数学（湖北卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（湖北卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的（     ） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．若且，则 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 10．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（    ） A．③④ B．①③ C．①③④ D．①② 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算： ． 12．已知点，都在直线上，则，的关系是 （填“>”“<”或“＝”）． 13．现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是 ． 14．已知，，则 ． 15．如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将△ADE沿翻折至，延长交边于点，则 ：若延长交边于点，则 ． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-18每题6分，19-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算 (1) (2)化简：． 17．（6分） 如图，在△ABC中，，点，在边上，．求证：． 18． （6分） 近年来，我国儿童青少年近视呈现高发、低龄化、重度化的趋势，近视防控形势严峻．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，本次活动的主题是“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后在全校范围内进行了满分为10分（成绩均为整数，满分：10分，单位：分）的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，校团委进行了抽样调查，过程如下： 【收集数据】 随机抽取50名学生的知识测评成绩（单位：分）如下： 10，9，9，6，8，9，6，9，7，9，6，7，8，9，10，10，8，6，8，6， 8，7，7，10，9，7，8，6，10，7，9，10，9，10，7，10，6，8，7，8， 9，9，10，8，8，6，7，8，9，10 【整理分析】 校团委整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据上述信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为______°，此次所抽取学生成绩的中位数为______分，众数为______分； (2)求此次所抽取学生的平均成绩； (3)若该校共有1000名学生，估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数． 19． （8分） 为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 20． （8分） 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 21． （8分） 如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 22． （10分） 某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值． 23． （11分） 在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 24．（12分） 定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（湖北卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据负数的绝对值是它的相反数进行解答即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 3．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：不等式x﹣2≤0，得： ， 把不等式的解集在数轴上表示出来为： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解不等式，并在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤，不等式的解集在数轴表示时空心圈不包含该点，实心圈包含该点． 4．下列运算正确的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．若且，则 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 【答案】A 【分析】根据不等式的性质、随机事件、三角形的内心以及概率的意义逐一判断即可． 【详解】A.若且，则，是真命题，符合题意； B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，是假命题，不符合题意； C.三角形的内心是它的三个内角的角平分线的交点，是假命题，不符合题意； D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，是假命题，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了真假命题，涉及到不等式的性质、随机事件、三角形的内心以及概率的意义，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键． 6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设马每匹x两，马四匹、牛六头，共价四十八两，牛每头y两，马二匹、牛五头，共价三十八两，据此列方程组即可． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选：B 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 8．关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数的性质：，开口向上，在对称轴左侧图像y随x的增大而减小，在对称轴的右侧图像y随x的增大而增大，，开口向下，在对称轴左侧图像y随x的增大而增大，在对称轴的右侧图像y随x的增大而减小， 根据二次函数的确定顶点坐标，即可判断本题答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而增小， 又∵当时，y随x的增大而增小， ∴， 故选：D 9．如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，作出辅助线是解题的关键； 取中点，连接，，，，由点是的中点，得 ，由，，得，，进而可得，，，，由勾股定理求得，由，得、、三点共线时，，最小，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ，， ， ， ，， ∴，， 中， ， 中，， ∴、、三点共线时，，最小， 此时， 故答案为：B 10．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（    ） A．③④ B．①③ C．①③④ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合，不等式的性质，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的对称轴的求法是解题关键． 利用抛物线的交点式展开求得c的表达式即可判断结论①；由抛物线与x轴的两交点可得对称轴，再结合对称轴表达式，根据利用不等式的性质可得a、b关系式；由c的表达式和求得后，便可求得抛物线的对称轴，然后根据开口方向和函数增减性可判断结论③；时，将代入抛物线可得c的另一表达式，与c的前一表达式结合利用不等式的性质可得b的取值范围，进而可得方程的根的判别式的正负； 【详解】解：由抛物线与x轴的交点可得其交点式为：， 展开得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①错误； 由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 若，则， ∴， 由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数值递减， ∴当时，，故③正确； 若，则抛物线为， 由点可得：， ∴， 再由可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程可化为， ∴， ∴， ∴时，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述③④正确， 故选： A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 12．已知点，都在直线上，则，的关系是 （填“>”“<”或“＝”）． 【答案】> 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及增减性判定函数值大小知识，由直线确定函数中值随着的增大而减小，再由点的横坐标大小即可判断答案，熟练掌握一次函数增减性确定函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线中，， ∴函数中值随着的增大而减小， ∵点都在直线上，且， ， 故答案为：>． 13．现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片分别用、、、表示， 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”有2种， 两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”概率是， 故答案为：． 14．已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的求值，根据，，得到，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案为：7． 15．如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将△ADE沿翻折至，延长交边于点，则 ：若延长交边于点，则 ． 【答案】 / / 【分析】连接，易证，设，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得；连接，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图，    正方形的边长为2， ， 点是中点， ， 四边形是正方形， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ∴； 连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，即， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-18每题6分，19-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算 (1) (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是∶ （1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值计算即可； （2）先计算括号内，然后把除法转换为乘法，最后约分即可． 【详解】（1）解： ；(3分) （2）解： ．(6分) 17．（6分） 如图，在△ABC中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ，(1分) 在和中， ，(4分) ，(5分) ．(6分) 18． （6分） 近年来，我国儿童青少年近视呈现高发、低龄化、重度化的趋势，近视防控形势严峻．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，本次活动的主题是“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后在全校范围内进行了满分为10分（成绩均为整数，满分：10分，单位：分）的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，校团委进行了抽样调查，过程如下： 【收集数据】 随机抽取50名学生的知识测评成绩（单位：分）如下： 10，9，9，6，8，9，6，9，7，9，6，7，8，9，10，10，8，6，8，6， 8，7，7，10，9，7，8，6，10，7，9，10，9，10，7，10，6，8，7，8， 9，9，10，8，8，6，7，8，9，10 【整理分析】 校团委整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据上述信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为______°，此次所抽取学生成绩的中位数为______分，众数为______分； (2)求此次所抽取学生的平均成绩； (3)若该校共有1000名学生，估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数． 【答案】(1)64.8，8，9 (2)此次所抽取学生的平均成绩为分 (3)估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数为200名 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，众数，中位数，加权平均数，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）先用计算出成绩为7分人数所占的百分比，然后用乘以成绩为7分人数所占的百分比，根据众数和中位数的求法计算即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）用1000乘以样本中成绩达到“10分”的学生对应百分比即可． 【详解】（1）解：， ， ∴扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为， 条形统计图中7分的人数为名， ∵，， ∴所抽取学生成绩的中位数为第25和26名成绩的平均数，即为分， ∵9分的人数最多， ∴所抽取学生成绩的众数为9分， 故答案为：64.8；8；9；(3分) （2）解：， ∴此次所抽取学生的平均成绩为分；(5分) （3）解：， ∴估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数为200名．(6分) 19． （8分） 为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】(1) (2)应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：；(3分) （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：，(6分) ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台．(8分) 20． （8分） 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，；③见解析 (3)或 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：；(1分) （2）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为；(3分) ②当时，； 当时，； 故答案为：；(5分) ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： (6分) （3）解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴, 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或．(8分) 21． （8分） 如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】（1）连接，设交于，由是直径，，由三角形的外角，可知，，得到，结合半径相等以及同弧所对的圆周角相等，可知，，，从而得到，即，得证； （2）连接，，设交于，先证明，得到，结合等腰三角形三线合一，，，接着利用勾股定理，求得，利用算得，最后求得． 【详解】（1）证明：连接，设交于，如图所示： 和所对的弧都是，和都是圆周角， ， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， 又和所对的弧都是，和都是圆周角， ， ， 即， 是的切线；(4分) （2）解：连接，，设交于，如图所示： ，，， ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ．(8分) 【点睛】本题考查了切线的证明，直径所对的圆周角等于90度，三角形外角的定义，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22． （10分） 某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将点和点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，当时，，即可求解； （3）根据（2）的结论以及题意可得在上，代入，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得 解得： ∴(3分) （2），， ， 在中， 当时，， ， 校车不能完全停到车棚内，(6分) （3）解：依题意，设 当时， 将代入得 ∴(10分) 23． （11分） 在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴(3分) （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴(7分) （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴(11分) 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 24．（12分） 定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)或； (2)； (3)；；或． 【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键． （1）根据图象和、的坐标即可得解； （2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解； （3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解； 当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或；(2分) （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为；(4分) （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴；(8分) 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或．