第四讲 探索规律（11个重难点考点集训 共81题）小升初复习讲义-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第四讲 探索规律 （升学考向预测+知识梳理+11个考点分类真题训练 共81题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学考向预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度 2 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：数字中的规律 3 知识点梳理02：图形中的规律 3 知识点梳理03：算式中的规律 3 知识点梳理04：数形结合中的规律 3 知识点梳理05：周期规律 3 知识点梳理06：找规律问题常见策略 3 考点分类真题汇编特训 4 重点难点考点01：算术中的规律 4 重点难点考点02：数列中的规律 5 重点难点考点03：“式”的规律 5 重点难点考点04：数与形结合的规律 6 重点难点考点05：数表中的规律 9 重点难点考点06：事物的间隔排列规律 10 重点难点考点07：事物的简单搭配规律 11 重点难点考点08：简单周期现象中的规律 13 重点难点考点09：简单图形覆盖现象中的规律 13 重点难点考点10：通过操作实验探索规律 15 重点难点考点11：思考与推理 17 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 数形结合规律（图形排列、分割次数与小正方形数量的递推关系，如分割正方形后的递增规律）； 2. 算式与数字序列规律（观察乘法、加法算式的结构特征，如“123×8+3=987”类规律）； 3. 周期规律应用（彩灯颜色周期、准考证考场分配等实际问题）； 4. 几何图形规律（正多边形、小正方体表面积随层数的变化规律）。 重点难点 • 复杂数形结合的建模分析（如多变量联动推理、混合比例规律）； • 动态规律递推（如“十字形”分割图形的递归规律）； • 跨规律类型融合（如数字谜题与图形排列结合）。 考察方向 • 生活化场景（阶梯计价、考场分配等实际应用）； • 跨知识点融合（与几何、统计结合的规律推理）； • 逻辑逆向推导（根据结果反推规律或补全缺失项）。 预测难度 • 基础题50%（单一周期规律、简单数列填空）； • 中档题30%（两步递推、数形结合应用题）； • 难题20%（多变量动态规律、复杂几何递推建模），整体难度较2024年提升，侧重观察力与综合分析能力。 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 重点难点考点01：算术中的规律 1．（2024•历下区）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，……则第2024次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024•江北区校级模拟）让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算，将所得结果记为a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算，结果为a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算，结果为a3； 依此类推，则a2021＝ 　 　 。 3．（2024•宜昌）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据右图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为 　 　 。 4． （2024•九龙坡区）有足够多的盒子依次编号0，1，2，……，只有0号是黑盒，其余的都是白盒。开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、……，（k﹣1）号盒中各放1个。如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 　 　 个球。 5． 5．（2024•天门模拟）（1）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为6，我们发现第一次得到的结果为3，第2次得到的结果为10，第3次得到的结果为5……请你探索第2024次得到的结果为 　 　 。 （2）有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是 　 　 和 　 　 。 重点难点考点02：数列中的规律 6．（2024•曲靖）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形各边确定后，周长和面积就确定了。 B．三角形各边确定后，周长和面积就确定了。 C．这列数的每一项越来越大，越来越接近1。 D．上述说法都不对。 7．（2024•北碚区校级模拟）一列数：a1，a2，a3，......an，......，其中a1＝2，，且当n为3时，，用含n的式子表示an的结果是 　 　 。 8．（2024•重庆模拟）一串数：2、3、6、11、18……是按某种规律排列的，这串数左起第20个是 　 　 。 9．（2024•渝北区）将自然数按以下规律排列： 图中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2016对应的有序数对为 　 　 。 重点难点考点03：“式”的规律 10．（2024•茌平区）3×0.5＝1.5，3.3×3.5＝11.55，3.33×33.5＝111.555……，3.3333×3333.5＝？根据你发现的规律“？”处应填（　　） A．1111.5555 B．11111.55555 C．111111.555555 D．1111111.5555555 11．（2024•清苑区）21.78÷0.3＝72.6，219.78÷0.3＝732.6，2199.78÷0.3＝7332.6……按照这样的规律，下面等式正确的是（　　） A．21999.78÷0.3＝7333.26 B．21999.78÷0.3＝73332.6 C．219999.78÷0.3＝73333.26 D．2199999.78÷0.3＝733332.6 12．（2024•北碚区校级模拟）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①b4＝2a+7；②当a＝3时，第4项为36；③若第4项与第5项之和为25，则a＝﹣7；④第2022项为（a+2023）2；⑤当n＝m时，b1+b2+......+bm＝2am+m2；以上结论正确的序号是 　 　 。 13．（2024•厦门模拟）我们知道，，那么 　 　 。 14．（2024•驿城区）观察算式的规律：22﹣12＝2+1，32﹣22＝3+2，42﹣32＝4+3，52﹣42＝　 　 ，……用含有字母a的式子表示上述规律 　 　 。用上述规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 。 15．（2024•新野县）观察右边算式的规律：22﹣12＝2+1，32﹣22＝3+2，42﹣32＝4+3，52﹣42＝5+4，…… （1）用含有字母n的式子表示规律：　 　 。 （2）用规律进行计算：202﹣192+182﹣172+162﹣152+……+22﹣12＝　 　 。 重点难点考点04：数与形结合的规律 16．（2024•鄢陵县）如图，如果有n个三角形，需要（　　）根小棒。 A．3n B．2n+1 C．2n+2 17．（2024•福田区）光明农场发展日光温室大棚种植项目，如图，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建，需要28根竹竿。依此类推，搭建n顶这样的帐篷需要（　　）根竹竿。 A．17n B．17n﹣6 C．11n+6 D．11n﹣6 18．（2024•成都）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（　　） A．4n﹣3 B．4n+3 C．6n﹣2 D．6n+4 19．（2024•海门区）用96cm长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… （1）正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知xy＝ 　 　 。 （2）正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　 　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　 　 个正方形。 20．（2024•重庆模拟）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式，答：S＝ 　 　 。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 　 　 3 　 　 ……… 各边上格点的个数和x 4 5 6 　 　 …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S＝ 　 　 。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？请直接写出结果。 21．（2024•云阳县）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换。