专题04 数列中奇偶项及插入项或数构成新数列问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题04 数列中奇偶项及插入项或数构成新数列问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 等差、等比数列奇偶项和的性质】 2 【题型二 含奇偶项的数列求和问题】 4 【题型三 插入数或项构成新数列问题】 11 【压轴能力测评（12题）】 18 一、等差、等比数列奇偶项和的性质 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 二、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三、插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 【题型一 等差、等比数列奇偶项和的性质】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 2．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 3．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 4．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 【题型二 含奇偶项的数列求和问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）采用分组求和法求数列的前项的和. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知：. 所以， 所以. 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列建立等量关系，在由等差数列中项的关系，求出公差即可写出等差数列通项公式； （2）写出数列的通项公式，讨论的不同取值时，的值，从而写出数列的前2025项的和，根据周期性分组求和. 【详解】（1）设数列公差为， 由题意可知，即， ∴，则，解得， ∴. （2）， 当为偶数时，为奇数，则，即， 当时，， 当为偶数时，，当为奇数时，， 设数列的前项和为， 则， . 3．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式； （2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 4．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式列方程组计算可得结果. （2）分离参数得，分析数列的单调性可得结果. （3）计算为偶数或奇数时的值可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，， ∴，解得或， ∵，∴，故． （2）∵对任意正整数恒成立， ∴对任意正整数恒成立. 令，则， ∵， ∴，即数列单调递减， ∴，故，即的最小值为． （3）由，得， ∴， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上得，. 6．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 7．（24-25高二上·山东聊城·期中）数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知. (1)求； (2)设，证明：数列为等比数列，并求； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，，. (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可证明，结合的通项公式，分别讨论为奇数以及为偶数的情况，即可得到结果； （3）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，且， 则，即，解得， 又，即，解得， 又，即，解得， 所以，，. （2）因为，则， 且，即，所以， 即，又，则， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 所以①，， 则②，， 两式相减可得， 即的奇数项为等差数列，且， 令，则，所以（为奇数）， 又③， 由③①可得，， 所以的偶数项为等差数列，且， 令，则，即， 综上所述，. （3）因为，当为奇数时，， 当为偶数时，， 综上，， 则， ， 两式相减可得， ， ， ， ，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键在于，分类讨论为奇数与偶数两种情况，从而得解. 【题型三 插入数或项构成新数列问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可； （2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解． 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可； （ⅱ）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． （2）（ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得； （3）对在新数列中的位置分析，求得在新数列中为第项，然后对分组求和，得, 赋值即可求得的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 5．（24-25高二上·河北承德·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）由新定义即可求解. （2）通过定义得到经第次扩充后增加的项数为，由求得，再设第次扩充后数列的各项为，再构造等比数列求得. （3）由错位相减法及等差数列求和公式即可求解； 【详解】（1）依题意，由，得，，； 则，，； ，，. （2）由数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项，得经第次扩充后增加的项数为， 则，即，而， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，， 所以； 设第次扩充后数列的各项为，则， 由每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 得 ，则， 而，，因此是首项为3，公比为3的等比数列，所以. （3）由（2）知，， 则 ， 令，则， 两式相减得， 因此， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问：设经第次扩充后增加的项数为，得到. 6．（24-25高二上·天津·期末）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 【答案】(1)，； (2) (3)2583 【分析】（1）根据，，由求得的通项公式，由，得到数列为等比数列求解. （2）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）解：依题意，，，即，解得. 所以等差数列的通项公式， 所以，， 又因为，所以数列为等比数列， 所以，解得或（舍去）， 所以； （2）由已知，即， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以， ， 当为偶数时，， 所以. ； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 【压轴能力测评】 一、填空题 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 3．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 5．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 【答案】3 【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可. 【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为, 故有 , 两式相减, 因为, 故, 故. 故答案为:3 二、解答题 6．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求. 【详解】（1）因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； （3）由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故. 8．（24-25高二上·湖北·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据错位相减法，结合等比数列的求和即可得解， （3）根据等差数列的性质可得，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， （2）因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， （3）由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 9．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 【答案】(1) (2). (3)4 【分析】（1）利用以及构造等比数列的方法来求得. （2）利用累乘法来求得. （3）先求得中分别的项，然后利用分组求和法来求得正确答案. 【详解】（1）由已知可得，当时，，， 两式相减得.又因为，所以，满足上式， 所以.又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）又因为，所以，所以. 又，所以当时，，，，，， 等式两边同时相乘，可得， 所以. （3）设在100项中，来自数列中的有m项.若第100项来自， 则应有，整理可得， 该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自于，则应有，整理可得. 当时，有，不满足题意，， 故，所以数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项， 所以 . 故. 【点睛】易错点睛： 在利用与的关系求时，要注意的条件，并且一定要验证时是否满足所得递推式,构造新数列时要准确计算出新数列的首项和公比. 累乘法中要注意各项的分子分母约分情况，确保化简结果正确，同时不要遗漏的取值范围. 判断新数列中来自原数列的项数时，建立的方程和不等式要准确反映新数列的构成规律，计算项数时要细心，分组求和时要正确运用等差、等比数列求和公式，防止计算错误，求对数的整数部分时要准确计算对数的值. 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意可得，可知等比数列，结合等比数列通项公式可得，可知是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，分类讨论的奇偶性，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，则， 且，可知，可得， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得， 且，可知是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，即. （2）由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列. 当为偶数，； 当为奇数，； 综上所述：. 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果； （3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 12．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列中奇偶项及插入项或数构成新数列问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 等差、等比数列奇偶项和的性质】 2 【题型二 含奇偶项的数列求和问题】 3 【题型三 插入数或项构成新数列问题】 4 【压轴能力测评（12题）】 6 一、等差、等比数列奇偶项和的性质 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 二、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三、插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 【题型一 等差、等比数列奇偶项和的性质】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 3．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二 含奇偶项的数列求和问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 3．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 6．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 7．（24-25高二上·山东聊城·期中）数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知. (1)求； (2)设，证明：数列为等比数列，并求； (3)设，求数列的前项和. 【题型三 插入数或项构成新数列问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 5．（24-25高二上·河北承德·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 6．（24-25高二上·天津·期末）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 【压轴能力测评】 一、填空题 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 3．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 5．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 二、解答题 6．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 8．（24-25高二上·湖北·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 12．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$