(12分) 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（湖北卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） (1) (2)化简：． 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （6分） (1)扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为______°，此次所抽取学生成绩的中位数为______分，众数为______分； 19. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（湖北卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C D A B C D B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12．> 13． 14．7 15．； 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-18每题6分，19-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 【详解】（1）解： ；(3分) （2）解： ．(6分) 17．（6分） 【详解】证明：， ， ，(1分) 在和中， ，(4分) ，(5分) ．(6分) 18． （6分） 【详解】（1）解：， ， ∴扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为， 条形统计图中7分的人数为名， ∵，， ∴所抽取学生成绩的中位数为第25和26名成绩的平均数，即为分， ∵9分的人数最多， ∴所抽取学生成绩的众数为9分， 故答案为：64.8；8；9；(3分) （2）解：， ∴此次所抽取学生的平均成绩为分；(5分) （3）解：， ∴估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数为200名．(6分) 19． （8分） 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：；(3分) （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：，(6分) ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台．(8分) 20． （8分） 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：；(1分) （2）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为；(3分) ②当时，； 当时，； 故答案为：；(5分) ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： (6分) （3）解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴, 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或．(8分) 21． （8分） 【详解】（1）证明：连接，设交于，如图所示： 和所对的弧都是，和都是圆周角， ， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， 又和所对的弧都是，和都是圆周角， ， ， 即， 是的切线；(4分) （2）解：连接，，设交于，如图所示： ，，， ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ．(8分) 【点睛】本题考查了切线的证明，直径所对的圆周角等于90度，三角形外角的定义，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22． （10分） 【详解】（1）解：将点和点代入得 解得： ∴(3分) （2），， ， 在中， 当时，， ， 校车不能完全停到车棚内，(6分) （3）解：依题意，设 当时， 将代入得 ∴(10分) 23． （11分） 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴(3分) （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴(7分) （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴(11分) 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 24．（12分） 【详解】（1）解：，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或；(2分) （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为；(4分) （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴；(8分) 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或．(12分) 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（湖北卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的（     ） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．若且，则 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 10．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（    ） A．③④ B．①③ C．①③④ D．①② 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算： ． 12．已知点，都在直线上，则，的关系是 （填“>”“<”或“＝”）． 13．现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是 ． 14．已知，，则 ． 15．如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将△ADE沿翻折至，延长交边于点，则 ：若延长交边于点，则 ． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-18每题6分，19-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算 (1) (2)化简：． 17．（6分） 如图，在△ABC中，，点，在边上，．求证：． 18． （6分） 近年来，我国儿童青少年近视呈现高发、低龄化、重度化的趋势，近视防控形势严峻．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，本次活动的主题是“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后在全校范围内进行了满分为10分（成绩均为整数，满分：10分，单位：分）的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，校团委进行了抽样调查，过程如下： 【收集数据】 随机抽取50名学生的知识测评成绩（单位：分）如下： 10，9，9，6，8，9，6，9，7，9，6，7，8，9，10，10，8，6，8，6， 8，7，7，10，9，7，8，6，10，7，9，10，9，10，7，10，6，8，7，8， 9，9，10，8，8，6，7，8，9，10 【整理分析】 校团委整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据上述信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中7分所在扇形圆心角的度数为______°，此次所抽取学生成绩的中位数为______分，众数为______分； (2)求此次所抽取学生的平均成绩； (3)若该校共有1000名学生，估计此次测评成绩能达到“10分”的学生人数． 19． （8分） 为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 20． （8分） 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 21． （8分） 如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 22． （10分） 某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值． 23． （11分） 在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 24．（12分） 定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$