若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 重点难点考点05：数表中的规律 22．（2024•昌平区）笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用如图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 …… 10 …… n 2 5 10 17 26 37 …… 101 …… 根据数据，这个运算程序可能是（　　） A．n＝m+1 B．n＝m×2+1 C．n＝m×5+1 D．n＝m×m+1 23．（2024•南山区）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 24．（2024•成都）表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝　 　 ，b＝　 　 。 25．（2024•九龙坡区）日历中隐藏着许多数字规律和数学秘密，如图是2021年9月份的日历表（一部分）： （1）你发现日历表中有阴影的9个数有哪些规律？至少写出3个不同的规律。 （2）根据你在日历中发现的数学秘密，先猜一猜。再列式算一算：选这份日历中竖着相邻的两个日期，它们的和是51，我选的是哪两个日期？ 重点难点考点06：事物的间隔排列规律 26．（2024•万全区）班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 27．（2023•晋中模拟）找规律填图：□□□□×、□□□××、□□×××、（　　） A．□□□□× B．□□××× C．□□□×× D．□×××× 28．（2023•海淀区）中心公园挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的（如图1）。大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？ 29．（2024•梅州）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是 　 　 的。 30．（2023•张家口模拟）共150颗珠子，按“白黑黑白黑黑”的顺序排列，则第80颗珠子是 　 　 色，第150颗珠子是 　 　 色，这150颗珠子中一共有 　 　 颗白色珠子。 重点难点考点07：事物的简单搭配规律 31．（2024•播州区模拟）用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1﹣图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，表示P&Q的有①﹣④4个组合图形可供选择其中，正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 32．（2023•郑州）如图，〇、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（　　） A．54 B．43 C．34 33．（2023•乐陵市）足球世界杯每四年举行一次，国际足联规定冠军奖品为大力神杯，此杯为流动奖品，1974年第十届足球世界杯第一次启用。 （1）在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌，此杯可以持续使用到第多少届，是哪一年？ （2）足球一般是用黑白两种颜色的皮子缝制而成的，黑色皮子是五边形，白色皮子是六边形（如图），每一块黑色皮子都与5块白色皮子相接，每一块白色皮子都连接3块黑色皮子。已知一个足球上黑色皮子共有12块，请你计算白色皮子共有多少块？ （3）北京时间2023年3月14日晚，国际足联官方确认，2026年世界杯比赛赛制做出调整：首度扩军48支球队，将被分为12个小组，每个小组4支球队进行比赛。小组赛采用单循环赛（小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场）。每组前2名及8支成绩最好的小组第3名，将晋级32强，此后采用淘汰赛（两个参赛队伍用一场比赛定胜负），产生16强、8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3和4名。至此，本届世界杯的所有比赛结束。 根据以上信息，算一算，每个小组内一共要比赛几场？整个小组赛一共有多少场？2026年世界杯足球赛全程共有多少场？ 34．（2022•惠阳区）学校食堂中午供应4种荤菜，3种素菜，小英要搭配一荤一素的午餐，她共有 　 　 种不同的配菜方法。 重点难点考点08：简单周期现象中的规律 35．（2024•江宁区模拟）在商场墙壁上要安装100盏彩灯，每3盏一组，按照红、黄、蓝的顺序排列，那么最后一盏灯的颜色是（　　） A．红 B．黄 C．蓝 36．（2024•莘县）实验小学举办庆“六一”艺术展演活动，为装饰舞台，活动筹备组的老师们在舞台一侧安装了一串彩灯，共56盏，形状如图，其中占这串彩灯的（　　） A． B． C． D． 37．（2024•无锡模拟）A、B、C、D四个盒子中依次放有6、4、5、3个球，第1位小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2位小朋友接着找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第3位小朋友接着同样做下 去……当第34位小朋友放完后，问B盒中放有多少个球？ 38．（2024•龙湖区）〇□□△〇□□△〇□□△〇……左起第232个是 　 　 ，前66个图形中共有〇　 　 个。 重点难点考点09：简单图形覆盖现象中的规律 39．（2024•盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 40．（2024•西湖区）在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 　 　 。 A.95 B.237 C.115 D.130 在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是 　 　 数。 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 41．（2024•靖边县模拟）将自然数1～100排列，如图：在这个表里用长方形框出两行六个数（图中长方形仅为示意），如果框起来的六个数和为462，这六个数中最小是几？ 重点难点考点10：通过操作实验探索规律 42．（2024•增城区）如图是三个面带有图案的正方体，小娅翻动了这个正方体，下面（　　）可能是小娅翻动后的样子。 A． B． C． D． 43．（2024•宿豫区校级模拟）接着往下画． 44．（2024•四川）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1，的小正方形格子，小正方形的顶点，叫作标点．以标点为顶点我们可以做三角形、四边形、五边形等多种多边形，它们都叫作格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为X， （1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 2.5 各边上格点的个数和x 4 5 根据以上信息，当各边上格点的个数和为x时，则多边形的面积S＝　 　 ． （2）请你在下列方格中在画中一些格点多边形（至少画三个不同形式的），使这样的多边形内部都有而且只有2个格点． 此时各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和X之间的关系是S＝　 　 ． （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎么样的关系，S＝　 　 ． 45．（2024•北碚区校级模拟）有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球　 　 只． 46．（2024•渝北区）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯装满水，乙杯是空的。第一次将甲杯里的水的倒入乙杯；第二次将乙杯水的倒回甲杯；第三次将甲杯里水的倒回乙杯；第四次将乙杯水的倒回甲杯；……；这样反复倒2015次后，甲杯中的水是原来的 　 　 （填分数）。 重点难点考点11：思考与推理 47．（2024•余杭区）小明盛了大半盆清水，把一个西瓜放入水中清洗，共溢出了600毫升的水，洗干净后，再把西瓜捞出。能正确反映脸盆中水的深度变化情况的图是（　　） A． B． C． D． 48．（2024•滁州）为有效利用水资源，某市规定三口之家每月用水量不超过20立方米时按第一级（2.20元/立方米）收取水费，超过20立方米时，超过的部分按第二级（2.80元/立方米）收取水费。李叔叔一家三口每月用水量都超过20立方米。如图中能正确表示他家每月水费与用水量之间关系的是（　　） A． B． C． D． 49．（2024•常熟市）如图是游泳池的截面，分为浅水区和深水区，如果以固定的水流量向游泳池注水，下面能表达水的最大深度h与注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 50．（2024•天河区）某市规定每户每月用水量不超过6t时，每吨价格为2.5元；当用水量超过6t时，超过的部分每吨价格为3元。