专题06 数列中的结构不良与新定义问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题06 数列中的结构不良与新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 数列结构不良】 2 【题型二 定义新概念】 4 【题型三 定义新运算】 5 【题型四 定义新性质】 6 【压轴能力测评（10题）】 7 一、数列中的结构不良问题 1、“结构不良问题”：题目所给的几个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 2、数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和． 3、常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 二、新定义问题的方法和技巧 1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 【题型一 数列结构不良】 一、解答题 1．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 3．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，是各项均为正数的等比数列，且． (1)若数列的公差为1，且，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，判断此时数列是否是递增数列，并说明理由；选________． (2)若，，成等比数列，数列的前n项和为，求数列的通项公式． 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【题型二 定义新概念】 一、解答题 1．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，若，且，则称为“数列”，设为“数列”，记的前项和为. (1)若，求，，的值； (2)若，求的值. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 3．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 4．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 5．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． (1)判断是否为“上界数列”，并说明理由； (2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； (3)若，数列的“上界临界值”为，证明：． 【题型三 定义新运算】 一、解答题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”． (1)若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； (2)已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若在一个有穷数列中每相邻两项之间插入这两项的积，得到一个新的数列，把它定义为数列的一次扩展.在数列扩展中，数列扩展的次数记为，第n次扩展后的新数列记为，其项数记为，所有项的积记为.例如：已知数列，经过第1次扩展后得到的新数列为，，，已知数列. (1)计算，； (2)求出通项，； (3)求出数列的前n项和. 4．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列． (1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明； (2)已知数列为“好”数列． ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证： 【题型四 定义新性质】 一、解答题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）对于无穷正项数列和如下的两条性质： ：存在实数，使得且，都有； ：且，都存在，使得. (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)设无穷正项数列同时满足性质和性质. ①若，，求的取值范围； ②若（，），且数列满足任意，，则称为数列的一个子数列.求证：存在的子数列为等比数列. 3．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； (2)已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值. 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 4．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设数列为等差数列，其前项和为，__________．数列为等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选多个条件解答，则按第一个解答计分． 5．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； (3)若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 6．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”； (2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 7．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）由9个不同的实数，，…，构成一个数表，若A中每行3个数之和、每列3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称A为一个3阶幻方，这个和称为幻和．例如就是一个3阶幻方，幻和为15． (1)设A是一个3阶幻方，证明： （i）； （ii）是，，…，的中位数； (2)将正整数1，2，…，9填入数表A中构成一个幻方， （i）证明：是偶数； （ii）求的概率； (3)若，，…，的某种排列，，…，满足：，，；，，；，，构成3个公差相等的等差数列，且，则称，，…，满足性质P．