查漏知识 上海高考易错点清单（47个避错攻略）（干货必备）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

查漏知识 上海高考易错点清单（47个避错攻略）（干货必备） 目录 避错攻略一：集合与逻辑 1 避错攻略二：不等式 3 避错攻略三：函数及其性质 5 避错攻略四：导数及其应用 12 避错攻略五：三角函数 14 避错攻略六：平面向量 19 避错攻略七：复数 20 避错攻略八：数列 21 避错攻略九：立体几何 26 避错攻略十：直线和圆 33 避错攻略十一：圆锥曲线 35 避错攻略十二：计数原理 37 避错攻略十三：概率与统计 39 避错攻略一：集合与逻辑 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致误 【典型例题】已知，若，则的值为（ ） 特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互异性.本题的易错之处是忽略检验当时是否满足集合中元素的互异性. 【解析】由集合相等可知 且，则，所以，所以解得或.根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，所以.故选. 【变式练习】已知,若集合，则（ ） 特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互异性，本题的易错之处是忽视检验时是否满足集合中元素的互异性. 【解析】因为，所以，解得或，当时，不满足集合中元素的互异性，故，即.故选 易错点2 忽视对空集的讨论而致误 【典型例题】 已知集合，.若，则实数的取值范围为（ ） 特别提醒：当两集合的交集为空集时，需考虑其中含参数的集合是否为空集，本题求解的易错之处在于忽略，即的情况. 【解析】因为，当时，，则，满足；当时，，则，因为，，所以解得.综上，实数的取值范围为.故选. 【变式练习】设集合 .若， 实数的取值范围为（ ） 特别提醒：要求解的含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时，应考虑所求集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处在于忽略的情况. 【解析】由得.因为集合，.当时，有，解得；当时，有，解得.综上，实数的取值范围为.故选. 易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误 【典型例题】已知，.若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 特别提醒：根据充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件求参数，可参考如下结论： （1）若是的必要不充分条件，则对应的集合是对应的集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应的集合的真子集； （3）若是的充要条件，则对应的集合与对应的集合相等. 此题易错之处在于误认为是的真子集. 【解析】由不等式，解得，设对应的集合为，则.由不等式，解得，设对应的集合为，则.因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则（不同时取等号），解得，所以实数的取值范围是. 【变式练习】已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 特别提醒：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数，可参考如下结论，（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充要条件，则对应集合与对应集合相等 此题易错之处在于若“”是“”的充分不必要条件，误认为. 【解析】设.若“”是“”的充分不必要条件，则，则，等号不同时成立，解得，故选 避错攻略二：不等式 易错点4 忽略基本不等式成立的条件致误 【典型例题】若且，则下列结论中正确的是（ ） 特别提醒：利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数 （2）“二定”就是含变量的各项的和或积必须是定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【解析】 对于，（当且仅当时取等号），，错误 对于，（当且仅当取等号），，错误 对于，（当且仅当，即取等号），，错误； 对于，（当且仅当取等号），正确，故选. 【变式练习】已知 ，则的最小值为（ ） 【错解】， 当时，即时，取最小值 【错因分析】此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式. 【解析】因为，即，所以，当且仅当时，即时，有最小值.故的最小值为. 【答案】 易错点5 忽视二次项系数的分类讨论导致致误 【典型例题】已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为 。 特别提醒：本题的易错点是在解决一元二次不等式恒成立问题时，忽视二次项系数等于0这种特殊情况的讨论.不能默认为它就是一元二次不等式直接进行求解. 【解析】当时，命题是假命题，符合题意；当时，若命题是假命题，则恒成立，则，解得.综上可得实数的取值范围为. 【变式练习】“”是“关于的不等式恒成立”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 特别提醒：本题的易错点是在解决含参的一元二次不等式恒成立问题时，忽视对二次项系数等于0这种特殊情况的讨论，不能认为它就是一元二次不等式直接进行求解. 【解析】当时，恒成立，当时，恒成立，得解得，所以当时，关于的不等式恒成立，所以“”是"关于的不等式恒成立"的充分不必要条件.故选. 【答案】 避错攻略三：函数及其性质 易错点6 对复合函数定义域的理解不透彻致误 【典型例题】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） 特别提醒： （1）已知的定义域为，则的定义域为的解集； （2）已知的定义域为，则的定义域为在上的值域. 【解析】因为函数的定义域，所以，所以，所以函数的定义域为 要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是故选D. 【答案】D 【变式练习】已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ） 特别提醒：（1）已知的定义域为，则的定义域为不等式的解集； （2）已知的定义域为，则的定义域为在上的值域. 【解析】因为，且的定义域为，值域为，所以的定义域为，值域为.由得，所以的定义域为，值域为，则，，所以.故选. 【答案】 易错点7 忽视函数定义域而致误 【典型例题】已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 . 特别提醒：本题中的定义域，在解不等式时，要保证且. 【解析】因为且，令，则，令，，则，所以不等式，即即，解得，所以不等式的解集 【变式练习1】连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ） 特别提醒：本题中的定义域为，在解不等式时，要保证且. 【解析】当时，由得；当时，由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.由可得，所以解得.故选. 【答案】 【变式练习2】函数的零点个数为（ ） 特别提醒：在本题中，若忽视定义域为且，则得到的函数有2个零点，因此在利用数形结合判断函数零点时，将零点个数转化成两个函数图象交点的个数，需要注意一些特殊点（如定义域或端点）和特殊位置（如直线与曲线的切点、曲线的间断点等）. 【解析】令，则，.令，，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，易得这两个函数的图象只有1个交点，所以原函数只有1个零点.故选. 易错点8 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误 【典型例题】已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） 特别提醒：分段函数在定义域内是单调函数，不仅需要限制每段内是单调性相同的单调函数，还需要限制交界处函数值的大小.本题中的分段函数在处是两段的交界，当在上单调递增时，需限制，当在上单调递减时，需限制. 【解析】是上单调递增， 若在上单调递增， 则解得 综上，的取值范围是.故选. 【答案】B 【变式练习】已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 . 特别提醒：本题中的函数在处是两端的交界，研究该函数在上单调递减时，一定要保证当时，第一段的函数值不小于第二段的函数值，即 【解析】因为对于任意实数，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所有实数的取值范围是. 易错点9 对数型复合函数的定义域、值域、单调性理解不透彻致误 【典型例题】[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 特别提醒：（1）若的定义域为，当时不符合题意，当时需且； （2）若的值域为，当时符合题意，当时需且 【解析】令的值域为，若的值域为，则，若，则，符合题意； 若，则当即时，，符合题意. 综上, ,所以的取值范围是. 【变式练习】若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 . 特别提醒：一般地，若，则函数的单调性与函数的单调性相同，若，则函数的单调性与函数的单调性相反. 【解析】因为与互为反函数，所以，则.设，则，由，解得或，因为 在其定义域上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递减区间是 易错点10 函数的图象画的不准确而致误 【典型例题】已知函数 若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） 特别提醒：利用函数的图象解决问题时，需准确画出函数的图象，注意特殊点、渐近线的位置，否则可能导致解题错误.本题中画函数 的图象时，注意当时，单调递减，当时，的图象与直线无限接近，忽略这点可能导致解题错误. 【解析】要使函数有3个零点，则有3个不相等的实根，即的图象与直线有3个交点.画出函数的图象与直线如图所示. 由图象可以看出，若的图象与直线有3个交点，则，故选. 【答案】 【变式练习1】若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） 特别提醒：本题的D选项，确定方程的实数根的个数，即与的图象的交点个数时，需画出两函数的图象，在画函数的图象时需要注意到，当时，，而当时，，所以当时，与的图象无交点.本题的易错之处在于不能准确把握与的图象的位置. 【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点（-1，0）对称，.因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，，则，，所以的周期为8，结合题意，作出的图象，如图所示. 对于，，故正确 对于，的图象关于点（-1，0）对称，周期为8，则的图象关于点（7，0）对称，则为奇函数，故正确； 对于，在（6，8）上单调递增，故正确； 对于，的实数根的个数即为与的图象的交点个数，如图，由图可知与的图象有6个交点，所以方程有6个实数根，故D 错误. 【答案】D 【变式练习2】已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ） 特别提醒：在本题中，若忽视当时，则得到在上有个不同的实数根，会得到故解答此类问题，既要注意最值，也要注意端点值，有时需要着重检验断点的取值是否符合题意 【解析】设，则，作出函数的大致图象，如图所示. 则函数有6个零点等价于方程在上有2个不同的实数根，则 解得，故选 避错攻略四：导数及其应用 易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 【典型例题】曲线过点的切线方程是（ ） 特别提醒：曲线在某点处的切线方程明确了“某点”是切点，此时切线只有唯一一条，而过某点的切线是指切线经过“某点”，此时“某点”可能是切点，也可能不是切点，这样的切线可能是多条，所以涉及过某点的切线的问题时，需要判断"某点”是否为切点. 【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，即故选. 【变式练习】已知函数，则曲线经过点的切线方程是 . 特别提醒：求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 【解析】设切点为，由题知，所以切线的斜率，所以切线方程为.因为切线过点，（注：点不一定是切点），所以，即，解得或，所以斜率或，又切线过点，得切线方程为或. 易错点12 对极值点的含义理解不清 【典型例题】已知函数在处取得极值0，则（ ） 特别提醒：利用导函数分析函数的极值时，要注意的是使导函数值为0的的值不一定是极值点，极值点是使导函数值为0，且左、右导函数值异号的的值，本题的易错点在于令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值. 【解析】根据题意，，解得或，当，时，在上单调递增，无极值点，故舍去.当时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处有极小值，满足条件.综上，故选 【答案】 【变式练习】若是函数的极值点，则的值为（ ） 特别提醒：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在附近两侧异号，若“左负右正"，则为极小值点，若“左正右负”，则为极大值点. 本题易错的地方是求出的值后，没有通过单调性来验证是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 【解析】，则，由题意可知，即，解得或. 当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，函数在上单调递增，没有极值点，故选. 【答案】 避错攻略五：三角函数 易错点13 忽视角的终边所在象限致误 【典型例题】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） 特别提醒：已知角的终边经过点，解题时容易只考虑或，然后根据三角函数的定义求值，但却忽视了角的终边所在的象限，导致漏解，显然本题要根据角的终边所在的象限不同而分两种情况进行讨论. 【解析】由题意得，点与原点间的距离， 所以 当时，，故 当时，，故 故选. 【变式练习】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为 . 特别提醒：已知角的终边在直线上，解题时容易直接取直线上的一个点，然后根据三角函数的定义求值，但却忽视了角的终边所在象限，导致漏解，显然本题要根据角的终边所在的象限不同而分两种情况进行讨论. 【解析】在上取不同于坐标原点的点. 当时，点到原点的距离，所以 当时，点到原点的距离，所以 综上，的值为. 易错点14 忽视角的范围致错 【典型例题】已知为第三象限角，则（ ） 特别提醒：在利用和计算，的取值时要注意的范围，舍去不符合题意的解，再代入求值，否则容易出现增解. 