如图中能正确表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第四讲 探索规律 （升学考向预测+知识梳理+11个考点分类真题训练 共81题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学考向预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度 2 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：数字中的规律 3 知识点梳理02：图形中的规律 3 知识点梳理03：算式中的规律 3 知识点梳理04：数形结合中的规律 3 知识点梳理05：周期规律 3 知识点梳理06：找规律问题常见策略 3 考点分类真题汇编特训 4 重点难点考点01：算术中的规律 4 重点难点考点02：数列中的规律 7 重点难点考点03：“式”的规律 10 重点难点考点04：数与形结合的规律 13 重点难点考点05：数表中的规律 18 重点难点考点06：事物的间隔排列规律 22 重点难点考点07：事物的简单搭配规律 24 重点难点考点08：简单周期现象中的规律 27 重点难点考点09：简单图形覆盖现象中的规律 30 重点难点考点10：通过操作实验探索规律 33 重点难点考点11：思考与推理 38 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 数形结合规律（图形排列、分割次数与小正方形数量的递推关系，如分割正方形后的递增规律）； 2. 算式与数字序列规律（观察乘法、加法算式的结构特征，如“123×8+3=987”类规律）； 3. 周期规律应用（彩灯颜色周期、准考证考场分配等实际问题）； 4. 几何图形规律（正多边形、小正方体表面积随层数的变化规律）。 重点难点 • 复杂数形结合的建模分析（如多变量联动推理、混合比例规律）； • 动态规律递推（如“十字形”分割图形的递归规律）； • 跨规律类型融合（如数字谜题与图形排列结合）。 考察方向 • 生活化场景（阶梯计价、考场分配等实际应用）； • 跨知识点融合（与几何、统计结合的规律推理）； • 逻辑逆向推导（根据结果反推规律或补全缺失项）。 预测难度 • 基础题50%（单一周期规律、简单数列填空）； • 中档题30%（两步递推、数形结合应用题）； • 难题20%（多变量动态规律、复杂几何递推建模），整体难度较2024年提升，侧重观察力与综合分析能力。 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 重点难点考点01：算术中的规律 1．（2024•历下区）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，……则第2024次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【思路点拨】第1次：输入x＝8，输出x8＝4； 第2次：输入x＝4，输出x4＝2； 第3次：输入x＝2，输出x2＝1； 第4次：输入x＝1，输出x+3＝1+3＝4； 第5次：输入x＝4，输出x4＝2； 第6次：输入x＝2，输出x2＝1； 第7次：输入x＝1，输出x+3＝1+3＝4； …… 即除去第1次操作外，从第2次操作输入4开始，按照周期为3为循环输入4、2、1，循环输出2、1、4，用（2024﹣1）÷3的商和余数即可确定输出。据此解答。 【完整解答】解：（2024﹣1）÷3 ＝2023÷3 ＝674……1 即第2024次输出为4。 答：第2024次输出的结果是4。 故选：C。 【考点点拨】本题考查了周期性问题的应用。 2．（2024•江北区校级模拟）让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算，将所得结果记为a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算，结果为a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算，结果为a3； 依此类推，则a2021＝ 　65　 。 【思路点拨】根据题意，依次计算并找出规律即可解答本题。 【完整解答】解：n1＝5，a152+1＝26， n2＝2+6＝8，a282+1＝65， n3＝6+5＝11，a3112+1＝122， n4＝1+2+2＝5，a41＝52+1＝26， …… 即an是按照26、65、122，周期为3，依次有规律的循环出现的， 2021÷3＝673（组）……2（个），即a2021＝a2＝65。 答：a2021＝65。 故答案为：65。 【考点点拨】找出an的规律是解答本题的关键。 3．（2024•宜昌）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据右图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为 　8　 。 【思路点拨】根据规律，10是偶数，代入0.5x进行计算。 【完整解答】解：10是偶数； 0.5x＝0.5×10＝5 将x＝5代入 5+3＝8 8＞6 故答案为：8。 【考点点拨】本题考查的主要内容是算术中的规律的应用问题。 4．（2024•九龙坡区）有足够多的盒子依次编号0，1，2，……，只有0号是黑盒，其余的都是白盒。开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、……，（k﹣1）号盒中各放1个。如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 　3　 个球。 【思路点拨】我们要通过逐步推理和分析不同情况下盒子中球的数量变化，来确定原来4号盒中球的数量。首先假设每个白盒中原有球的数量，然后根据操作规则和条件判断是否能满足将10个球全放入黑盒中。 【完整解答】解：（1）假设最大有球的盒子号码为6号 如果有球的盒子的号码最大为6号，那么6号盒中必有6个球，5号盒中必有4个球，其余盒中没球。 理由：因为按照规则，如果大于6号的盒中无球，那么6号盒中球的数量就等于其编号6，5号盒中球的数量就是4个。但此时，球的总数为6+4＝10（个），无法将所有球转移到黑盒中，不符合题意。 （2）假设最大有球的盒子号码为4号 如果有球的盒子的号码最大为4号，则4号盒放4个，3号盒放2个，2号盒放0个，1号盒放1个。 理由：按照规则和假设，4号盒中球的数量等于其编号4，3号盒中球的数量为2个。但此时，球的总数为4+2+0+1＝7（个），不到10个，不满足题意。 （3）确定最大有球的盒子号码为5号 因为前面两种情况都不符合，所以最大有球的盒子号码只能是5号，且5号盒中只能有5个球。 理由：前面假设最大为6号和4号都不行所以只能是5号。此时，4号盒只能放3个，3号盒放1个，2号盒放1个。根据操作规则和前面的推理，这样球的总数为5+3+1+1＝10（个），满足题目要求。 故4号盒中原有3个球。 答：4号盒中原有3个球。 故答案为：3。 【考点点拨】本题考查了逻辑推理的应用。 5．（2024•天门模拟）（1）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为6，我们发现第一次得到的结果为3，第2次得到的结果为10，第3次得到的结果为5……请你探索第2024次得到的结果为 　12　 。 （2）有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是 　5　 和 　7　 。 【思路点拨】（1）输入6： 6是偶数，6＝3；3是奇数，3+7＝10；10是偶数，10＝5；5是奇数，5+7＝12；12是偶数，12＝6； 6是偶数，6＝3；3是奇数，3+7＝10；10是偶数，10＝5；5是奇数，5+7＝12；12是偶数，12＝6； …… 即算式结果是按照3、10、5、12、6为规律周期为5循环出现的，求第2024次得到的结果，用2024除以5后通过商和余数来确认。 （2）设出这两个数分别为a、b，再根据和与差的关系计算出a＝b，再依次代数解答即可。 【完整解答】解：（1）6是偶数，6＝3；3是奇数，3+7＝10；10是偶数，10＝5；5是奇数，5+7＝12；12是偶数，12＝6； 6是偶数，6＝3；3是奇数，3+7＝10；10是偶数，10＝5；5是奇数，5+7＝12；12是偶数，12＝6； …… 即算式是周期为5循环出现的 2024÷5＝404（组）……4（个），即第2024次得到的结果为12。 答：第2024次得到的结果为12。 （2）设其中一个数为a，另一个数为b，则 a+b＝6（a﹣b） a+b﹣6a+6b＝0 a＝b 因为这两个数为自然数，所以b只能是5的整倍数，又因为两个数都是质数，然后代数验证即可， 当b＝5时，a＝7，则5+7＝12，12是合数，7﹣5＝2，2是质数，而且12÷2＝6，符合题意， 所以这两个质数是5和7。 故答案为：12；5，7。 【考点点拨】此题在于考查学生总结规律的能力。 重点难点考点02：数列中的规律 6．（2024•曲靖）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形各边确定后，周长和面积就确定了。 B．三角形各边确定后，周长和面积就确定了。 C．这列数的每一项越来越大，越来越接近1。 D．上述说法都不对。 【思路点拨】A．平行四边形各边长度确定后，周长确定了，但面积不确定，据此解答即可。 B．三角形各边确定后，周长和面积就确定了。据此解答即可。 C．这列数的每一项越来越小，越来越接近0，据此解答即可。 【完整解答】解：A．平行四边形各边长度确定后，周长确定了，但面积不确定，所以原选项说法错误。 B．三角形各边确定后，周长和面积就确定了。所以原选项说法正确。 C．这列数的每一项越来越小，越来越接近0，所以原选项说法错误。 