2025年人教版九年级数学中考专题训练——一次函数与反比例函数的实际应用

2025年人教版九年级数学中考专题训练 ——一次函数与反比例函数的实际应用 1．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 2．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 3．如图，点和是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)观察图象，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围． (3)求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为． (1)直接写出点B的坐标为_______________； (2)过点A作直线，交反比例函数图象于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长． 5．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求k的值及的面积； (2)直接写出时自变量x的取值范围． 6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______． (3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围． 7．如图，一次函数的图像和反比例函数的图像交于． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)设点，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图像分别交于点，，当时，直接写出的取值范围． 8．在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点， (1)求、的值； (2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标； (3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 9．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示），已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为12毫克． （1）求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间的函数表达式； （2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于6毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌． 10．已知：一次函数的图像与x轴、y轴的交点分别为A、B与反比例函数的图像交于点C、D，且． (1)求∠BAO的度数； (2)求O到DC的距离． 11．如图，点D在双曲线上，AD垂直轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于轴交双曲线于点B，直线AB与轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（3，2）． (1)求该双曲线的解析式； (2)求△OFA的面积． 12．某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）， (1)分别求出和时的函数关系式，并求出t的值； (2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？ (3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？ 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； (3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 14．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 15．如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年人教版九年级数学中考专题训练 ——一次函数与反比例函数的实际应用》参考答案 1．(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 2．(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 3．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据题意观察图象即可得到解答； （3）令代入到直线解析式即可求出C点坐标，进而即可求出的面积． 【详解】（1）将代入得， 解得， ∴反比例函数为， 将代入得， 解得， 将和代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围是； （3）把代入得，， 解得． ∴点． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 4．(1) (2)的长为或 【分析】（1）根据点A的坐标求出正比例函数的解析式和反比例函数的解析式即可求解； （2）过点A作轴于E，过点C作轴于F，设与y轴交于点H，即可得到，进而证明，再结合相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A， ∴正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 联立得， 解得， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）如图，过点A作轴于E，过点C作轴于F，设与y轴交于点H， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点C坐标为， ∴， 当时，， ∴点C坐标为， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的综合和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．(1)， (2)当或时， 【分析】（1）由题意把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式，根据题意先求出直线与x轴的交点坐标，从而x轴把分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，进而相加即可； （2）根据函数的图象结合函数图象的性质进行分析求得即可． 【详解】（1）点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴，即， 把点代入一次函数中， 可得，解得， ∴一次函数的表达式为； 故反比例函数解析式为，一次函数得到解析式为； 设直线与x轴的交点为C， 在中，当时，得， ∴直线与x轴的交点为， ∵线段将分成和， ∴； （2）从图象看，当或时，． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，注意掌握此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式． 6．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式． （2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定和三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可； （3）由题意可得直线的解析式，然后根据图像可进行求解． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 即反比例函数解析式为， 当时，，即， ∵过和， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）如下图，设点P为一次函数与x轴的交点， 当时，有， ∴点P的坐标为（-1，0）， 设点N的坐标为（n，0），则， ∵ ， ∴， 解得或， ∴点N的坐标为或． 故答案为：或； （3）如图，设与的图像交于、两点， ∵向下平移两个单位得，且， ∴， 将直线解析式与反比例函数解析式联立， 得，解得或， ∴，， 在A、两点之间或B、两点之间时，存在， ∴当函数值时，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题． 7．(1)， (2) 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可； （2）分两种情况讨论：①当过点P且平行于x轴的直线在点A上方时，可知点C（m-2，m），点D（，m），故当时，有，解得，由，可知此时时；②当过点P且平行于x轴的直线在点A下方时，若时，有，解得或，根据题意可知，所以当时，．结合图像，可知当时，． 【详解】（1）解：将点代入到一次函数中， 可得，解得， ∴一次函数的解析式为， 将点代入到反比例函数中， 可得，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）①如图1，当过点P且平行于x轴的直线在点A上方时，即时， 可知点C（m-2，m），点D（，m）， 当时，， 解得， ∵， ∴当时，； ②如图2，当过点P且平行于x轴的直线在点A下方时，即时， 当时，， 解得或， 根据题意反比例函数仅在第一象限，故， ∴当时，． 综上所述，结合图像，可知当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合问题，解题关键是利用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 8．