【解析】由且 解得或 又因为为第三象限角，所以，所以（易错处：忽视角的范围导致增解） 方法一： 方法二： 【变式练习】已知，且，则的值为 . 特别提醒：在对或进行开方时，要注意的范围，应由题目已知条件，判断，的正负，否则任意出现增解，如本题中，若不考虑则. 【解析】 易错点15 对三角函数的图像理解有误 【典型例题】已知函数，现将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ） 特别提醒：函数的图象与的图象之间的变换，通常涉及三个方面的错误：（1）不清楚的符号对平移的影响，错误判断平移方向；（2）不清楚与1的大小，错误判断横坐标的伸长和缩短；（3）混淆平移变换与伸缩变换的变换顺序，错误判断平移的长度. 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象 （易错点：混淆图象变换中变换量的大小及平移方向）.因为，所以，所以，所以在上的值域为故选. 【变式练习】函数的图像向左平移个单位长度，所得到的图像与原函数的对称轴重合，则的最小值是（ ） 特别提醒：周期函数的图象向左或向右平移周期的整数倍与自身重合，但三角函数一个周期有两条对称轴，所以向左向右平移半个周期的整数倍即可使对称轴重合. 【解析】函数的图像向左平移个单位长度，所得到的图象与原函数的图像对称轴重合， ，即. 令，可得的最小值为，故选. 易错点16 误判区间端点处取值的取等情况致错 【典型例题】已知函数的图象经过点，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） 特别提醒：已知函数零点、极值点个数求参数范围时，易误判区间端点处取值是否取等致错，解题时可将取等情况代入验证，若符合题意，则可以取到等号，若不符合题意，则等号不成立. 【解析】由条件可知，，所以 .当时， 若函数在区间上恰有2个零点，则，解得，故选. 【变式练习】函数的最小值为 . 特别提醒：在此类问题中，换元之后，若未能注意，则极易出现错误.如本题中求得的函数最小值可能为. 【解析】令，则，所以，所以当，即时，函数取最小值0. 易错点17忽视自变量取值范围致误 【典型例题】[上海金山区2023一模]函数，的值域为 . 特别提醒：求解有关三角函数的取值范围、最值问题时，不仅要注意三角函数本身的有界性，还需注意题中所给条件对角的限制. 【解析】 因为，所以，所以，所以 所以函数，的值域为. 【变式练习】已知均为锐角，且满足，则（ ） 特别提醒：此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论或讨论错误，从未使得求出的解不合题意或者漏解，如本题中，若未注意到均为锐角，则错解 【解析】因为， 所以 因为均为锐角，所以，故.故选. 避错攻略六：平面向量 易错点18 对平面向量基本定理理解有误 【典型例题】如图所示，是圆上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是 . 特别提醒：对平面内任意一点，点与点共线的充要条件为，即，的系数和等于1.求型如中参数的值，可通过辅助线构造与向量共线且满足共线的向量，求解，可得参数的值. 【解析】三点共线，存在实数满足 设 ，，即 由，可得 则 的取值范围是. 易错点19 认为与的夹角为锐角（钝角）致错 【典型例题】已知向量，.若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ） 特别提醒：当时，与的夹角为锐角（钝角）或0（180）度角，所以与的夹角为锐角（钝角）等价且与不共线. 【解析】由题意得，. 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们的数量积为正值，即，且， 解得，且， 所以实数的取值范围为.故选. 【变式练习】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 特别提醒：（1）向量的夹角要将两个向量平移到同起点去观察，首尾相连的向量所呈现的角是夹角的补角 （2）两个向量的夹角为钝角是两个向量的数量积小于0的充分不必要条件，求参数时需要排除两个向量反向共线的情况，同理，两个向量的夹角为锐角时，也要注意排除两个向量同向共线时的参数值. 【解析】，即，又， 所以，不能推出为钝角三角形，充分性不成立. 为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立. 所以“”是“为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选. 避错攻略七：复数 易错点20 复数的相关概念理解不清致误 【典型例题】在复平面内，复数对应的点分别是（2,-1），（0,5），则复数的虚部为（ ） 特别提醒：复数的虚部指的是虚数单位的实系数，故而不能带上虚数单位，如本题，虚部容易被误认为是. 【解析】由题可知，，则，所以复数的虚部为2.故选. 【变式练习】若，则的虚部为（ ） 特别提醒：复数的虚部指的是虚数单位的实数系，故而不能带上虚数单位，如本题虚部很容易被误认为是 【解析】因为，则，所以的虚部为，故选 易错点21忽视复数相等的条件致误 【典型例题】已知为虚数单位，若，则= . 特别提醒：两个复数，相等的充要条件是，即需要满足实部与虚部同时相等. 【解析】因为，所以 所以，，则 【变式练习】已知复数满足条件，则（ ） 特别提醒：两个复数，相等的充要条件是,即需要满足实部与虚部同时相等. 【解析】设，则，所以 所以，则 解得或故或，因此或. 故选. 避错攻略八：数列 易错点22 忽视公式的适用条件而导致错误 【典型例题】已知数列，为的前项和，，则= . 特别提醒：在由递推公式求通项公式时，要注意这个条件是对数列中的所有项都满足递推公式，一旦出现此时这个条件是对数列中从第二项开始满足递推公式，在求通项公式的时候一定要进行辨别. 【解析】① ② ①-②得又 所以 【答案】 【变式练习】已知数列的前项和为 ，且，，则（ ） 特别提醒：本题易忽视公式的适用条件而导致错误.利用此公式求得后，一定要验证时是否满足所求出的，若不满足，则要用分段形式来表示. 【解析】 令，可得，解得. ①， ②， 由①-②可得 【答案】 易错点23 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 【典型例题】在等差数列中，，与互为相反数，为的前 项和，，则的最小值是 . 特别提醒：分清楚取何值时或，当的各项都为非负数时，的前项和等于的前项和，当的各项都为非正数时，的前项和等于的前项和的相反数，当的某些项是正的，某些项是负的时，要对进行分类讨论，转化成的前项和求解. 【解析】设等差数列的公差为. 解得 由得，由得 当时， 当时， 当时， 对于函数，当时，在上单调递增 当时，为最小值 当时，，对于函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，为最小值. 综上所述，的最小值是6 易错点24 忽视对公比是否为1的讨论而致误 【典型例题】已知等比数列，首项为，公比为，前项和为.若数列是等比数列，则（ ） 特别提醒：在利用等比数列的前项和公式时，若其公比不确定，则应对公比分和两种情况进行讨论.在解题时首先讨论公比这一特殊情况，再在的情况下，应用等比数列的前项和公式对式子进行整理变形，再进行研究. 【解析】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得， 即 所以不合题意， 若，则，则 由题意可得， 即 所以 可得，故选 易错点25 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 【典型例题】等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） 特别提醒：（1）若公差，则是递增数列，有最小值， 此时若，则的最小值为，若，使成立的的最大正整数为，则的最小值为，若恰有，则的最小值为和 （2）若公差，则是常数列.