故选：B。 【考点点拨】本题考查了三角形的周长和面积、平行四边形的周长和面积、数列的排列规律等知识，结合题意分析解答即可。 7．（2024•北碚区校级模拟）一列数：a1，a2，a3，......an，......，其中a1＝2，，且当n为3时，，用含n的式子表示an的结果是 　　 。 【思路点拨】根据，依次写出n＝3、4、5、……时an﹣an﹣1的值，然后左右分别相加即可求出an﹣a1，然后利用等比数列求和公式或者错位相减求出an﹣a1的值，最后即可求出an的表达式，据此解答。 【完整解答】解：因为，且a1＝2，， 所以：a2﹣a12 当n＝3时，a3﹣a2（a2﹣a1）（2） 当n＝4时，a4﹣a3（a3﹣a2） 当n＝5时，a5﹣a4（a4﹣a3） ……… 当n＝n﹣1时，an﹣1﹣an﹣2（an﹣2﹣an﹣3） 当n＝n时， 所以： an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+……+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1 即an﹣a1 令S，则： S（） 所以SS＝（）﹣（） 即S 所以S＝（） 所以S＝an﹣a1 即ana12 故答案为：。 【考点点拨】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 8．（2024•重庆模拟）一串数：2、3、6、11、18……是按某种规律排列的，这串数左起第20个是 　363　 。 【思路点拨】相邻两个数的差值依次为1、3、5、7。差值是连续的奇数，即第n个数与第（n﹣1）个数的差值为2（n﹣1）﹣1 ＝ 2n﹣3（n等于或等于2）。由此可推出这组数据的规律：第1个数是2，从第2个数起，每个数都等于它前面的数加上一个连续的奇数（这个奇数是其所在项数减1的2倍再减1）。据此解答即可。 【完整解答】解：根据上述规律，求第20个数，可从第1个数开始依次递推： 第1个数是2； 第2个数是（2+1 ＝ 3）； 第3个数是（3+3 ＝ 6）； 第4个数是（6+5 ＝ 11）； 第5个数是（11+7 ＝ 18）； …… 第20个数是（2+1+3+5+7+……+（2×19﹣1）＝ 363。 答：串数左起第20个是363。 故答案为：363。 【考点点拨】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。 9．（2024•渝北区）将自然数按以下规律排列： 图中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2016对应的有序数对为 　（45，10）　 。 【思路点拨】根据题意可知，求2016在第几行第几列即可。设第n行第一个数为an（n为正整数），观察研究奇数行的第一个数，根据数的变换找出变换规律“a2n﹣1＝（2n﹣1）2”，依此规律即可找出a45＝2025，再根据数的排列方式即可得出结论。 【完整解答】解：设第n行第一个数为an（n为正整数）。 观察发现规律：a1＝1＝12，a3＝9＝32，a5＝25＝52 所以a2n﹣1＝（2n﹣1）2 因为当2n﹣1＝45时，a45＝452＝2025 则数字依次往后减小，即2025，2024，2023，2022，2021，2020，2019，2018，2017，2016。故2016在第10列，第45行，数2016对应的有序数对为（45，10）。 答：数2016对应的有序数对为（45，10）。 故答案为：（45，10）。 【考点点拨】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律：a2n﹣1＝（2n﹣1）2，解决该题型题目时，根据奇数行首位数的变化，找出变化规律是关键。 重点难点考点03：“式”的规律 10．（2024•茌平区）3×0.5＝1.5，3.3×3.5＝11.55，3.33×33.5＝111.555……，3.3333×3333.5＝？根据你发现的规律“？”处应填（　　） A．1111.5555 B．11111.55555 C．111111.555555 D．1111111.5555555 【思路点拨】根据题意，算式中，乘数只含有数字3和数字5，乘积只含有数字1和数字5，积的整数部分有多少个1，第一个乘数就有多少位，且各位上都是3，其中整数部分只有1位，其余都在小数部分；积的小数部分有多少个5，第二个乘数就有多少位，其中小数部分只有l位，是5，其余都在整数部分，且都是3。 【完整解答】解：算式3.3333×3333.5中，第一个乘数有5位，则积的整数部分有5个1；第二个乘数有5位，则积的小数部分有5个5，所以根据发现的规律3.3333×3333.5＝11111.55555。 故选：B。 【考点点拨】本题考查了算式的规律，结合题意分析解答即可。 11．（2024•清苑区）21.78÷0.3＝72.6，219.78÷0.3＝732.6，2199.78÷0.3＝7332.6……按照这样的规律，下面等式正确的是（　　） A．21999.78÷0.3＝7333.26 B．21999.78÷0.3＝73332.6 C．219999.78÷0.3＝73333.26 D．2199999.78÷0.3＝733332.6 【思路点拨】除数不变，被除数的整数部分从低位依次多1个9、2个9、3个9，商从十位开始向高位依次多1个3、2个3、3个3……据此解答。 【完整解答】解：21.78÷0.3＝72.6，219.78÷0.3＝732.6，2199.78÷0.3＝7332.6……按照这样的规律，正确的是21999.78÷0.3＝73332.6。 故选：B。 【考点点拨】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 12．（2024•北碚区校级模拟）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①b4＝2a+7；②当a＝3时，第4项为36；③若第4项与第5项之和为25，则a＝﹣7；④第2022项为（a+2023）2；⑤当n＝m时，b1+b2+......+bm＝2am+m2；以上结论正确的序号是 　①②⑤　 。 【思路点拨】第一项是a2，b1＝2a+1，第二项是a2+2a+1，b2＝2a+1+2＝2a+3，第三项为（a+1）2+2a+3＝（a+2）2，b3＝2a+3+2＝2a+5，第四项是（a+2）2+2a+5＝（a+3）2，b4＝2a+5+2＝2a+7，……，第n项是[a+（n﹣1）]2，bn＝2a+2n﹣1，由此解答本题。 【完整解答】解：第一项是a2，b1＝2a+1， 第二项是a2+2a+1，b2＝2a+1+2＝2a+3， 第三项为（a+1）2+2a+3＝（a+2）2，b3＝2a+3+2＝2a+5， 第四项是（a+2）2+2a+5＝（a+3）2，b4＝2a+5+2＝2a+7， ……， 第n项是[a+（n﹣1）]2，bn＝2a+2n﹣1， 则①b4＝2a+7，本题说法正确； ②当a＝3时，第4项为（3+3）2＝36，本题说法正确； ③若第4项与第5项之和为25，则（a+3）2+（a+4）2＝25，解得a＝0，本题说法错误； ④第2022项为[a+（2022﹣1）]2＝（a+2021）2，本题说法错误； ⑤当n＝m时，b1+b2+......+bm＝2a+1+2a+3+……+2a+2m﹣1 ＝2a×m+（1+3+……+2m﹣1） ＝2ma+（1+2m﹣1）×m÷2 ＝2am+m2，本题说法正确。 所以结论正确的序号是①②⑤。 故答案为：①②⑤。 【考点点拨】本题考查的是“式”的规律的应用，解决本题的关键是找出题中规律，利用规律去解答。 13．（2024•厦门模拟）我们知道，，那么 　　 。 【思路点拨】观察分子分母的约分规律，发现乘积中的中间项全部抵消，最终结果为第一个分子1与最后一个分母 n+1的比值。 【完整解答】解：由分析可得： ...... 故答案为：。 【考点点拨】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 14．（2024•驿城区）观察算式的规律：22﹣12＝2+1，32﹣22＝3+2，42﹣32＝4+3，52﹣42＝　5+4　 ，……用含有字母a的式子表示上述规律 　a2﹣（a﹣12）＝2a﹣1　 。用上述规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　55　 。 【思路点拨】通过观察，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，据此解答。 【完整解答】解：52﹣42＝5+4 a2﹣（a﹣1）2＝a+a﹣1＝2a﹣1 102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12 ＝10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 ＝（10+1）×5 ＝55 故答案为：5+4；2a﹣1；55。 【考点点拨】本题主要考查“式”的规律，发现两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和是解题的关键。 15．（2024•新野县）观察右边算式的规律：22﹣12＝2+1，32﹣22＝3+2，42﹣32＝4+3，52﹣42＝5+4，…… （1）用含有字母n的式子表示规律：　n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1　 。 （2）用规律进行计算：202﹣192+182﹣172+162﹣152+……+22﹣12＝　210　 。 