精品解析：广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

广东实验中学越秀学校2024—2025学年（下）期中考试题 高二年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则. 故选：C. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再将代入求值. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：D 3. 某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出导数值即可. 【详解】由，求导得， 所以该运动员在时的瞬时速度为（）. 故选：D 4. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 5. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 6. 已知，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 7. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 8. 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ） A. 599 B. C. 554 D. 568 【答案】D 【解析】 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前20项的和. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即， 所以，， 由得，所以， 所以 . 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，则（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中各项系数之和为0 C. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到；B选项，令得到展开式各项系数之和；C选项，根据二项式系数的对称性和单调性作出判断；D选项，令，结合得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， ，常数项为1，A正确； B选项，中，令得， ，展开式中各项系数之和为1，B错误； C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性， 二项式系数最大的项为第项，C错误； D选项，中，令得， ， 又，故，D正确. 故选：AD 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【解析】 分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果. 【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可． 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数， 所以，所以为等比数列，， 所以，故A错误； ， 故前项和为， 故B正确； 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列， 项数之和为，则的最大整数为11，此时, 杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1， 取的就是第12行中的第3项，，故C正确； 是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】依次填、、、、区域，讨论、同色和异色两种情况，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择； 若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择； 最后涂区域，有种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 14. 设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得出，可知函数在区间内存在异号零点，利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 令，则函数在区间内存在异号零点， 对任意的恒成立， 所以，函数在区间上单调递增， 由题意可得，解得， 因此，实数取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （1）求 的值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为10，最小值为-10 【解析】 【分析】（1）根据函数在点 处的切线方程为 ，由求解； （2）令，得，分别求得求解. 【小问1详解】 解：因为函数 ， 所以， 因为函数在点 处的切线方程为 ， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知：， 令，得， 随x的变换变换如下表 x 1 3 10 6 10 由表知：在区间 上的最大值为10，最小值为-10. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. （1）证明：平面. （2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用向量线性运算可得，根据二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【小问1详解】 连接，交于点， 四边形为正方形，； 平面，平面，， 又，平面，平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为， 设，则，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 由（1）知：平面，平面的一个法向量为； ，解得：， 当，即时，二面角的余弦值为. 17. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）求数列前项和； （3）若，求数列的前项和为 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用的关系求递推公式，然后因式分解，结合已知可得为等差数列，然后可得通项公式； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 当时，由，得，得， 由，得，两式相减， 得，即， 即. 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 因此， 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 两式相减得 【小问3详解】 由（1）知，所以. 所以. 所以 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 19. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程求解； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，可得，求出直线与方程，求出交点的纵坐标，得证. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， ，则， 由，得，且， 则， 易知直线与的斜率均存在， 则直线的方程为①， 直线的方程为②， 联立①②消去得， ， 故点的纵坐标为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东实验中学越秀学校2024—2025学年（下）期中考试题 高二年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 5. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 6. 已知，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ） A. 599 B. C. 554 D. 568 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，则（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中各项系数之和为0 C. 展开式中二项式系数最大项为第1012项 D. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 13. 如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种. 14. 设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （1）求 值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面正方形，底面，且，是棱上动点. （1）证明：平面. （2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知各项均为正数数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和； （3）若，求数列的前项和为 18. 设函数，曲线在点处切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 19. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$