精品解析：河南省实验中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

2024-2025（下）期中考试 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式，解题的关键是正确理解不等式的定义，本题属于基础题型．根据题意列出不等式即可求出答案． 【详解】解：最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于， 观影角度应满足的不等关系为， 故选：C 3. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质，两边同时加上或者减去相同数，或者两边同时乘以相同正数，不等号不变，不等式两边同时乘以相同负数，不等号要发生改变逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式基本性质，掌握不等式基本性质是解题关键． 4. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 如果，那么． B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角． C. 如果的三边长为，那么． D. 到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条垂直平分线的交点． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，对顶角，勾股定理，垂直平分线的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．如果，那么或，故本选项的命题是假命题； B．两个角相等，它们不一定是对顶角，故本选项的命题是假命题； C．如果的三边长为，三边不一定存在，故本选项的命题是假命题； D．到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条垂直平分线的交点，故本选项的命题是真命题． 故选：D 6. 如图，平移到的位置，则下列说法：①，；②；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】与、与、与对应点， ，；①正确； 与是对应角， ，②错误； 平移的方向是点到点的方向；③正确； 平移距离为线段的长，④错误． 正确的说法为①③， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键． 7. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得．本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵点在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（ ） A. 不能确定 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点P，， ∴，， ∴， ∴的周长为：， ∵， ∴的周长为， 故选：D． 9. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个解集为的不等式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质，即可解答； 【详解】解： ； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据向下平移2个单位，再向左平移3个单位，即纵坐标减去2，横坐标减去3，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位， 则移动后的点的坐标是， 故答案为： 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为______________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为_______． 【答案】（1）； （2）； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：                （4） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据解集的表示方法即可作图； （4）找到其公共解集即可求解． 【详解】解：（1）解 ∴ 故答案为： ； （1）解 ∴ 故答案为：； （3） 略 （4）由数轴可知不等式组的解集为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 17. 若不等式组的解集为-1<x<1，求(a+1)(b-1)的值． 【答案】－6 【解析】 【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3＜x＜，然后再根据已知解集是-1＜x＜1，对应得到相等关系2b+3=-1，=1，求出a，b的值再代入所求代数式中即可求解． 【详解】解：解不等式组 可得解集为2b+3＜x＜ 因为不等式组的解集为-1＜x＜1，所以2b+3=-1，=1， 解得a=1，b=-2代入（a+1）（b-1）=2×（-3）=-6． 故答案为-6． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 19. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 的高线，如图即为所求： （2） 证明： ． 是的平分线，， ， 在和中． ， ， ． ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点D作的垂线即可； （2）由角平分线的性质得，证明得，再证明即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】（1）某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 （2），，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 【小问2详解】 解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． （3）若是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）根据函数图象写出一次函数在的上方的自变量取值范围，即可求解． （3）设点，则，据此即可求解； 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵两直线交点， 根据图象，的解集为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵、 ∴ 设点，又 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 22. 【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则． 小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： （1）填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； （2）根据小智的方案，证明：； （3）工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 【答案】（1）勾股定理的逆定理 （2） 证明：∵为的中点， ∴， 由旋转得， ∴, ∴和为等腰三角形， ∴， 又， ∴ ∴ ∴； （3） 如图， 将工具绳置于处， 1.先以P点为圆心，为半径画一个圆 ， 2.再以Q点为圆心，为半径画一个圆 ， 3.两圆会有两个交点，用直尺连接， 4.观察连线与是否重合 理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，三角形内角和定理以及垂直平分线的性质等知识． （1）由可判断是直角三角形，且，由此可知得出依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； （2）由操作得出和为等腰三角形，得到，再由三角形内角和定理可得出，得，从而可得出； （3）利用“工具绳”画出的垂直平分线即可． 【小问1详解】 ∵， ∴是直角三角形，且， 依据的一个数学定理是：勾股定理的逆定理， 故答案为：勾股定理的逆定理； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为中点，于交于点，连接，若．请探究与的数量关系． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚同学的解题思路，完成证明过程． 证明：如图2，延长至点，使，连接，则， 为中点， ， 又， （依据：___________）， ， ___________， ， 又， ， ___________， ___________． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，为中点，于交于点．连接，若，请探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图4，在中，，点在边上，，过作交AD的延长线于点E，直接写出___________． 【答案】（1）； （2）， 如图3，延长至，使，连接，则， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 即； （3）2 【解析】 【分析】（1）根据小刚同学的解题思路，延长至点，使，连接，证明，得到，所以，进而得到，根据题意得到，所以，进而可证； （2）延长至，使，连接，则，证明，得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论； （3）在上方作，并交于点，由题意得且，则在中，，进而根据已知条件求出，所以，再经过转化即可得到的值． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如图4，在上方作，并交于点， 则， 且， ， 则在中，， 又，， ， 则， ， 故， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的定义，含角的直角三角形等知识点，掌握转化思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（下）期中考试 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 如果，那么． B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角． C. 如果的三边长为，那么． D. 到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条垂直平分线的交点． 6. 如图，平移到的位置，则下列说法：①，；②；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 7. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（　　） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（ ） A. 不能确定 B. 10 C. 12 D. 14 9. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个解集为的不等式___________． 12. 在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是___________． 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为______________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为_______． 17. 若不等式组的解集为-1<x<1，求(a+1)(b-1)的值． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 19. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 20. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． （3）若是轴上一点，且，求点的坐标． 22. 【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则． 小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： （1）填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； （2）根据小智的方案，证明：； （3）工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 23. 【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为中点，于交于点，连接，若．请探究与的数量关系． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚同学的解题思路，完成证明过程． 证明：如图2，延长至点，使，连接，则， 为中点， ， 又， （依据：___________）， ， ___________， ， 又， ， ___________， ___________． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，为中点，于交于点．连接，若，请探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图4，在中，，点在边上，，过作交AD的延长线于点E，直接写出___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $