专题10 二项式特定项及其系数-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题10 二项式特定项及其系数 高二数学专项强化与检测 专题10 二项式特定项及其系数 一、知识填空： 1．二项式定理 （1） ．这个公式称为二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫作的二项展开式，一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（其中，，）叫作二项式系数． （4）通项：展开式的第 项叫作二项展开式的通项，记作 ． 2．二项式系数的性质 性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数 ，即 增减性与最大值 当时，二项式系数是 当时，二项式系数是 当n为偶数时，中间 的二项式系数最大 当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大 二项式系数的和 自检自纠： 1．（1）（2）（3） （4） 2． 相等 递增的 递减的 一项 两项 二、专项训练： 题组一： 二项式展开式特定项及其系数 1. 的展开式中的第7项为（ ） A．3546 B．5437 C．4532 D．5376 【答案】D 【详解】，故选：D. 2．在的二项展开式中，第三项的系数为___________（用数值作答）. 【答案】60 【详解】由题意，故第三项的系数为60,故答案为：60 3．二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为．故选：D． 4.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（ ） （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 【详解】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A. 5．在的展开式中，的系数为（    ） A．8 B．10 C．80 D．160 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为，其中，当时，可得展开式中的系数为.故选：C 6．二项式的展开式中的系数是，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】可以看作8个因式的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中项需要从8个因式中取7个和1个相乘得到，所以由排列组合的知识有展开式中的系数，解得，故选：B. 7．在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 【答案】； 5 【详解】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项． 8．的展开式中常数项是________（用数字作答）． 【答案】240 【详解】二项式展开通项： 当，解得,的展开式中常数项是：. 9．（多选）若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AD 【详解】的展开式的通项为，由于的展开式中含有常数项，则有解，即，当时，成立；当时，成立；当时，不存在使得；当时，不存在使得． 故选：AD． 10．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的通项公式为 B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确；对于B，的通项：，各项的系数为：，二项式系数为：，两者相等，故B正确； 对于C，x的幂指数是整数，∵的通项：，∴，且，，解得共五项，故C正确；对于D，的通项：，∴，且，∴k无解，故D错误.故选：ABC. 题组二：结合二项式系数的性质的特定项问题 1．在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . 【答案】15 【详解】因为在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，所以，解得.故答案为：. 2．若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项，所以，，解得.故选：D. 3．的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______． 【答案】，10，11 【详解】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，　，解得或．故答案为：9，10，11． 4．已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，展开式中的系数为，故选：B 5．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】B 【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项．故选：B. 6．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；展开式的通项公式为：；则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项.故选：B. 7．（多选）已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（    ） A．为 B．所有项的二项式系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 【答案】CD 【详解】因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误；二项式所有项的二项式系数和为，故B错误；因为二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，故C正确；二项式展开式的通项为，令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确.故选：CD 8．（多选）已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（    ） A．2，n，10成等差数列 B．各项系数之和为64 C．展开式中二项式系数最大的项是第3项 D．展开式中第5项为常数项 【答案】ABD 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确； 令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 9．（多选）已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；对于C，因为的展开式通项为，令可得第4项的系数为，故C不正确；对于D，在选项C中的通项公式中，令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.故选：ABD. 10．（多选）设为正整数，展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．展开式中的常数项为15 D．展开式中的常数项为30 【答案】ABC 【详解】由题可知，，．因为，所以，解得，A正确；，B正确；展开式中的常数项为，C正确，D错误．故选：ABC． 题组三：两个二项式积的特定项及其系数 1.展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，于是得展开式中的二次为，所以展开式中含项的系数为9.故选：D 2．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 【答案】 【详解】的系数为.故答案为： 3．的展开式中的常数项是（    ） A．－112 B．－48 C．48 D．112 【答案】D 【详解】展开式的通项为．令，得，则；令，得，则；故的展开式中的常数项是．故选：D. 4．的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】65 【详解】由题意，的展开式的通项，令，得，得；令，得，得.故的展开式中，项的系数为.故答案为：65 5．展开式中的系数为（ ） A．-5 B．5 C．15 D．30 【答案】A 【详解】由二项式的通项公式为，当时，的系数为；当时，的系数为，可得展开式中项为，所以的系数为.故选A. 6. 展开式中的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【详解】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C. 7．在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示） 【答案】 【详解】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为． 8．