(1)k=-，m=-4； (2)点P的坐标为（4，-1）或（-12，3） (3)M（，） 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标． 【详解】（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上， ∴k=-，m=-4． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）． 由对称性可知：OA=OC， ∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）． 当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4）， 取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°， ∵D（-）， ∴直线OD的解析式为y=-x， 由 ，解得 或 ， ∵点M在第二象限， ∴M（，）． 【点睛】此题考查反比例函数综合题，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 9．（1），；（2）能，理由见解析 【分析】（1）根据药物燃烧时，与成正比例，利用待定系数法进行求解；根据药物燃尽后，与成反比例，利用待定系数法进行求解； （2）求出药物燃烧时和药物燃尽后空气中每立方米的含药量6毫克的时间，再作差即可判断． 【详解】解：（1）由于在药物燃烧时，与成正比例，因此设函数解析式为， 由图示可知，当时，．将，代入函数解析式， 解得：， 解析式为： 由于在药物燃尽后，与成反比例，因此设函数解析式为， 同理将，代入函数解析式，解得． 药物燃尽后的函数解析式为， （2）当时，由得， 当时，由得， 含药量不低于6毫克的时间共有分钟分钟， 此次消毒能有效杀灭空气中的病菌． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案． 10．(1)∠BAO的度数为45° (2)O到DC的距离为 【分析】（1）在y=-x+b中，令y=0，则x=b，令x=0，y=b，求得OA=b，OB=b，得到tan∠BAO= ，即可得到结论； （2）过D作DE⊥x轴于E，根据相似三角形的性质得到，点D在一次函数y=-x+b的图像上，设D（m，-m+b），由已知条件得到，得到 ①，由点D反比例函数y= ()的图像上，得到m（-m+b）=5②，①、②联立方程组解并求解可得OA=OB=，结合三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）解：在y=﹣x+b中，令y=0，则x=b，令x=0，y=b， ∴A（b，0），B（0，b）， ∴OA=b，OB=b， ∴tan∠BAO==1， ∴∠BAO=45°； （2）（2）过D作DE⊥x轴于E，如下图， ∴， ∴△ADE∽△AOB， ∴， ∵点D在一次函数y=﹣x+b的图像上， ∴设D（m，﹣m+b）， ∵ ， ∴ ， ∴①， ∵点D反比例函数y=()的图像上， ∴m（﹣m+b）=5②， ①、②联立方程组解，可得 ，解得， ∵D在第一象限， ∴， ∴， ∴OA=OB=， ∴AB=OA=， 设O到AB的距离为H，由， 可知， 即O到CD的距离． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合应用、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 11．(1)该双曲线的解析式为 (2) 【分析】（1）由点C的坐标为（3，2）得AC=2，而AC：AD=1：3，得到AD=6，则D点坐标为（3，6），然后利用待定系数法确定双曲线的解析式； （2）已知A（3，0）和B（9，2），利用待定系数法确定直线AB的解析式，得到F点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可 【详解】（1）∵点C的坐标为（3，2），AD垂直x轴， ∴AC=2， 又∵AC：AD=1：3， ∴AD=6， ∴D点坐标为（3，6）， 设双曲线的解析式为y＝ 把D（3，6）代入y＝得，k=3×6=18， 所以双曲线解析式为y＝； （2）设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵CB平行于x轴交曲线于点B， ∵双曲线的解析式为y＝， ∴B（9，2） 把A（3，0）和B（9，2）代入y=kx+b得，3k+b=0，9k+b=2，解得k＝，b=-1， ∴直线AB的解析式为y=x-1， 令x=0，得y=-1， ∴F点的坐标为（0，-1）， ∴S△OFA=×OA×OF=×3×1=． 【点睛】本题考查了利用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式的方法：把求解析式的问题转化为解方程或方程组．也考查了坐标与线段之间的关系以及三角形面积公式． 12．(1)当和时的函数关系式为；； (2)两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间有18分钟 (3)开机后50分钟时，水的温度是80℃ 【分析】（1）分别用待定系数法求解即可；把代入所求反比例函数解析式中即可求得t的值； （2）在中，令，得；在中，令，得，即可得两次加热之间水温保持不低于40℃的时间； （3）由，当时，，即开机后50分钟时，水的温度． 【详解】（1）当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：， 依据题意，得，解得， 故此函数解析式为：； 当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为： 依据题意，得：，即，故， 当时，，解得：； （2）当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 则两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间为（分）． （3）∵， ∴当时，， 答：开机后50分钟时，水的温度是80℃. 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式． 13．(1)， (2)， (3)点N的坐标为，， 【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，然后求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式中，即可得出答案； （2）求出点B坐标，根据三角形的面积公式进行计算；然后结合函数图象得出x的取值范围； （3）设点，，分三种情况讨论：①以和为对角线时，②以和为对角线时，③以和为对角线时，分别利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）在中，令， 解得， ∴， 又∵， ∴， 由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方； （3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为， 设点，， 若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 则分情况讨论： ①以和为对角线时， 可得：，， 解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴； ②以和为对角线时， 可得：，， 解得： 或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， ③以和为对角线时， 可得：，， ∴或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点N的坐标为，，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标的求法等知识，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键． 14．(1)6 (2) (3)8min 【分析】（1）依据题意，将代入可以得解； （2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解； （3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间． 【详解】（1）解：由题意，，即为，． （2）解：由（1）可得． 设熏蒸完后函数的关系式为：， ． 熏蒸完后函数的关系式为：． （3）解：药物浓度不低于， 当时，， 当时，， 有效时长为， 答：有效杀灭病毒的时间持续． 【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大． 15．(1)，； (2)不在，理由见解析；． 【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值； （2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上； 设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解． 【详解】（1）当时，． ∴． 当时，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴点的坐标为． ∴． ∴． （2）不在，理由如下： ∵点在上，当时，， ∴点的坐标为． ∵反比例函数为，当时，， ∴点不在反比例函数的图像上， 延长交轴于点，如图，      由得：，， 设所在的直线为, 将、代入得: ，解得：， ∴设所在的直线为， 令，则，解得：， ∴点， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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