证明：A是一个3阶幻方当且仅当，，…，满足性质P． 8．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答. 已知数列的前项和为，满足__________，__________，正项等差数列满足，且、、成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值.（参考数据：，，，） 9．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 10．（24-25高二上·福建三明·期末）设有穷数列A：，，…，的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0－2数列”：①；②． (1)若2025阶“0－2数列”A：，，…，是递减的等差数列，求； (2)若阶“0－2数列”A：，，…，是等比数列，求A的通项公式（，用n，k表示）； (3)设n阶“0－2数列”A：，，…，的前m项和为，若，使得，证明：数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列中的结构不良与新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 数列结构不良】 2 【题型二 定义新概念】 10 【题型三 定义新运算】 15 【题型四 定义新性质】 21 【压轴能力测评（10题）】 25 一、数列中的结构不良问题 1、“结构不良问题”：题目所给的几个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 2、数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和． 3、常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 二、新定义问题的方法和技巧 1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 【题型一 数列结构不良】 一、解答题 1．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）数列根据可算公比及通项；选①则可根据和的关系求通项；选②条件不足，无法确定；选③根据首项和公差可求通项； （2）利用分组求和，求等差和等比数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公比为，则，得， 则； 选①：时，，又因满足上式，故， 当时，，则，又满足上述，故. 选②：已知，无法确定数列. 选③：可知数列是以为首项，为公差的等差数列，则 （2），则 ， 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对① ，② ，③进行等差数列基本量代入化简，再分别考虑①②，①③，②③三种情形联立求得数列通项公式； （2）利用累加法求得，再对进行裂项求和后，根据数列的单调性即可证明. 【详解】（1）由条件①得，因为成等比数列，则， 即，又，则， 由条件②得，即， 由条件③得，可得，即. 若选①②，则有，可得，则； 若选①③，则，则； 若选②③，则，可得，所以. （2）由，且， 当时，则有 又也满足，故对任意的，有， 则， 所以,， 由于对于单调递增，所以， 综上：. 3．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）对于不等式（），分离常数后构造新数列，先判断数列的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 所以 ，又，所以. （2）由（1）知， 则① ② 两式相减得： ， 所以. （3）由，得，， 化简得，. 设，，则，， 因为，所以，又，所以，. 故， 因为，所以，则，， 则，所以数列为递增数列. 又因为， ， 因此，使得不等式（）成立的最小整数为9. 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解；若选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出，即可得公比，从而可得答案；若选③：由，将已知再写一式，然后两式相减可得，最后根据等比数列的定义即可求解； （2）由（1）得，则，方法一：由复合函数单调性可得，当或时，最大，计算可得的最大值；方法二：由，，与1比较大小，即可求得的最大值. 【详解】（1）若选①：因为数列是等比数列， 设公比为，且成等差数列， 所以， 解得， 所以. 若选②：因为数列是递增的等比数列，， 所以，所以， 所以. 若选③：因为，所以， 两式相减可得，即，又时，， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）方法一：， ， 又， 由复合函数单调性可知， 当时，单调递增；当时，单调递减； 又，所以当或时，最大，. 方法二：， ， 所以，， 当，即时，， 当，即时，， 又，所以当或时，最大，. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，是各项均为正数的等比数列，且． (1)若数列的公差为1，且，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，判断此时数列是否是递增数列，并说明理由；选________． (2)若，，成等比数列，数列的前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】(1)①②，详细答案见解析 (2) 【分析】(1)由等差数列通项公式求得，进而可得或的值，由等比数列通项公式求得公比q后，可得，由与1比较大小或与0比较大小可得结论； (2) 若，，成等比数列，利用可求得公差d，利用与的关系，可求得，由此可得到 【详解】（1）因为是公差为1，首项为1的等差数列， 所以．设的公比为q， 若选①，由，得，，， ，，则， 所以是递增数列； 若选②，由，得，，，， 则，所以是递增数列； 若选③，由，得，， ，，， 则， 所以不是递增数列； 故选：①② （2）因为，，成等比数列，故， 即，解得， 因此公差，． 数列的前n项和为，； 当时，，也适合，因此． 所以． 