的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为（且）,所以与展开式的乘积可表示为：或，在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为.所以的系数为. 9．的展开式中含项的系数为2，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【详解】的展开式中含项的系数为 即，∴，∴或.故选：AD 10．的展开式中的系数是 ． 【答案】126 【详解】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为：．故答案为：. 题组四：三项展开式的特定项及其系数 1．展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【详解】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为.,，则含的项的系数为. 当时，则，展开式为，，则含的项的系数为. 当时, 则,展开式为，，则含的项的系数为. 综上所述：含的项的系数为.故答案为： 2．的展开式中，项的系数为（    ） A．400 B．480 C．720 D．800 【答案】D 【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以的展开式通项为， 其中，，且、，令，可得或或，因此的展开式中的系数为.故选：D. 3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 【答案】D 【详解】由于，则其展开式的通项为，， 令，则，所以项的系数为．故选：D 4．在的展开式中，项的系数为（　　） A． B． C．30 D．50 【答案】B 【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为.故选:B． 5．在的展开式中，常数项是 ． 【答案】－252 【详解】∵2＝4，∴Tr＋1＝C4r x4－rr＝C4r(－1)rx4－2r，令4－2r＝0，解得r＝2，∴常数项为C42(－1)2＝6. 6．在的展开式中，项的系数为 ．(结果用数值表示) 【答案】180 【详解】，其通项为：，显然，项仅可能来自于，故令，得，则，的展开式的通项为，令，则，则项的系数为．故答案为：180． 7．在的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．15 C．120 D．30 【答案】A 【详解】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的4个括号中选出3个x，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为． 方法2：因为，所以其展开式的通项公式为，令，得展开式的通项公式为，再令，得，所以的系数为． 故选：A. 8．的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】的通项公式，令，则，所以的系数为，故选：B 9．（多选）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【详解】，得二项式的系数和为，故A正确；令得所有项的系数和为0，故B正确；常数项，故C正确；由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.故选：ABC 10．（多选）的展开式中不含的项的系数的绝对值的和为243，不含的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（    ） A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6 C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5 【答案】AD 【详解】∵的展开式中不含的项的系数的绝对值的和为243，不含的项的系数的绝对值的和为32.∴不含的项的系数的绝对值为，不含的项的系数的绝对值为， ∴，，∴将各选项的参数取值代入验证知AD正确.故选：AD. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是（ ） A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 【答案】D 【详解】第k项的二项式系数是，由于，所以与第k项二项式系数相同的项是第n－k＋2项.故选：D. 2．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【详解】根据二项式系数的对称性知，则，故选：C． 3．在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是 A．462 B．330 C．682 D．792 【答案】A 【详解】的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于，则中间项的二项式系数是.故选A 4．展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】令得，，展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为．故选：B． 5．的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．180 D．300 【答案】B 【详解】的展开式的通项为． 当为常数时，，解得，则； 当为常数时，，解得，则， 所以的展开式中常数项为．故选：B． 6．的展开式中，项的系数为（    ） A．400 B．480 C．720 D．800 【答案】D 【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以的展开式通项为， 其中，，且、，令，可得或或，因此的展开式中的系数为.故选：D. 7．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为 A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】∵二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴，又∵的通项为：，令，解得，又∵展开式中项的系数为，即，解得或（舍去）.故选B. 8．若的展开式中的系数为3，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】，而的展开式的通项公式为，故 的展开式中的系数为， 则，故选：C． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．的展开式中含项的系数为2，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【详解】的展开式中含项的系数为 即，∴，∴或.故选：AD 10．已知二项式的展开式，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项 B．常数项为第5项 C．展开式中含的项为 D．展开式中所有项的系数和为64 【答案】BC 【详解】由于，故二项式系数最大为，为第4项，故A错误，的展开式的通项为，令，解得，故常数项为第5项，B正确， 令，则，故含的项为，故C正确，在中，令，得，故D错误，故选：BC 11．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式的各项系数之和为1024 C．展开式中常数项为45 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【详解】因为的展开式中二项式系数之和为1024，所以，得，所以二项式展开式的通项公式为，对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为，所以A错误，对于B，因为的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B正确，对于C，令，解得，所以展开式中常数项为，所以C正确，对于D，令，解得，所以展开式中含项的系数为，所以D正确，故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( ) A．11       B．10       C．9       D．8 【答案】D 【详解】由题可知：的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项 所以.故选：D 13．的展开式中含项的系数是 （结果用数字表示）. 【答案】 【详解】展开式中含项的系数是.故答案为： 14．已知的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为 . 【答案】 【详解】的展开式的通项为，令，得（舍去）；令，得.故的展开式中的系数为，解得.令，得（舍去）；令，得.故的展开式中的常数项为.故答案为. 3.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答） 【答案】60. 【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为. 5. 