江苏省新沂市第三中学2024～2025学年高二下学期期中模拟考试数学试题

模拟3 姓名： 班级： 枫雨桐舟 2024~2025学年度第二学期期中模拟考试 高二数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在答题卡上． 2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答案写在试卷上无效． 3. 非选择题必须用黑色字迹的 签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4. 考生必须保持答题卡的整洁． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合 题目条件要求． 1. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法（    ） A．11 B．110 C．30 D．25 2. 如果函数在处的导数为2，则（      ） A．2 B．1 C． D．4 3．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 5．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C． D． 6．已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 7．为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题： 本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得相应分值． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列四个命题中为真命题的是（   ） A．已知随机变量服从正态分布，若，则 B．4个男同学，3个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有240种不同的排法 C．二项式的展开式中的常数项是45 D．已知，且，则 11．函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 3、 填空题：本题共 3小题，每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知，则 ． 13．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 14．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 四、解答题： 本题共 5 小题， 共 77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步䠫． 15．（13分）已知函数. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)讨论的单调性. 16．（15分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 17．（15分）有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ (2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？ (3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ (4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？ （要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 18．（17分）2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； (2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望． 19．（17分）已知函数 ， (1)当 时，讨论 的单调性; 姓名： 班级： 枫雨桐舟 (2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】利用分步计数原理计数即可. 【详解】分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法； 从两个口袋内分别取1个小球，共有：种取法. 故选：C. 2．D 【分析】根据导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 3．B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 4．B 【分析】分析展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2这两种情况，分别求解再求和即可． 【详解】展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2， 由组合知识可知，展开式中常数项为， 故选：B. 5．C 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 6．C 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键将原式两边同时乘以，再将两边对求导. 7．C 【分析】设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”，再求，再利用条件概率的概率公式计算. 【详解】设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”， 则，， 则， 因此在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为. 故选：C. 8．C 【分析】求导函数，分类讨论研究函数的单调性，然后根据解集作出函数大致图象，即可得到，为函数的两个零点，且为函数的极大值点，从而求出的值，即可求出函数的单调递减区间. 【详解】因为，所以为二次函数且图象开口向上. 若，则，函数在上单调递增，不符合题意； 若，方程有两个不等实根， 不妨设，当单调递增， 当，单调递减，当，单调递增， 若不等式的解集为，且，则的大致图象如图所示： 则，为函数的两个零点，且为函数的极大值点， 所以或， 当时，， 所以，则不是函数的极值点，不符合题意； 当时，又，所以，解得， 所以， 令，则或， 所以当时，所以函数的单调递减区间为. 故选：C 9．AD 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可. 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 10．CD 【分析】根据正态分布性质即可判断A；利用插空法即可判断B；根据二项式展开式即可判断C；应用二项分布的期望公式即可判断D. 【详解】对于A，已知随机变量服从正态分布， 若，可得曲线的对称轴为， 则，故A错误； 对于B，先排个男生，形成个空，再将女生排入个空， 所以有种不同的排法，故B错误； 对于C，的展开式的通项为， 令，得， 所以二项式的展开式中的常数项是，故C正确； 对于D，因为，且， 所以，解得，故D正确. 故选：CD. 11．BD 【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以为的极小值，故A错误； 对于B，由可知是其一个零点，令， 令，设是的两个根，由韦达定理得， 所以，若函数的3个零点为，，， 则，故B正确； 对于C，令，当时， ， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对于D，， 因为当时，，当时，， 所以， 所以，当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD. 12．3 【分析】根据题意结合组合数性质运算求解即可. 【详解】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 13． 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参. 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 14． 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出切点，求导，写出切线方程，结合切线过原点可求答案； （2）求导，分情况讨论导数的符合，可得函数单调性. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，则， 当时，，设切点为，则切线方程为 ，即， 又因为切线过，代入切线方程得， 即，解得，所以切线方程为. （2）， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 16．(1)24 (2)384 (3)90 (4)168 【分析】（1）利用排列知识以及乘法计数原理即可； （2）分最后以正品结束和以次品结束两种情况，再结合排列组合知识即可； （3）分检测2次、3次、4次结束，再结合排列组合知识即可； （4）分最终以正品结束、最终以次品结束两种情况，再讨论抽检次数即可. 【详解】（1）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品：共有种. （2）一共抽取5次结束，则 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是正品：种， 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是次品：种， 共有种 （3）第1，2次测出次品结束： 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束： 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束： 共有种- （4）①最终以正品结束， 则共抽5次，则第1次为次品，其余均为正品，共有种； ②最终以次品结束， 则分三种情况： 共抽4次，则第1，4次为次品，第2，3次为正品，共有种； 共抽5次，则第1，5次为次品，第2，3，4次为正品，共有种； 共有：种 18．(1) (2)乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 【分析】（1）先设事件为“该题的正确答案是2个选项”，为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，再求，，再利用全概率公式计算即可； （2）先计算正确答案是两选项、三选项的概率，再分类讨论乙同学做出的决策：单选，双选，三选，分别求其期望值. 【详解】（1）设事件为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”， 即，． 设事件为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”， 则，， 所以， 则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为. （2）由题知选项B，D不能同时选，则乙同学可以选择单选、双选、三选， 正确答案是两选项的可能情况为AB，AD，BC，AC，CD，每种情况出现的概率均为； 正确答案是三选项的可能情况为ABC，ACD，每种情况出现的概率为． 若乙同学做出的决策是： ①单选，则（分）， （分）； ②双选，则（分）， （分）； ③三选，则（分）． 经比较，乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 19．(1)函数在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，构造，通过二次求导，确定函数单调性； （2）构造，得到在成立，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，（）， 则有， 考虑函数，因为， 令，， 由可得：， 由可得：， 所以在上单减，在上单增， 因为，所以， 则函数在上单增， 因为， 则有时，，时，， 所以时，， 时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，成立， 则有成立， 记，则在成立， ， 记， ①当时，， 当时，，，在单调递减， 当时，，，在单调递增， 故，不满足条件； ②当时，在成立， 故在单调递减，，满足条件； ③当时，，由②知，此时 综上，． $$