此时若，则的最小值为；若，则的最大值为. （3）若公差，则是递减数列，有最大值， 此时若，使成立的最大正整数为，则的最大值为，若恰有，则的最大值为和；若，则的最大值为. 【解析】对于，由，得，即（关键：根据条件得到首项和公差之间的关系，由此可消去首项，只需借助的范围进行讨论即可）由于是递增数列，所以，故错误；对于， ，由于，故当，且时，当时，，当，时，因此当或时，最小，故错误，对于，令，由于，故解得，且，故当时，的最小值为8，故正确. 【答案】 易错点26 未对的奇偶性进行讨论而致误. 【典型例题】在数列中，，.，记数列的前项和为，则 . 特别提醒：（1）由，易得数列的符号规律为因此在求数列通项时需对的奇偶性分类讨论； （2）的通项公式应为，因此求和时也要对的奇偶性进行分类讨论. 【解析】因为 所以，所以. 在中，令，则 所以，则该数列奇数项是以为首项，公比为的等比数列，偶数项是以为首项，公比为的等比数列，故 【答案】 避错攻略九：立体几何 易错点27 不能确定棱锥的外接球球心致错 【典型例题】已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） 特别提醒：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离. 【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心. 取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即 在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选. 【答案】 易错点28 忽视组合体重叠部分致误 【典型例题】每逢春节人们会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图①，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如图②，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图①，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆的直径为，若要用布料将灯笼全部包围，则所需布料的面积为（ ） 特别提醒：在求解组合体的表面积时，经常会分别计算出每个几何体的表面积，然后相加，这个时候需要注意，几何体和几何体之间重叠部分的面积需要减掉，以免重复计数，导致错误. 【解析】由题意得，解得 所以 所以两个球冠的面积为 则所需布料的面积为 故选. 易错点29 空间点、线、面位置关系判断不清致误 【典型例题】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） 特别提醒：对空间点、线、面位置关系判断不清，考虑不全面都会导致求解出错，如本题选项，若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或. 【解析】对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，，则，故正确； 对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故错误； 对于，若，，，则或与相交，故错误. 【答案】 易错点30 关于线面平行问题的易错点总结 【典型例题】在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为线段的中点，底面， （1）作出平面与平面的交线，并证明； （2）求点到平面的距离. 特别提醒：（1）线面平行的判定，平面外的直线与平面内的直线平行，经常忽视“平面外”的条件； （2）线面平行的性质，一条直线平行于平面，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，经常忽视“交线”的条件； （3）在作两个平面的交线时，易忽视两个平面已有的公共点. 【解析】（1）如图，连接，，且为的中点，， 且，：四边形为平行四边形， 平面，平面， //平面. 又平面，平面平面 取的中点，连接，则，又，，故就是所求的直线. （2）连接. 为的中点，为的中点， 平面， ，平面，平面，. ，点到平面的距离相等，且由四边形为正方形得. 设为点到平面的距离， 易错点31 忽视两条直线相交的条件 【典型例题】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，是的中点，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求的值. 特别提醒：证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.本题中连接，通过证明，，直线相交于点，且在平面内，可得平面. 【解析】（1）【证明】连接，在中，因为，，，所以. 因为，，所以是等边三角形.因为是的中点，所以在中，，满足所以.又，所以平面. （2）【解】过点作，垂足为，连接，由（1）可知平面，平面，所以.因为平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面. 由.得 解得，所以. 易错点32 误认为“两点之间线段最短”，直接连接两个点求长度 【典型例题】如图，在直三棱柱中，为棱上的一动点，则当最小时，的面积为 . 特别提醒：解决此类问题最常见的错误就是认为“两点之间线段最短”，直接连接两个点求长度，若问题改为“点沿着直三棱柱的表面到达，的中点"，则有多个不同的平面展开图，分别求值，再比较出其中最小的一个. 【解析】将直三棱柱，的侧面沿，展开，如图所示，连接，则与的交点即为，最小时的点. 在展开图中，，， 由易知 在直三棱柱中， 在中，， 故的面积 易错点33 误认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线和平面的夹角. 【典型例题】如图，在直三棱柱中，为的中点，点在上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，且三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 特别提醒：直线的方向向量与平面的法向量的夹角不一定是直线和平面的夹角.直线和平面的夹角为，直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 避错攻略十：直线和圆 易错点34 忽略对参数取值的检验致误 【典型例题】若直线与直线垂直，则的值为（ ） 特别提醒：本题考查根据直线一般式方程判断垂直关系，需要满足，求出参数值后，切记要对参数的取值进行检验，如本题，容易误认为也满足题设条件导致增解. 【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或. 当时，直线不存在，故舍去；当时，满足题意，故选. 【答案】 【变式练习】直线和直线垂直，则实数的值为（ ）. 特别提醒：当时，一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，两直线方程分别为与，符合题意.因而求解时，正确利用两直线的一般式方程垂直的判断方法，或者分类讨论.需要特别注意直线斜率不存在与直线斜率为0时的情况. 【解析】因为直线和直线垂直，所以，解得或.故选. 【答案】 易错点35 忽视对截距为0时情况的讨论而致错 【典型例题】过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 . 