的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】－56【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． 1.在的展开式中，的系数为（ ）． A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：. 8．在的展开式中，的系数是_________． 【答案】10 【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为． 6.展开式中的常数项为（ ） A．90 B．20 C．540 D．600 【答案】C 【详解】由二项式的展开式的通项为．当时，可得，所以展开式中的常数项为．故选：C 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$专题10 二项式特定项及其系数 高二数学专项强化与检测 专题10 二项式特定项及其系数 一、知识填空： 1．二项式定理 （1） ．这个公式称为二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫作的二项展开式，一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（其中，，）叫作二项式系数． （4）通项：展开式的第 项叫作二项展开式的通项，记作 ． 2．二项式系数的性质 性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数 ，即 增减性与最大值 当时，二项式系数是 当时，二项式系数是 当n为偶数时，中间 的二项式系数最大 当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大 二项式系数的和 自检自纠： 1．（1）（2）（3） （4） 2． 相等 递增的 递减的 一项 两项 二、专项训练： 题组一： 二项式展开式特定项及其系数 1. 的展开式中的第7项为（ ） A．3546 B．5437 C．4532 D．5376 2．在的二项展开式中，第三项的系数为___________（用数值作答）. 3．二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 4.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（ ） （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 5．在的展开式中，的系数为（    ） A．8 B．10 C．80 D．160 6．二项式的展开式中的系数是，则（ ） A． B．1 C． D． 7．在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 8．的展开式中常数项是________（用数字作答）． 9．（多选）若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的通项公式为 B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 题组二：结合二项式系数的性质的特定项问题 1．在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . 2．若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______． 4．已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 5．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 6．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（    ） A．为 B．所有项的二项式系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 8．（多选）已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（    ） A．2，n，10成等差数列 B．各项系数之和为64 C．展开式中二项式系数最大的项是第3项 D．展开式中第5项为常数项 9．（多选）已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 10．（多选）设为正整数，展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．展开式中的常数项为15 D．展开式中的常数项为30 题组三：两个二项式积的特定项及其系数 1.展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 3．的展开式中的常数项是（    ） A．－112 B．－48 C．48 D．112 4．的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答） 5．展开式中的系数为（ ） A．-5 B．5 C．15 D．30 6. 展开式中的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 7．在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示） 8．的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9．的展开式中含项的系数为2，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．的展开式中的系数是 ． 题组四：三项展开式的特定项及其系数 1．展开式中含的项的系数是 ． 2．的展开式中，项的系数为（    ） A．400 B．480 C．720 D．800 3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 4．在的展开式中，项的系数为（　　） A． B． C．30 D．50 5．在的展开式中，常数项是 ． 6．在的展开式中，项的系数为 ．(结果用数值表示) 7．在的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．15 C．120 D．30 8．的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．（多选）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 10．（多选）的展开式中不含的项的系数的绝对值的和为243，不含的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（    ） A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6 C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是（ ） A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 2．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 3．在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是 A．462 B．330 C．682 D．792 4．展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 5．的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．180 D．300 6．的展开式中，项的系数为（    ） A．400 B．480 C．720 D．800 7．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为 A．2 B．1 C． D． 8．若的展开式中的系数为3，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．的展开式中含项的系数为2，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．已知二项式的展开式，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项 B．常数项为第5项 C．展开式中含的项为 D．展开式中所有项的系数和为64 11．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式的各项系数之和为1024 C．展开式中常数项为45 D．展开式中含项的系数为45 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( ) A．11       B．10       C．9       D．8 13．的展开式中含项的系数是 （结果用数字表示）. 14．已知的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$