【思路点拨】通过观察，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，据此解答。 【完整解答】解：（1）n2﹣（n﹣1）2＝n+n﹣1＝2n﹣1。 答：用含有字母n的式子表示规律：n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1。 （2）202﹣192+182﹣172+162﹣152+……+22﹣12 ＝20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 ＝（20+1）×10 ＝21×10 ＝210 答：用规律进行计算：202﹣192+182﹣172+162﹣152+……+22﹣12＝210 故答案为：n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；210。 【考点点拨】本题主要考查“式”的规律，发现两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和是解题的关键。 重点难点考点04：数与形结合的规律 16．（2024•鄢陵县）如图，如果有n个三角形，需要（　　）根小棒。 A．3n B．2n+1 C．2n+2 【思路点拨】根据图示，发现这组图形的规律：每增加一个三角形，就增加2根小棒，据此解答即可。 【完整解答】解：如果有n个三角形，需要（2n+1）根小棒。 故选：B。 【考点点拨】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。 17．（2024•福田区）光明农场发展日光温室大棚种植项目，如图，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建，需要28根竹竿。依此类推，搭建n顶这样的帐篷需要（　　）根竹竿。 A．17n B．17n﹣6 C．11n+6 D．11n﹣6 【思路点拨】观察可得，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建需要17+11＝28（根），搭建三顶这样的帐篷可以像图③串起来搭建需要17+（3﹣1）×11＝39（根），搭建n顶这样的帐篷串起来搭建需要17+（n﹣1）×11＝11n+6（根）。据此解答。 【完整解答】解：17+（n﹣1）×11 ＝11n+6（根） 答：搭建n顶这样的帐篷需要（11n+6）根竹竿。 故选：C。 【考点点拨】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 18．（2024•成都）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（　　） A．4n﹣3 B．4n+3 C．6n﹣2 D．6n+4 【思路点拨】根据题意，第1幅图的点数为1+4×0＝1， 第2幅图的点数为1+4×1＝5， 第3幅图的点数为1+4×2＝9， 第4幅图的点数为1+4×3＝13， …… 那么第n幅图的点数应为：1+4（n﹣1）＝4n﹣3；据此解答。 【完整解答】解：分析可知，按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n﹣3）。 故选：A。 【考点点拨】此题考查了数与形的知识，关键能够根据增加数量找出规律再解答。 19．（2024•海门区）用96cm长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… （1）正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知xy＝ 　24　 。 （2）正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　（3x+1）　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　33　 个正方形。 【思路点拨】通过图示发现这样的规律： （1）用绳子摆正方形，正方形的周长之和不变，即每增加一个正方形，所求新正方形的边长就用24÷正方形的个数得到。 （2）每增加一个正方形，顶点数就增加3个，即每增加一个正方形，顶点的个数＝正方形的个数×3+1得到。 【完整解答】解：（1）24÷2＝12（厘米） 24÷3＝8（厘米） 24÷4＝6（厘米） …… xy＝24 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 12 8 6 …… y 观察如表，可知xy＝24。 （2）2×3+1＝7个 3×3+1＝10个 4×3+1＝13个 5×3+1＝16个 …… 当正方形的个数是x时，顶点个数是（3x+1） 当3x+1＝100时，x＝33 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 13 16 …… 当正方形的个数是x时，顶点是（3x+1）个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆33个正方形。 故答案为：（1）12；8；6；24；（2）13；16；（3x+1）；33。 【考点点拨】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 20．（2024•重庆模拟）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式，答：S＝ 　x　 。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 　2.5　 3 　4　 ……… 各边上格点的个数和x 4 5 6 　8　 …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S＝ 　x+1　 。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？请直接写出结果。 【思路点拨】（1）根据图示，结合所给图形格点个数及面积，完成填空； （2）根据格点多边形的意义作图，并根据其面积及格点个数填空； （3）根据（1）（2）的规律做题即可。 【完整解答】解：（1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式，答：Sx。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 2.5 3 4 ……… 各边上格点的个数和x 4 5 6 8 …… （2）2个格点多边形如图： （画法不唯一） 101＝6 81＝5 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式Sx+1。 （3）当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x的关系：Sx+（n﹣1）。 故答案为：x，2.5，4，8；x+1。 【考点点拨】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 21．（2024•云阳县）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换。若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 【思路点拨】观察可得规律是，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换时2在下面，完成二次变换时1在下面，完成三次变换时4在下面。每3次变换就回到初始状态。如此循环，2024除以3，余数是几，就是每组的第几次。 【完整解答】解：2024÷3＝674……2 则连续完成2024次变换后，骰子朝下一面的点数是1，朝上一面是6。 答：骰子朝上一面的点数是6。 【考点点拨】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 重点难点考点05：数表中的规律 22．（2024•昌平区）笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用如图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 …… 10 …… n 2 5 10 17 26 37 …… 101 …… 根据数据，这个运算程序可能是（　　） A．n＝m+1 B．n＝m×2+1 C．n＝m×5+1 D．n＝m×m+1 【思路点拨】根据图表可知m的平方加1即是n，据此选择。 【完整解答】解：根据图表可知m的平方加1即是n，所以n＝m2+1＝m×m+1。 故选：D。 【考点点拨】本题考查了数表规律的应用。 23．（2024•南山区）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【思路点拨】（1）、（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n﹣1）2），因为192＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列，据此解答。 【完整解答】解：如下图所示：数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n﹣1）2），因为192＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列。 （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【考点点拨】本题考查了数表中的规律的应用。 