特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略. 【解析】当直线过原点时，设其方程为，因为直线过点，所以，解得，故直线方程为当直线不过原点时，设其方程为 （提示：已知直线在轴和轴上的截距为，，，则直线方程为），因为直线过点，所以，解得，即直线方程为，综上，直线方程为或. 【变式练习】过点作直线，满足在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）. 特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略. 【解析】若在两坐标轴上的截距都为零，则直线过，则直线方程为；若两坐标轴上的截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以满足在两坐标轴上截距相等的直线有2条.故选. 【答案】 易错点36 忽视圆的一般方程需要满足的条件而致错 【典型例题】已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 特别提醒：二元二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，满足，即圆的半径大于0. 【解析】圆的标准方程为，则，所以圆心为，半径为，由直线与圆相离，可知圆心到直线的距离，可得，即实数的取值范围为.故选. 【答案】 【变式练习】已知圆的方程是，则实数的取值范围是 ，若上恰有三个点到直线的距离为1，则实数= 特别提醒：二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，一方面可以通过配方确定，另一方面可以直接利用结论确定.而本题中由，也可得，最后所得的值需要符合这一条件. 【解析】由得，因为表示圆，所以，解得.因为圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离 又上恰有三个点到直线的距离为1，所以，解得 【答案】， 避错攻略十一：圆锥曲线 易错点37 求轨迹时忽视限制条件致错 【典型例题】已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）. 特别提醒：若设定点，，动点满足且，那么动点在椭圆上，因为，在椭圆上，而点不能与重合，因而轨迹中需要去掉，两点，方程中需要注明或，若忽视此点求解时就容易出错，特别是本题若不注意，则，，就会错选. 【解析】由题意可知，，整理可得，则，故由，得，所以，所以，故选. 【答案】 易错点38 对双曲线定义的理解不透彻致错 【典型例题】已知点，若，则点的轨迹为（ ）. 特别提醒：平面内动点到两定点，距离差的绝对值等于定值，若，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；若，则动点的轨迹是分别以为起点的两条射线；若无轨迹.特别地，若取消绝对值符号，则是双曲线一支或一条射线或无轨迹，因此解题时需要做出正确判断. 【解析】因为，，所以，因为，所以点的轨迹为一条射线.故选. 【答案】 【变式练习】已知的顶点.若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ） 特别提醒：（1）双曲线定义用集合语言可叙述为： 点集； （2）分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点，当时，表示双曲线的右支或下支；当时，表示双曲线的左支或上支. 【解析】如图， ，，，所以.根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），则，顶点的轨迹方程为.故选 【答案】 易错点39 忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 【典型例题】顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ） 特别提示：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况. 【解析】对于直线方程，令，得，令，得，所以抛物线的焦点为或 当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为 当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或 故选. 【答案】 【变式练习】已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为 特别提醒：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况. 【解析】已知抛物线的焦点在直线上，当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为. 当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为. 综上抛物线 C 的标准方程为 或 避错攻略十二：计数原理 易错点40 忽略部分均分问题造成重复致误 【典型例题】为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为（ ） 特别提醒：本题属于部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等，则分组时应除以，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数. 【解析】由题意可知，7名工作人员的分组方式有（1，1，5），（2，2，3），（3，3，1）三种情况， 把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有种； 把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有种； 把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有种， 综上，不同的安排方式种数为126+630+420=1176. 【答案】A 【变式练习】某校有5名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往观看，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数为（ ） 【解析】将5 名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有（种）分组方法. 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的两个组任意选，所以有（种）方案. 所以共有（种）方案. 【答案】C 易错点41 综合问题中情况考虑不全致误 【典型例题】校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当没有汽车相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有 种.（用数字作答） 特别提醒：由于本题里是3辆车有6个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当3辆车都不相邻时的情况要考虑周全，利用排列组合进行计算即可. 【解析】①当3辆车都不相邻时，有（种）； ②当2辆车相邻时，有（种）； ③当3辆车相邻时，有（种）. 则共有192 +288 +48 = 528（种）不同的停车方法. 