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)数列和的通项公式分别为， (2)选①，；选②，；选③ (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）选①利用错位相减法可求；选②，利用裂项相消法可求；选③，利用分组求和法可求； （3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即可. 【详解】（1）在等差数列中，，又，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，所以， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）选①，由（1）可得， 所以， 所以 所以， 两式相减得 所以； 选②， 则， 所以 所以； 选③， 则， . （3）依题意，数列：， 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以. 【题型二 定义新概念】 一、解答题 1．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，若，且，则称为“数列”，设为“数列”，记的前项和为. (1)若，求，，的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据递推公式列出数列中的项，找规律，发现周期性即可得到答案； （2）根据题意对的奇偶分情况讨论即可得到答案. 【详解】（1）当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，， 即数列从第四项开始每三项是一个周期， 所以， ，所以， ，所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，符合题意. ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上①②，可得. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意，利用作差法从及反例，可得答案； （2）由等差数列的通项公式与求差公式，利用作差法以二次函数性质，可得答案. 【详解】（1）由，则数列是“数列”， 由，当时，，则数列不是“数列”. （2）设等差数列的公差为，则， 由数列是“数列”，则， ， 恒成立，即恒成立， 令， 当时，即，二次函数开口向下，对称轴为直线， 易知函数在上单调递减，则数列无最小值，不符合题意； 当时，即，，当时，，符合题意； 当时，即，二次函数开口向上，对称轴为直线， 易知函数在上单调递增，则，符合题意. 综上所述，公差d的取值范围为. 3．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以. （2）在区间内的偶数为，则． 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3）依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 4．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，公差为 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【详解】（1）由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． （2）设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. （3）∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 5．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． (1)判断是否为“上界数列”，并说明理由； (2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； (3)若，数列的“上界临界值”为，证明：． 【答案】(1)不是“上界数列”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用的关系先求通项，再根据新定义确定即可； （2）利用裂项相消法求和得，再利用数列的单调性结合新定义计算即可； （3）利用放缩法将，结合等比数列求和公式得，根据新定义证明即可. 【详解】（1）当时，，作差得， 因为，所以， 又当时，，所以， 即是以1为首项，1为公差的等差数列，， 由于数列是无限递增的，显然不存在常数满足， 所以不是“上界数列”； （2）由上可知， 所以， 因为，所以单调递增，且， 所以， 所以数列的“上界临界值”； （3）易知， 所以， 显然单调递增，且，n越大，该数值越接近0，故， 由于上述不等式取不得等号，所以数列的“上界临界值”. 【点睛】思路点睛：准确理解新定义的概念，利用等比数列的求和公式、错位相减法或裂项相消法，证明数列不等式常用到放缩法，注意精度即可. 【题型三 定义新运算】 一、解答题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”． (1)若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； (2)已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式． 【答案】(1)为“优美数列”，理由见解析 (2) 【分析】（1）由可得数列是“优美数列”．由可得是“优美数列”． （2）根据数列是“优美数列”证明是等比数列再写出通项公式． 【详解】（1）， ∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为1，2． ∵，， ∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为2，0． （2）数列是“优美数列” ， ∴存在实常数、，使得对于任意都成立， 则对于任意都成立， ∴对于任意都成立， 又 ∵，且， 则有对于任意都成立， 即对于任意都成立， 因此； 此时，，且，所以是等比数列， 又∵，∴. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②16 【分析】（1）由题意，配方得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）①求出，然后利用错位相减法求和即可； ②将原不等式恒成立转化为恒成立，分离参数恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； （2）①由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ； ②恒成立， 恒成立， 恒成立，恒成立， 又，当且仅当时，取到等号， ，即. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若在一个有穷数列中每相邻两项之间插入这两项的积，得到一个新的数列，把它定义为数列的一次扩展.在数列扩展中，数列扩展的次数记为，第n次扩展后的新数列记为，其项数记为，所有项的积记为.例如：已知数列，经过第1次扩展后得到的新数列为，，，已知数列. (1)计算，； (2)求出通项，； (3)求出数列的前n项和. 【答案】(1)，. (2)，. (3). 【分析】（1）根据数列扩展的概念可得，. （2）构造递推公式，根据递推公式求数列的通项公式. （3）利用错位相减求和法求和. 【详解】（1）因为， 所以，所以，； ，所以，. （2）由数列扩展的定义可知，数列的每一次扩展就是在原数列相邻两线中间插入这两项的积， 所以第次扩展就会在第次扩展的基础上增减项， 即， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以. 设第次扩张后数列的各项为：，则， 所以. 所以. 由，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. （3）因为. 设 则， 两式相减得：. 所以. 所以. 4．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列． (1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明； (2)已知数列为“好”数列． ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证： 【答案】(1)数列是“好”数列；数列不是“好”数列，证明见解析 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）直接根据新定义验证； （2）取，得出，化简为，利用（）相减得出，再写一次（用代后相减得出，再验证时也成立，从而得出是等差数列，①由已知求得公差，根据是正整数，求得结论；②利用等比数列的性质求得，把用表示，并结合是正整数可证明结论成立． 【详解】（1），则，所以， 而， 所以，对任意的均成立，即数列是“好”数列； ，取，则，， 此时，即数列不是“好”数列． （2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立． 当，有，两式相减，得， 即，所以， 所以，即， 即， 当时，有，即， 所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列． 设数列的公差为， 若，则，即， 因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，，所以 若，则，由成等比数列，得， 所以，即， 化简得，，即 因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设， 由于是任意给定正整数，所以 【点睛】方法点睛：本题考查数列新定义问题，解题关键是灵活运用新定义进行转化，第（2）小题中求数列通项公式，对新定义中，直接取，得出，然后利用相减得出数列的递推关系，从而证明是等差数列，题设转化为等差数列的问题进行求解． 【题型四 定义新性质】 一、解答题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)具有，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）对于无穷正项数列和如下的两条性质： ：存在实数，使得且，都有； ：且，都存在，使得. (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)设无穷正项数列同时满足性质和性质. ①若，，求的取值范围； ②若（，），且数列满足任意，，则称为数列的一个子数列.求证：存在的子数列为等比数列. 【答案】(1)满足，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义，可知存在，使得且，都有，可得结论； （2）①由数列是单调递增数列，得出对应不等式，即可解得的取值范围； ②易知，记，再结合等比数列定义即可证明得出结论. 【详解】（1）数列满足性质. 且，，因为，所以， 又因为，所以， 因此，存在，使得且，都有， 故满足性质.（注：取之间的任意实数都可以.） （2）①因为数列满足性质，所以是单调递增数列， 又因为数列满足性质，所以存在，使得. 而，因此，，又由，得， 由，得，故的取值范围是. ②由无穷正项数列满足性质，可知单调递增，设， 令，，由性质，存在，使得， 同理，存在，使得，…， 以此类推，当时，存在， 使得，由数列单调递增，可知. 记，则，因为，所以数列是等比数列， 故存在的子数列为等比数列，得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解性质和，再结合等比数列通项以及其性质，即可得出相应结论. 3．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； (2)已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 【答案】(1)数列，数列不是； (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据T数列的定义分别验证条件①②即可判断数是否为T数列. （2）（ⅰ）利用T数列的定义依次求出8项即可；（ⅱ）利用反证法假设存在，使得，分别根据条件①②验证假设，即可得结论. 