24．（2024•成都）表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝　18　 ，b＝　30　 。 【思路点拨】根据图表分析可知： （从上到下）横行从左到右第1行依次增大1；第2行依次增大2；第3行依次增大3；第4行依次增大4；…… （从左到右）竖列从上到下第1列依次增大1；第2列依次增大2；第3列依次增大3；第4列依次增大4；…… 据此即可解答。 【完整解答】解：根据分析可知数表如下所示： 所以a＝18，b＝30 故答案为：18；30。 【考点点拨】本题考查了数表规律的应用。 25．（2024•九龙坡区）日历中隐藏着许多数字规律和数学秘密，如图是2021年9月份的日历表（一部分）： （1）你发现日历表中有阴影的9个数有哪些规律？至少写出3个不同的规律。 （2）根据你在日历中发现的数学秘密，先猜一猜。再列式算一算：选这份日历中竖着相邻的两个日期，它们的和是51，我选的是哪两个日期？ 【思路点拨】（1）根据日历中各数的排列规律，写出自己的发现即可。 （2）竖着相邻的两个日期相差7，即较小的日期＝（和﹣差）÷2；较大的日期＝较小的日期+7；依此列式并计算。 【完整解答】解：（1）答案不唯一。 ①横排相邻的三个日期数依次多1； ②竖排相邻的三个日期依次多7； ③对角线上相邻三个日期的和相等。 （2）较小的日期数： （51﹣7）÷2 ＝44÷2 ＝22（日） 较大的日期数：22+7＝29（日） 答：我选的是22日和29日。 【考点点拨】此题考查的是日历中的规律，以及和差问题的计算，应熟练掌握。 重点难点考点06：事物的间隔排列规律 26．（2024•万全区）班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【思路点拨】这组气球的排列周期是：8个气球一个循环周期，按照3个红气球，2个黄气球，2个绿气球，1个白气球的顺序依次循环排列，计算出第132个气球是第几个周期的第几个即可解答． 【完整解答】解：8个气球一个周期，规律是：红，红，红，黄，黄，绿，绿，白； 132÷8＝16…4 余数是4，是黄气球； 答：第132个气球是黄色． 故选：B． 【考点点拨】根据题干得出这组气球按照颜色排列的周期规律是解决此类问题的关键． 27．（2023•晋中模拟）找规律填图：□□□□×、□□□××、□□×××、（　　） A．□□□□× B．□□××× C．□□□×× D．□×××× 【思路点拨】□依次减1，×依次加1。 【完整解答】解：□□□□×、□□□××、□□×××、□××××。 故选：D。 【考点点拨】得出这组图形排列的特点，是解决本题的关键。 28．（2023•海淀区）中心公园挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的（如图1）。大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？ 【思路点拨】根据图示可知，每串甲有1个大灯笼和4个小灯笼组成；每串乙由1个大灯笼和2个小灯笼组成。据此设甲有x串，则乙有（16﹣x）串，根据小灯笼的个数列方程求解即可。 【完整解答】解： （方法不唯一） 设甲有x串，则乙有（16﹣x）串。 4x+2（16﹣x）＝46 4x+32﹣2x＝46 2x＝14 x＝7 16﹣7＝9（串） 答：甲有7串，乙有9串。 【考点点拨】本题关键是利用关系式列方程解答。 29．（2024•梅州）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是 　亮　 的。 【思路点拨】根据题意，照明灯是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒是亮，第7秒是暗……”每6个一循环，计算第47秒是第几组零几个，即可判断明暗。 【完整解答】解：47÷6＝7（组）•••••••5（秒） 答：第47秒是亮。 故答案为：亮。 【考点点拨】明确排列的周期特点，是解决本题的关键，解答本题先找到规律，再根据规律求解。 30．（2023•张家口模拟）共150颗珠子，按“白黑黑白黑黑”的顺序排列，则第80颗珠子是 　黑　 色，第150颗珠子是 　黑　 色，这150颗珠子中一共有 　50　 颗白色珠子。 【思路点拨】根据题意可知，这串珠子每3颗一循环，计算第80颗珠子和第150颗珠子是第几组循环零几颗，即可判断其颜色；计算第150颗是多少组循环零几颗，然后根据每组中白颜色的珠子的颗数及余数计算白色珠子的颗数几颗。 【完整解答】解：80÷3＝26（组）……2（颗） 所以第80颗珠子是黑色； 150÷3＝50（组） 所以第150颗珠子是黑色； 每个周期有1颗白珠子，所以这150颗珠子中一共有珠子：1×50＝50（颗） 答：第80颗珠子是黑色，第150颗珠子是黑色，这150颗珠子中一共有50颗白色珠子。 故答案为：黑，黑，50。 【考点点拨】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。 重点难点考点07：事物的简单搭配规律 31．（2024•播州区模拟）用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1﹣图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，表示P&Q的有①﹣④4个组合图形可供选择其中，正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，图一和图二都有圆，即P表示圆，那么M表示正方形，N表示三角形，进而求解． 【完整解答】解：结合图1和图2我们不难看出：P代表圆、M代表正方形、N代表三角形， 从而可知Q代表线段，也就得到P、Q组合的图形是圆加线段． 故选：B． 【考点点拨】本题主要考查考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定M、N、P、Q各代表什么图形． 32．（2023•郑州）如图，〇、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（　　） A．54 B．43 C．34 【思路点拨】前3个图中都有圆，表示的数字中都有5，即5表示圆形；进而可以得出3表示三角形；4表示正方形；而且第一个数字表示的图形在外面，第二个数字表示图形在第一个数字表示图形的里面． 【完整解答】解：图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，所以用数字：43表示． 故选：B． 【考点点拨】根据第一幅、第二幅和第三幅图中的数字，得出：〇△□各表示的数字是解决本题的关键． 33．（2023•乐陵市）足球世界杯每四年举行一次，国际足联规定冠军奖品为大力神杯，此杯为流动奖品，1974年第十届足球世界杯第一次启用。 （1）在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌，此杯可以持续使用到第多少届，是哪一年？ （2）足球一般是用黑白两种颜色的皮子缝制而成的，黑色皮子是五边形，白色皮子是六边形（如图），每一块黑色皮子都与5块白色皮子相接，每一块白色皮子都连接3块黑色皮子。已知一个足球上黑色皮子共有12块，请你计算白色皮子共有多少块？ （3）北京时间2023年3月14日晚，国际足联官方确认，2026年世界杯比赛赛制做出调整：首度扩军48支球队，将被分为12个小组，每个小组4支球队进行比赛。小组赛采用单循环赛（小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场）。每组前2名及8支成绩最好的小组第3名，将晋级32强，此后采用淘汰赛（两个参赛队伍用一场比赛定胜负），产生16强、8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3和4名。至此，本届世界杯的所有比赛结束。 根据以上信息，算一算，每个小组内一共要比赛几场？整个小组赛一共有多少场？2026年世界杯足球赛全程共有多少场？ 【思路点拨】（1）因为大力神杯镌刻17个冠军队名字，且1974年第十届足球世界杯第一次启用，那么除去1974年第十届世界杯后，还可以使用16次，据此推算出可以持续使用到第多少届；又因为世界杯4年一届，求出还可以使用的年数，根据起点时间+经过时间＝终点时间，推算出年数即可； （2）黑色皮子数量×边数＝黑色皮子总边数，每一块白色皮子都有3条黑边，黑色皮子总边数÷3＝白色皮子数量，据此列式解答； （3）球队总支数÷小组数＝每个小组球队支数，小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场，每个小组球队支数×（每个小组球队支数﹣1）÷2＝每个小组比赛场数；每个小组比赛场数×小组数＝整个小组赛一共有多少场；淘汰赛有32支球队，两个参赛队伍用一场比赛定胜负，每比一场就淘汰一支球队，所以需要比（32﹣1）场，还要决出第3和4名，再加一场，即淘汰赛共32场，整个小组赛总场数+淘汰赛总场数＝世界杯足球赛全程总场数。 【完整解答】解：（1）10+（17﹣1） ＝10+16 ＝26（届） 1974+4×16 ＝1974+64 ＝2038（年） 答：此杯可以持续使用到第26届，是2038年。 （2）12×5÷3 ＝60÷3 ＝20（块） 答：白色皮子共有20块。 （3）48÷12＝4（支） 4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（场） 6×12＝72（场） 32﹣1＝31（场） 31+1＝32（场） 72+32＝104（场） 答：每个小组内一共要比赛6场，整个小组赛一共有72场，2026年世界杯足球赛全程共有104场。 