易错点42 不能正确理解二项式系数的最值而致误 【典型例题】若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 特别提醒：二项式系数与展开式的系数不同，涉及二项式系数的最大值问题不仅要考虑二项式系数的特征，还要考虑中为奇数或偶数的特征.一般地，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大为；当为奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为和. 【解析】的展开式的通项为，因为展开式中第3项与第8项的系数相等，所以，所以，则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项. 【变式练习】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为 （用数字作答）. 【解析】因为只有第6项的二项式系数最大，所以，即，令，则，所以，所以二项式展开式的通项为，令，解得，则，即展开式中项的系数为. 【答案】45 避错攻略十三：概率与统计 易错点43 混淆互斥事件与对立事件致误 【典型例题】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A. “至少有1个红球” 与 “都是黑球” B. “恰好有1个红球” 与 “恰好有1个黑球” C. “至少有1个黑球” 与 “至少有1个红球” D. “都是红球” 与 “都是黑球” 【解析】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为1红 1黑、2红、2黑. 对于A，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合； 对于B，“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意； 对于C，“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D，“都是红球”与"都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意. 【变式练习】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有 A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立 C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立 特别提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，要区分它们主要看这两个互斥事件的发生是否“非此即彼”，若是，则是对立事件，若不是，则不是对立事件.简单来说即对立事件是指两个事件彼此互斥，但是在一次试验中必有一个发生的事件. 【解析】对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即 A与B 相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A 与 B不互斥，故A正确； 对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与 D 不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确. 对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与 D不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数为4，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误. 对于 D， 则，故A与C 相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确 【答案】ABD 易错点44 混淆互斥事件与相互独立事件致误 【典型例题】已知随机事件满足，则下列说法错误的是（ ） 特别提醒：两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，两个事件互斥是指两个事件不能同时发生，在解题时要结合实际情况分清两个事件的关系. 【解析】因为不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，故正确； 因为，，，所以，所以必然事件与事件相互独立，故正确； 因为，且，不会同时发生，所以，故正确； 例如，抛掷一枚骰子1次的试验，设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，则，故错误. 【答案】 易错点45 混淆正态分布中的方差与标准差致错 【典型例题】已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有 （附：若随机变量服从正态分布，则） A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% 特别提醒：正态分布中要特别注意，为方差，为标准差，此处极易混淆，导致计算结果出现错误. 【解析】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差，标准差，因为，，所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%. 所以A，B，D正确，C错误. 易错点46 混淆条件概率与积事件的概率致错 【典型例题】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） 特别提醒：解题时，先要正确理解并能区分条件概率和积事件的概率，表示事件A与B同时发生的概率，而表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可. 【解析】令=“每天玩手机时间超过1h的学生”，=“每天玩手机时间不超过1h的学生”，=“任意调查一名学生，此人近视”，则，且互斥，，，，. 依题意， ，解得，所以所求概率为 易错点47 对期望和方差的应用认识不到位致误 【典型例题】为研究某地区2022届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2022届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下： 毕业去向 继续学习 深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2022届大学毕业生选择的毕业去向相互独立. （1）若该地区一所高校2022届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2022届大学毕业生选择“单位就业”的人数. （2）从该地区2022届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望. （3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的 人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时，最小？（结论不要求证明） 特别提醒：期望反映了随机变量的平均取值水平，当期望相同时，并不意味着两个随机变量的取值没有差异，还需要通过对方差进行比较，确定其取值的稳定程度，再进行决策. 【解】（1）由题意得，该校2022届大学毕业生选择“单位就业”的人数为 （2）由题意得，样本中1000名毕业生选择"继续学习深造"的频率为用频率估计概率，从该地区2022届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为. 