二元一次方程组求解】 5 【题型一 二元一次方程（组）的概念】 例题：（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）下列是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 由二元一次方程组的解求参数】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【题型三 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 例题：（24-25七年级下·江苏盐城·期中）甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【题型四 同解方程组】 例题：（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若方程组的解中，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型六 代入消元法或加减消元法解二元一次方程组】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程组：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例题：（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x、y的方程组，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【题型八 构造二元一次方程组求解】 例题：（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·福建福州·期中）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京·期中）对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 二、填空题 6．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 9．（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题． 解方程组： 解：，得，③第一步 ________，得，第二步 ，第三步 将代入②，得，第四步 ∴原方程组的解是，第五步 (1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错； (2)请你用与小欣不同的方法解此方程组． 12．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）解下列方程组： (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$