【考点点拨】关键是理解搭配问题的解题方法，注意理解单循环和淘汰赛的比赛规则。 34．（2022•惠阳区）学校食堂中午供应4种荤菜，3种素菜，小英要搭配一荤一素的午餐，她共有 　12　 种不同的配菜方法。 【思路点拨】先选择荤菜，有4种方法；再选择素菜，有3种方法，根据乘法原理，配菜方法一共有（4×3）种；据此解答即可。 【完整解答】解：4×3＝12（种） 答：她共有12种不同的配菜方法。 故答案为：12。 【考点点拨】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。 重点难点考点08：简单周期现象中的规律 35．（2024•江宁区模拟）在商场墙壁上要安装100盏彩灯，每3盏一组，按照红、黄、蓝的顺序排列，那么最后一盏灯的颜色是（　　） A．红 B．黄 C．蓝 【思路点拨】每3盏一组，先用总盏数除以3，求出一共有多少个这样的一组，还余几，再根据余数推算． 【完整解答】解：100÷3＝33（组）…1（盏） 余下1盏，所以第100盏灯就是第34组的第一盏，是红色的。 答：最后一盏灯的颜色是红色。 故选：A。 【考点点拨】解决这类问题关键是把重复出现的部分看成一组，根据除法的意义，求出总数量里面有多少个这样的一组，还余几，然后根据余数进行推算。 36．（2024•莘县）实验小学举办庆“六一”艺术展演活动，为装饰舞台，活动筹备组的老师们在舞台一侧安装了一串彩灯，共56盏，形状如图，其中占这串彩灯的（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据图示可知，每6盏彩灯一循环，计算第56盏是第几组循环零几盏，再根据每组中的个数及余数中的个数，计算的总个数，最后除以56即可。 【完整解答】解：56÷6＝9（组）……2（个） 9×2+1 ＝18+1 ＝19（个） 19÷56 答：占这串彩灯的。 故选：B。 【考点点拨】先找到规律，再根据规律求解。 37．（2024•无锡模拟）A、B、C、D四个盒子中依次放有6、4、5、3个球，第1位小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2位小朋友接着找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第3位小朋友接着同样做下 去……当第34位小朋友放完后，问B盒中放有多少个球？ 【思路点拨】分析题意可得，第1位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为5，3，4，6，第2位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为4，6，3，5，第3位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为3，5，6，4，第4位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为6，4，5，3，第5位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为5，3，4，6，……； 依据上述结果，可发现每4次为一个周期，计算34÷4，根据所得的余数，即可确定当第34位小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子里球的个数，从而即可得解。 【完整解答】解：第1位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为5个，3个，4个，6个， 同理，第2位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为4个，6个，3个，5个， 第3位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为3个，5个，6个，4个， 第4位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为6个，4个，5个，3个， 第5位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为5个，3个，4个，6个， 第6位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为4个，6个，3个，5个， 第7位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为3个，5个，6个，4个， 第8位小朋友放好球后，A、B、C、D四个盒子里球的个数分别为6个，4个，5个，3个， …… 根据上述分析可知，每4次为一个周期， 34÷4＝8……2 所以第34位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中的球数依次是4个，6个，3个，5个。 答：当第34位小朋友放完后，B盒中放有6个球。 【考点点拨】本题考查简单周期现象中的规律的探究，找出题中存在的规律是解题的关键。 38．（2024•龙湖区）〇□□△〇□□△〇□□△〇……左起第232个是 　△　 ，前66个图形中共有〇　17　 个。 【思路点拨】〇□□△这4个图形一循环；分别求出232和66里有几个这样的组，再根据余数求解即可。 【完整解答】解：（1）232÷4＝58（组） 所以左起第232个是△。 （2）66÷4＝16（组）……2（个） 1×16+1＝17（个） 前66个图形中共有〇17个。 故答案为：△；17。 【考点点拨】这类型的题目关键是找出图形的循环排列的规律，再根据这个规律分组解决问题。 重点难点考点09：简单图形覆盖现象中的规律 39．（2024•盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 【思路点拨】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x﹣10）。第二行第1个为（x﹣2），第二行第3个为（x+2）。四个数的和为x+（x﹣10）+（x﹣2）+（x+2），化简为（4x﹣10）；据此依次列方程为4x﹣10＝114，4x﹣10＝122，4x﹣10＝220，4x﹣10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【完整解答】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x﹣10）。第二行第1个为（x﹣2），第二行第3个为（x+2）。 x+（x﹣10）+（x﹣2）+（x+2） ＝x+x﹣10+x﹣2+x+2 ＝4x﹣10 A．4x﹣10＝114 4x﹣10+10＝114+10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x﹣10＝122 4x﹣10+10＝122+10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x﹣10＝220 4x﹣10+10＝220+10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x﹣10＝84 4x﹣10+10＝84+10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B。 【考点点拨】本题主要考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 40．（2024•西湖区）在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 　B　 。 A.95 B.237 C.115 D.130 在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是 　A　 数。 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 【思路点拨】根据百数表中数的排列规律，结合3的倍数的特征及数的奇偶性、质数和合数的意义进行选择即可。 一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 奇数+偶数＝奇数。 【完整解答】解：9+5＝14，14不是3的倍数； 2+3+7＝12，12是3的倍数； 1+1+5＝7，7不是3的倍数； 1+3+0＝4，4不是3的倍数。 在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 237。 在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是奇数。 故答案为：B，A。 【考点点拨】本题主要考查百数表中数的排列规律的应用及数的奇偶性的判断。 41．（2024•靖边县模拟）将自然数1～100排列，如图：在这个表里用长方形框出两行六个数（图中长方形仅为示意），如果框起来的六个数和为462，这六个数中最小是几？ 【思路点拨】从数列中可以看出每行10个数，从左向右递增，长方形框起来的六个数，最小的是上行最左边的数，设它为x，则同一行其他两数分别是x+1，x+2，下行的数对应加10，依此为x+10，x+11，x+12，根据这六个数的和为462，得x+（x+1）+（x+2）+（x+10）+（x+11）+（x+12）＝462，解出x的值即可。 【完整解答】解：设这六个数中最小的数是x。 x+（x+1）+（x+2）+（x+10）+（x+11）+（x+12）＝462 6x+3+33＝462 6x+36＝462 6x＝426 x＝71 答：这六个数中最小是71。 