随机变量的所有可能取值为0,1,2,3. 所以，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3 （3）易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏知识 上海高考易错点清单（47个避错攻略）（干货必备） 目录 避错攻略一：集合与逻辑 1 避错攻略二：不等式 3 避错攻略三：函数及其性质 5 避错攻略四：导数及其应用 12 避错攻略五：三角函数 14 避错攻略六：平面向量 19 避错攻略七：复数 20 避错攻略八：数列 21 避错攻略九：立体几何 26 避错攻略十：直线和圆 33 避错攻略十一：圆锥曲线 35 避错攻略十二：计数原理 37 避错攻略十三：概率与统计 39 避错攻略一：集合与逻辑 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致误 【典型例题】已知，若，则的值为（ ） 【变式练习】已知,若集合，则（ ） 易错点2 忽视对空集的讨论而致误 【典型例题】 已知集合，.若，则实数的取值范围为（ ） 【变式练习】设集合 .若， 实数的取值范围为（ ） 易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误 【典型例题】已知，.若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 【变式练习】已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 避错攻略二：不等式 易错点4 忽略基本不等式成立的条件致误 【典型例题】若且，则下列结论中正确的是（ ） 【变式练习】已知 ，则的最小值为（ ） 易错点5 忽视二次项系数的分类讨论导致致误 【典型例题】已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为 。 【变式练习】“”是“关于的不等式恒成立”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 避错攻略三：函数及其性质 易错点6 对复合函数定义域的理解不透彻致误 【典型例题】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） 【变式练习】已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ） 易错点7 忽视函数定义域而致误 【典型例题】已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 . 【变式练习1】连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ） 【变式练习2】函数的零点个数为（ ） 易错点8 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误 【典型例题】已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） 【变式练习】已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 . 易错点9 对数型复合函数的定义域、值域、单调性理解不透彻致误 【典型例题】[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 【变式练习】若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 . 易错点10 函数的图象画的不准确而致误 【典型例题】已知函数 若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） 【变式练习1】若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） 【变式练习2】已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ） 避错攻略四：导数及其应用 易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 【典型例题】曲线过点的切线方程是（ ） 【变式练习】已知函数，则曲线经过点的切线方程是 . 易错点12 对极值点的含义理解不清 【典型例题】已知函数在处取得极值0，则（ ） 【变式练习】若是函数的极值点，则的值为（ ） 避错攻略五：三角函数 易错点13 忽视角的终边所在象限致误 【典型例题】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） 【变式练习】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为 . 易错点14 忽视角的范围致错 【典型例题】已知为第三象限角，则（ ） 【变式练习】已知，且，则的值为 . 易错点15 对三角函数的图像理解有误 【典型例题】已知函数，现将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ） 【变式练习】函数的图像向左平移个单位长度，所得到的图像与原函数的对称轴重合，则的最小值是（ ） 易错点16 误判区间端点处取值的取等情况致错 【典型例题】已知函数的图象经过点，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） 【变式练习】函数的最小值为 . 易错点17忽视自变量取值范围致误 【典型例题】[上海金山区2023一模]函数，的值域为 . 【变式练习】已知均为锐角，且满足，则（ ） 避错攻略六：平面向量 易错点18 对平面向量基本定理理解有误 【典型例题】如图所示，是圆上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是 . 易错点19 认为与的夹角为锐角（钝角）致错 【典型例题】已知向量，.若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ） 【变式练习】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 避错攻略七：复数 易错点20 复数的相关概念理解不清致误 【典型例题】在复平面内，复数对应的点分别是（2,-1），（0,5），则复数的虚部为（ ） 【变式练习】若，则的虚部为（ ） 易错点21忽视复数相等的条件致误 【典型例题】已知为虚数单位，若，则= . 【变式练习】已知复数满足条件，则（ ） 避错攻略八：数列 易错点22 忽视公式的适用条件而导致错误 【典型例题】已知数列，为的前项和，，则= . 【变式练习】已知数列的前项和为 ，且，，则（ ） 易错点23 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 【典型例题】在等差数列中，，与互为相反数，为的前 项和，，则的最小值是 . 易错点24 忽视对公比是否为1的讨论而致误 【典型例题】已知等比数列，首项为，公比为，前项和为.若数列是等比数列，则（ ） 易错点25 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 【典型例题】等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） 易错点26 未对的奇偶性进行讨论而致误. 【典型例题】在数列中，，.，记数列的前项和为，则 . 