【详解】（1）对于数列A，，，，即数列A满足性质①， 又，，，，，即数列A满足性质②， 所以数列A是T数列； 对于数列B，，，且对任意的正整数， 有，即数列B不满足性质②， 所以数列B不是T数列. （2）（ⅰ）对任意的，由性质①，，由性质②，， 当时，，而为正整数，则， 当时，，而为正整数，则，由（1）知，符合题意， 或，此时，满足性质②，符合题意； 当时，，为正整数， 若，则或或， 当时，，符合题意； 当时，，对任意的正整数， 有，不满足性质②； 当时，由（1）知，符合题意， 若，则或， 当时，由（1）知，不符合题意； 当时，，满足性质②， 因此数列前6项为：；；， 当时，，为正整数， 若，则，满足性质②，或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②， 所以，所有的数列为：；；； ；. （ⅱ）假设存在，使得， 由性质①，可得， 由性质②，存在正整数，使得， 由，得，则，， 而，矛盾， 所以与不能同时成立. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)选择见详解， (2)证明见详解 【分析】(1)选①，利用进行求解，选②，利用进行求解； (2)利用裂项相消法即可求出，进而判断范围. 【详解】（1）选①：， 当时，， ，即， 又时，得，则， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 选②：， 时， ，， 又时，，满足上式， ； （2）由(1)知，，， 设，则，则， 又， ，                                                  综上：. 2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)64. 【分析】（1）利用“速增数列”的定义判断说明即可； （2）根据新定义有，，，，，累加可得，再结合已知求参数最大值. 【详解】（1）是“速增数列”，理由如下： 数列对，有， 所以，即， 所以数列是“速增数列”. （2）由数列为“速增数列”， ，，， 所以，对有，且， 所以，，，， 累加得， 所以，又，则， 由，，故正整数的最大值为64. 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 【答案】(1)数列不是“型数列”，理由见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用“型数列”定义判断即可； （2）①由已知可得，可得结论； ②因为数列不是“型数列”，可得，进而，可得趋近于，即可得，可求，可求数列的通项公式. 【详解】（1） 不满足“型数列”定义，数列不是“型数列”； （2）①∵正项数列为“型数列”， ∴数列为递增数列 ②设数列的公比为，， 又因为数列不是“型数列”，可得 可得，即得； 又数列为“型数列”，可得； 由①知为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得； 综上可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公比为的等比数列； 即可得，可得； 所以数列的通项公式为. 4．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设数列为等差数列，其前项和为，__________．数列为等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选多个条件解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列为等差数列的特点，结合已知条件，求出数列中的基本量，确定数列的通项公式； （2）根据（1）中结论求出表达式，根据已知条件求出通项公式，用分组求和与裂项相消法求即可. 【详解】（1）选条件① 依题意得，当时，，解得，又， 即，解得，又数列为等差数列，设公差为， 则，所以 验证：当时，与条件相符， 综上所述，所以； 选条件② 设等差数列的公差为，因为且所以有 ，整理有，解得 所以，所以 选条件③ 设等差数列的公差为，由，则有，即， 故，所以，又因为， 即，解得，所以 验证：当时，， 所以符合已知条件，综上所述，所以. （2）由（1）有，又因为为等比数列， 设公比为，且，，所以，所以， 所以， 故 5．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； (3)若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解；（3）结合已知递推关系及等差数列的求和公式先求出，然后结合组合数公式即可求解. 【详解】（1）， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2）由题意是“一阶等差数列”，又首项为1，公差为3. 满足上式，. “二阶等差数列”的通项公式为. （3）是“三阶等差数列”，是“二阶等差数列”， 设是“一阶等差数列”. 由题意得， ， . 满足上式，. . 满足上式，. . 6．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”； (2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解通项，根据指数运算即可求证， （2）根据对勾函数的单调性即可求解最值， （3）根据等比数列的通项特征，即可通过验证是否满足，逐一求解即可. 【详解】（1）由，可得，． 解得或（舍去）， 故. 因为中存在，即，所以存在，所以具有性质P （2），，， 因为对任意正整数成立，所以. 令 ，， 由于函数在单调递增，故.所以 （3）从、、、这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，；，; ，; ，; ，. ①对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1. 下面说明此数列具有性质P： =，=，任取，，则， 为正整数，因此此数列具有性质P， ②对于，.因为为正整数， 认为是等比数列中的项，， 首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P： ，， 若不为等比数列中的项， 因此此数列不具有性质P， 同理可得，；，；，；，每组所在等比数列不具有“性质P 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 含参的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 7．