【考点点拨】考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是，根据所给出的框起来部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 重点难点考点10：通过操作实验探索规律 42．（2024•增城区）如图是三个面带有图案的正方体，小娅翻动了这个正方体，下面（　　）可能是小娅翻动后的样子。 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意结合图示可知，把正方体向左翻转90°，再逆时针旋转90°，原来正方体上面的图案就转到了前面，原来正方体前面的图案就转到了右面，原来正方体右面的图案就转到了上面，由此解答本题。 【完整解答】解：由分析可知，可能是小娅翻动后的样子。 故选：C。 【考点点拨】解答本题的关键是弄清三个图形的相对位置，可以找一个正方体模型操作一下。 43．（2024•宿豫区校级模拟）接着往下画． 【思路点拨】第一幅图是沿逆时针方向旋转，第二幅图是沿顺时针方向旋转，据此画出即可． 【完整解答】解：第一幅图是沿逆时针方向旋转，第二幅图是沿顺时针方向旋转， 画图如下： 【考点点拨】认真看图，找出图中规律是解题的关键． 44．（2024•四川）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1，的小正方形格子，小正方形的顶点，叫作标点．以标点为顶点我们可以做三角形、四边形、五边形等多种多边形，它们都叫作格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为X， （1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 2.5 各边上格点的个数和x 4 5 根据以上信息，当各边上格点的个数和为x时，则多边形的面积S＝　x　 ． （2）请你在下列方格中在画中一些格点多边形（至少画三个不同形式的），使这样的多边形内部都有而且只有2个格点． 此时各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和X之间的关系是S＝　x+1　 ． （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎么样的关系，S＝　Sx+（n﹣1）　 ． 【思路点拨】（1）2＝4，2.5＝5；多边形的面积＝各边上格点个数和的一半，即Sx； （2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出S与x的关系． （3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：Sx+（n﹣1）． 【完整解答】解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 2.5 3 4 各边上格点的个数和x 4 5 6 8 根据以上信息，多边形的面积＝各边上格点个数和的一半，即Sx； （2） 根据图可知： 正方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，中间格点数是2， 6＝10÷2+1； 三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，中间格点数是2， 3＝4÷2+1； 梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，中间格点数是2， 5＝8÷2+1； 那么Sx+1； （3）通过上题探究可知： 最后的1就是内部的格点数2﹣1而得； 所以格点多边形面积＝各边上格点的个数和（多边形内部格点数﹣1）；即： Sx+（n﹣1）； 故答案为：Sx；Sx+1；Sx+（n﹣1）． 【考点点拨】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算． 45．（2024•北碚区校级模拟）有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球　172　 只． 【思路点拨】先列表找出甲乙两堆球移动5次后的情况，再根据最后相等找出原来甲乙两堆球的比例关系．然后根据甲堆球的范围130﹣﹣200之间进行求解． 【完整解答】解：设甲乙原有小球数为a和b，五次挪动的情况如下表： 开始 1 2 3 4 5 甲 a a﹣b 2a﹣2b 3a﹣5b 6a﹣10b 11a﹣21b 乙 b 2b 3b﹣a 6b﹣2a 11b﹣5a ﹣10a+22b 故有11a﹣21b＝22b﹣10a，于是21a＝43b，即a：b＝43：21． 注意到小球个数是整数，且130＜a≤200，且a+b应为偶数（否则不能平分）． 于是有a：b＝86：42＝172：84，所以a＝172． 故答案为：172． 【考点点拨】抓住最后的数量相等，找出原来两堆球数量之间的关系，再根据取值范围得出结论． 46．（2024•渝北区）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯装满水，乙杯是空的。第一次将甲杯里的水的倒入乙杯；第二次将乙杯水的倒回甲杯；第三次将甲杯里水的倒回乙杯；第四次将乙杯水的倒回甲杯；……；这样反复倒2015次后，甲杯中的水是原来的 　　 （填分数）。 【思路点拨】把甲杯中原有水量看作单位“1”，通过几次计算发现规律，倒的次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多．因为2015是奇数，故这时甲杯中的水与乙杯中水一样多，均为，所以甲杯中的水是原来的。 【完整解答】解：设甲杯中原有水为单位“1”，则甲、乙两杯的总量也为“1”，乙的量＝1﹣甲的量； 第1次倒出的量为：1，第1次倒后：甲，乙＝1； 第2次倒出的量为：，第2次倒后：甲，乙＝1； 第3次倒出的量为：，第3次倒后：甲，乙＝1； 第4次倒出的量为：，第4次倒后：甲，乙＝1； 第5次倒出的量为：，第5次倒后：甲，乙＝1； 可得：倒的次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多均为， 因为2015是奇数，所以倒2015次后，甲杯中的水是原来的。 答：反复倒2015次后，甲杯中的水是原来的。 故答案为：。 【考点点拨】解答本题的关键是通过几次计算发现规律，并能用规律解答问题。 重点难点考点11：思考与推理 47．（2024•余杭区）小明盛了大半盆清水，把一个西瓜放入水中清洗，共溢出了600毫升的水，洗干净后，再把西瓜捞出。能正确反映脸盆中水的深度变化情况的图是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】随着时间的增加，水的深度越来越大，直到水深达到最大（脸盆的深度），随着西瓜的捞出，水深越来越小，直到最小（小于放西瓜前，因为水溢出了一部分）。据此解答。 【完整解答】解：根据分析可知，能正确反映脸盆中水的深度变化情况的图是。 故选：D。 【考点点拨】联系实际场景，分析水深与时间的关系是解本题的关键。 48．（2024•滁州）为有效利用水资源，某市规定三口之家每月用水量不超过20立方米时按第一级（2.20元/立方米）收取水费，超过20立方米时，超过的部分按第二级（2.80元/立方米）收取水费。李叔叔一家三口每月用水量都超过20立方米。如图中能正确表示他家每月水费与用水量之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】每月用水量不超过20立方米时按第一级收取水费，超过20立方米时，超过的部分按第二级收取水费，所以折线的变化点应对应用水量20立方米处，又因为第一级水费的单价低于第二级水费的单价，所以折线倾斜的角度要变大，据此结合选项分析即可得出答案。 【完整解答】解：根据分析可得能正确表示他家每月水费与用水量之间关系的是选项C。 故选：C。 【考点点拨】本题考查图像问题，根据题意结合图像的特点进行解答。 49．（2024•常熟市）如图是游泳池的截面，分为浅水区和深水区，如果以固定的水流量向游泳池注水，下面能表达水的最大深度h与注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】因为蓄水池的底面小，上面大，而且这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此解答。 【完整解答】解：根据分析可得：能反应出水的深度变化是先快后慢的是选项B。 故选：B。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 50．（2024•天河区）某市规定每户每月用水量不超过6t时，每吨价格为2.5元；当用水量超过6t时，超过的部分每吨价格为3元。如图中能正确表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】折线统计图中横轴上的数据表示用水量，图A表示用水量不到6吨和超过6吨后，每吨的价格和原来的价格不变；B图表示用水量超过6吨后，每吨的价格不再增加；C图表示用水量超过6吨后每吨的价格会上涨，上且上涨后会超过每吨2.5元；图D表示用水量超过3吨，价格上涨。 【完整解答】解：由分析知：每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．上面4幅图中能表示每月水费与用水量关系的是C； 故选：C。 【考点点拨】此题应根据单价和用水吨数之间的关系进行判断。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$