避错攻略九：立体几何 易错点27 不能确定棱锥的外接球球心致错 【典型例题】已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） 易错点28 忽视组合体重叠部分致误 【典型例题】每逢春节人们会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图①，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如图②，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图①，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆的直径为，若要用布料将灯笼全部包围，则所需布料的面积为（ ） 易错点29 空间点、线、面位置关系判断不清致误 【典型例题】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） 易错点30 关于线面平行问题的易错点总结 【典型例题】在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为线段的中点，底面， （1）作出平面与平面的交线，并证明； （2）求点到平面的距离. 易错点31 忽视两条直线相交的条件 【典型例题】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，是的中点，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求的值. 易错点32 误认为“两点之间线段最短”，直接连接两个点求长度 【典型例题】如图，在直三棱柱中，为棱上的一动点，则当最小时，的面积为 . 易错点33 误认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线和平面的夹角. 【典型例题】如图，在直三棱柱中，为的中点，点在上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，且三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 避错攻略十：直线和圆 易错点34 忽略对参数取值的检验致误 【典型例题】若直线与直线垂直，则的值为（ ） 【变式练习】直线和直线垂直，则实数的值为（ ）. 易错点35 忽视对截距为0时情况的讨论而致错 【典型例题】过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 . 【变式练习】过点作直线，满足在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）. 易错点36 忽视圆的一般方程需要满足的条件而致错 【典型例题】已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 【变式练习】已知圆的方程是，则实数的取值范围是 ，若上恰有三个点到直线的距离为1，则实数= 避错攻略十一：圆锥曲线 易错点37 求轨迹时忽视限制条件致错 【典型例题】已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）. 易错点38 对双曲线定义的理解不透彻致错 【典型例题】已知点，若，则点的轨迹为（ ）. 【变式练习】已知的顶点.若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ） 易错点39 忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 【典型例题】顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ） 【变式练习】已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为 避错攻略十二：计数原理 易错点40 忽略部分均分问题造成重复致误 【典型例题】为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为（ ） 【变式练习】某校有5名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往观看，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数为（ ） 易错点41 综合问题中情况考虑不全致误 【典型例题】校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当没有汽车相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有 种.（用数字作答） 易错点42 不能正确理解二项式系数的最值而致误 【典型例题】若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 【变式练习】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为 （用数字作答）. 避错攻略十三：概率与统计 易错点43 混淆互斥事件与对立事件致误 【典型例题】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A. “至少有1个红球” 与 “都是黑球” B. “恰好有1个红球” 与 “恰好有1个黑球” C. “至少有1个黑球” 与 “至少有1个红球” D. “都是红球” 与 “都是黑球” 【变式练习】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有 A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立 C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立 易错点44 混淆互斥事件与相互独立事件致误 【典型例题】已知随机事件满足，则下列说法错误的是（ ） 易错点45 混淆正态分布中的方差与标准差致错 【典型例题】已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有 （附：若随机变量服从正态分布，则） A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% 易错点46 混淆条件概率与积事件的概率致错 【典型例题】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） 易错点47 对期望和方差的应用认识不到位致误 【典型例题】为研究某地区2022届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2022届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下： 毕业去向 继续学习 深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2022届大学毕业生选择的毕业去向相互独立. （1）若该地区一所高校2022届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2022届大学毕业生选择“单位就业”的人数. （2）从该地区2022届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望. （3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的 人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时，最小？（结论不要求证明） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$