9.4 复数的三角形式（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

*9.4 复数的三角形式 题型一 复数的三角形式 1．复数的三角形式为 ． 2．复数的三角形式为 ． 3．将复数表示成三角形式是 ．（用辐角主值） 4．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 5．把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 复数三角形式的几何意义 6．规定：复数0的辐角的大小是 7．若复数（i为虚数单位），则 . 8．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 9．复数的辐角主值为 ． 10．复数的辐角主值是 . 11．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形式下复数的乘、除运算 12．计算的结果是 . 13．计算： ． 14．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 题型四 三角形式下复数的乘、除运算的应用 15．设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 16．已知复数，求复数的模和辐角主值. 题型五 三角形式下复数的乘方 17．计算：． 18．计算，并用复数的代数形式表示计算结果： ． 19．计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 20．计算： （1）； （2）； （3）. 题型六 三角形式下复数的综合应用（几何应用、平面向量等） 21．复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 23．设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 24．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 25．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为 26．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 一、填空题 1．方程在上解的个数为 ． 2．对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是 ． 二、单选题 3．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 三、解答题 5．已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 6．在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ *9.4 复数的三角形式 题型一 复数的三角形式 1．复数的三角形式为 ． 【答案】 【分析】求得所给复数的模及辐角主值，即可求得结果． 【解析】解：=. 故答案为：. 2．复数的三角形式为 ． 【答案】 【分析】直接写出复数的三角形式即可. 【解析】因为，所以z的三角形式可以写作. 故答案为：. 3．将复数表示成三角形式是 ．（用辐角主值） 【答案】 【分析】令且求出、，即可得结果. 【解析】令且， 则，故， 所以. 故答案为： 4．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解析】由题意得，故D正确. 故选：D 5．把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数三角形式的知识求得正确答案. 【解析】（1）. （2）. （3）. （4） . 题型二 复数三角形式的几何意义 6．规定：复数0的辐角的大小是 【答案】任意的 【分析】根据复数的辐角的特征得出结论. 【解析】对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的. 故答案为：任意的. 7．若复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用辐角的性质求解即可. 【解析】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为： 8．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 【答案】 【分析】根据复数的三角表示分析求解. 【解析】因为， 所以的辐角主值为. 故答案为：. 9．复数的辐角主值为 ． 【答案】 【分析】根据复数的三角形形式的概念即可求解. 【解析】因为，所以数的辐角主值为， 故答案为：. 10．复数的辐角主值是 . 【答案】190° 【分析】将复数的代数形式进行转化，利用辐角主值的含义求解即可． 【解析】解：复数， 所以复数的辐角主值是． 故答案为：190°. 11．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案. 【解析】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故； 又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于， 所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为， 如图可得，可得， 所以，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是. 故选：D. 题型三 三角形式下复数的乘、除运算 12．计算的结果是 . 【答案】 【分析】先将以及转化成复数的三角形式，利用复数三角形式的运算法则计算即可. 【解析】解：， 同理可得， 原式． 故答案为： 13．计算： ． 【答案】 【分析】根据复数相乘，辐角相加可得解. 【解析】. 故答案为：. 14．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解析】， 故选：C. 题型四 三角形式下复数的乘、除运算的应用 15．设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解． 【解析】解：， 因为， 所以，所以， 所以该复数的辐角主值为． 故选：B. 16．已知复数，求复数的模和辐角主值. 【答案】复数模为，辐角主值为. 【解析】将代入，再利用复数的运算化简，再求模和辐角主值. 【解析】， 的模为 对应的点在第四象限，且辐角的正切值所以辐角主值为． 综上所述所求复数模为，辐角主值为 【点睛】本题考查了复数的模的概念，复数的运算，属于基础题. 题型五 三角形式下复数的乘方 17．计算：． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【解析】因为 ． 18．计算，并用复数的代数形式表示计算结果： ． 【答案】 【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可. 【解析】 故答案为： 19．计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【解析】设， 所以 . 故选：D 20．计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据复数三角形式的乘方运算可求得结果； （2）将化为三角形式，利用复数三角形式的乘法运算可求得结果； （3）将化为三角形式，利用复数三角形式的除法运算可求得结果. 【解析】（1）； （2）， . （3）， . 题型六 三角形式下复数的综合应用（几何应用、平面向量等） 21．复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数三角形式，化简计算，结合题意，可得旋转后的复数，即可得答案. 【解析】，将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转， 可得. 故选：B 22．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【解析】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 23．设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【答案】 【分析】将复数改写成三角形式，再利用三角形式的复数乘法的几何意义即得. 【解析】复数的三角形式是， 依题意，向量对应的复数是: ． 24．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解析】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 25．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为 【答案】 【分析】将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值. 【解析】因为， 将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为， 则， 因为，所以，，所以，， 所以，，当时，取得最小值. 故答案为：. 26．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解. 【解析】由，得， 即，故，0，1，2，4，5， 因此集合. 当时，同理得， 此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个， 同理可知，时，也不满足题意，故ACD错； 当时，得： ， 当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确. 故选B. 一、填空题 1．方程在上解的个数为 ． 【答案】0 【分析】设，原方程化为，结合及复数模的性质求出，再代入方程检验. 【解析】设，则，所以，， 所以方程转化为， 则， 所以，又，则，代入方程，方程不成立， 所以方程的解的个数为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是设，从而将方程化为. 2．对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是 ． 【答案】10 【分析】利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得的取值范围，从而得到实数的最小可能值. 【解析】设，，， 由题设有. 又 ， ， 而， 所以， 而，当且仅当终边相同时等号成立， 故，所以， 故实数的最小可能值为10， 故答案为：10. 二、单选题 3．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【解析】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 4．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【解析】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 三、解答题 5．已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】(1) (2)以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析 (3) 【分析】（1）求得复数，可求辐角主值； （2）法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； （3）设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【解析】（1）的辐角主值为． （2）设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 （3）设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 6．在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 【答案】(1);; (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论. 【解析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故. （2）由可知，故， 设，则由得，即， 解得，故，故的重心为， 故. （3）由于，则， 则所对应的点都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，则为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$