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）由9个不同的实数，，…，构成一个数表，若A中每行3个数之和、每列3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称A为一个3阶幻方，这个和称为幻和．例如就是一个3阶幻方，幻和为15． (1)设A是一个3阶幻方，证明： （i）； （ii）是，，…，的中位数； (2)将正整数1，2，…，9填入数表A中构成一个幻方， （i）证明：是偶数； （ii）求的概率； (3)若，，…，的某种排列，，…，满足：，，；，，；，，构成3个公差相等的等差数列，且，则称，，…，满足性质P．证明：A是一个3阶幻方当且仅当，，…，满足性质P． 【答案】(1) 证明见详解 (2) 证明见详解 (3) 证明见详解 【分析】小问1，可以利用做差直接得到结论；小问2，利用奇偶性和反证法进行判断，根据古典概型求出概率；小问3，根据题目给出信息证明即可. 【详解】（1）根据条件中对于幻和的定义，第一行加第三行减去两条对角线可表示为： 化简可得，再代入到第二列中，可得：.得证. 分别对第二行，第二列和两条对角线应用以上结论，可得，，， 综上可知必有个数小于，有个数大于，即是这个数的中位数. （2）(i)证明：假设是奇数，由小问1已证结论，幻和为是奇数，且，则必为奇数， 如此则每一行每一列当中都有奇数，对于任意一行/列而言，要么三个都是奇数，要么只能有一个奇数， 如此则幻方当中奇数的数量只能是个或者个，与已知个奇数矛盾，故不可能是奇数.得证. (ii)一共只有四个偶数，且每个偶数在位置的可能性相同.故 （3）不妨设，，，各个等差数列的公差均为. 若是幻方，则已知，所有项的和为 按照的方式求和，所有项和为. ,得，即，， 即，具有性质 若已知具有性质，可按照进行排列，验证其三行，三列和两条对角线的和均等于. 即是一个三阶幻方. 综上，可证是三阶幻方当且仅当满足性质. 8．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答. 已知数列的前项和为，满足__________，__________，正项等差数列满足，且、、成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值.（参考数据：，，，） 【答案】(1)条件选择见解析，答案见解析 (2) 【分析】（1）选①②或②③，由与的关系推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式，设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； 选①③，由上可知，无解； （2）利用错位相减法求出，由所求不等式变形为，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出整数的最小值. 【详解】（1）选择①②，当时，由得，两式相减得， 即. 又，即，即，解得，则， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. 设等差数列的公差为，则， 因为，且、、成等比数列，所以，， 即，解得或（舍去）， 所以，. 选择②③，当时，由得， 两式相减，得，可得. 又，则， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. 选择①③，由上可知，由于无法确定的值，故数列的通项公式无法求出. （2）由（1），， 所以，， ， 两式相减，得， 化简得. 若对任意的，满足， 即对任意的，恒成立， 可得对任意的桓成立. 则. 令， 因为 ，且， 当时，，此时数列单调递增， 当时，，此时数列单调递减， 则的最大值为， 所以整数的最小值为. 9．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解； （2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可； （3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】（1）依题意，若，此时； 若，此时； 若，此时. （2）必要性：因为，故数列为等差数列， 所以，公差为-1， 所以； 充分性：由于， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以， 所以， 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，依题意，， 因为， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时，比如或，时，有； 当时，比如或，时，有； 当或时，不能被4整除，. 【点睛】关键点点睛：想要完美的做出此题，关键在于对数列的新性质以及的定义有深刻的理解，由此即可顺利得解. 10．（24-25高二上·福建三明·期末）设有穷数列A：，，…，的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0－2数列”：①；②． (1)若2025阶“0－2数列”A：，，…，是递减的等差数列，求； (2)若阶“0－2数列”A：，，…，是等比数列，求A的通项公式（，用n，k表示）； (3)设n阶“0－2数列”A：，，…，的前m项和为，若，使得，证明：数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式，结合2025阶“数列的定义求解即可； （2）讨论和，由等比数列的通项公式和前n项和公式，结合阶“数列的定义求解即可； （3）假设数列B：，，…，为n阶“0－2数列”为阶，则，设数列B：，，…，的前i项和为，则，所以，进而得出，结合n阶“0－2数列”的定义与性质②不能同时成立，即可得证. 【详解】（1）设等差数列A的公差为d，， 由①得，即， 所以，所以， 则，， 又，，且，所以， 所以，解得， 由，得． （2）设数列A的公比为q， 当时，由①知，则，不符合题意，所以， 由①得， 因为，，所以， 由②可知，则或， 故数列A的通项公式为或． （3）证明：由数列A为n阶“0－2数列”可知， 所有非正项的和为，所有正项的和为1，所以， 若，使得， 由上可知，，…，，，，…，， 且． 假设数列B：，，…，为n阶“0－2数列”，则， 设数列B：，，…，的前i项和为，则， 所以， 又，所以．则，． 所以， 又，所以，，…，， ， 与性质②不能同时成立， 故数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$