平面向量：平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义——2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 平面向量：平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义 高频考点分析 1. 平面向量的基本定理 考点 知识点 基底 如果是平面内的两个不共线向量，则是平面内的一组基底. 平面向量基本定理 如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使得. 平面向量的共线定理 向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使得． 推论：已知、、三点共线，为直线外一点， 若，则. 鸡爪模型 如图，在中，为底边上的一点，且，则. 常见的结论 （1）在中，记,，中点为，则. （2）在中，记,，，. （3）在中，记,， ①若或平分角和或平分角和，则为菱形. ②若，则为矩形. 2. 平面向量的数量积 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立平面直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所称之角为锐角，则且与不共线 ②若与所称之角为钝角，则且与不共线. 3. 平面向量的坐标运算 考点 知识点 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，已知点，，则. 向量的坐标运算 设，. ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 投影与投影向量 ①在上的投影为； ②在上的投影向量为. 夹角问题 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 实战演练一：平面向量的基本定理与线性运算 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 4．（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量与平行， 所以． 因为向量不平行， 所以解得． 故选：. 5．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意如图所示： 因为 ， 所以， 所以， 故选：B. 6．（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 7．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 8．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 【答案】 【详解】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为， 则. 故答案为： 实战演练二：平面向量的数量积 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 又，， ，， ， 在向量上的投影向量为． 故选：D. 2．（2025·山西晋城·二模）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，，所以. 由，得，即， 整理得， 解得，或（舍去）． 故选：C． 3．（2025·四川成都·三模）已知向量和的夹角为120°，且，，则=（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 故选：A. 4．（2025·浙江宁波·三模）已知向量，满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由，则， 所以. 故选：D 5．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】因为在上的投影向量为单位向量，所以， 所以，所以， 设，，可得， 两边平方得，所以， 令，则，解得或， 当时，这时，此时，此时，不符合题意， 当时，即， 此时. 故选：D. 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知向量和满足与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. 故选：D. 7．（2025·甘肃·二模）已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，是两个单位向量，与的夹角为， 所以， 所以 . 故选：B 8．（2025·浙江台州·二模·多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC 9．（2025·四川成都·三模·多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为（   ） A．0 B． C．2 D．6 【答案】BD 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等， 所以平面向量，，两两的夹角为或， 又，，， ①当夹角为时，即向量，，同向，则； ②当夹角为时， 则，则， 综上所述，或. 故选：BD． 10．（2025·贵州·模拟预测·多选）在中，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABC 【详解】已知，将代入可得： ，即，则 可得： 因为，所以，即. 因为，所以，即. 对于选项A，根据正弦定理，可得. 若，则，即. 因为，所以，. 由及正弦定理可得. ，则. 若，即，代入可得： ，等式成立，所以，A选项正确. 对于选项B，由上述分析可知，B选项正确. 对于选项C，因为，为三角形内角，则，.，则，C选项正确. 对于选项D，在上的投影向量为. 因为，，所以投影向量为，D选项错误. 故选：ABC. 11．（2025·辽宁·二模）在平行四边形中，，，，E为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，则，D正确. 故选：BCD 12．（2025·四川泸州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：. 13．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量满足，且，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 实战演练三：平面向量的坐标运算 1．（2025·河南·二模）已知向量，，，则（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【详解】由向量，，得，而， 所以. 故选：A 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，， ，， ，整理得， 故选：B． 3．（2025·广东湛江·二模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 4．（2025·广西·三模）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，解得，即， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 5．（2025·江西上饶·二模）已知向量，若，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，得，而， 所以. 故选：C 6．（2025·山西吕梁·二模）已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，则， 所以在上的投影向量是. 故选：B． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 【答案】AC 【详解】A选项，当时，，，，故A正确； B选项，当时，，则，故B错误； C选项，因为，所以，解得，故C正确； D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误. 故选：AC. 8．（2025·河南·模拟预测·多选）已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．和的面积之和的最大值为1 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A：由题意得，，故A正确； 对于B：若，则，又因为，所以或， 若，则，此时， 若，则，此时，故B正确； 对于C：， ，， 所以， 整理得， 所以和的面积之和的最大值为，故C错误； 对于D：若，注意到在单位圆上， 当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为， 故为以为斜边的等腰直角三角形， 所以，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·四川乐山·模拟预测·多选）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 则由投影向量公式得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 10．（2025·河北·模拟预测·多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则，则，解得，所以A正确； 对于B，若，则，所以，解得，所以B正确； 对于C，， 当，即时，取最大值，所以C错误； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2025·辽宁辽阳·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，解得， 则，所以． 故答案为：. 12．（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设，则，可得， 故， 当且仅当时，取最小值. 故答案为：. 13．（2025·陕西·三模）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【详解】由题设. 故答案为：8 15．（2025·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则 ． 【答案】 【详解】因为向量，，则， 因此，. 故答案为：. 16．（2025·宁夏银川·一模）已知向量，则 . 【答案】 【详解】因，则， 因，则，得. 故答案为：. 17．（2025·河南鹤壁·二模）已知向量 (1)当时，求的值; (2)若函数的最大值为，求a的值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，, 所以 （2）由题干得： 设，则 设，所以. 因为，所以当时，取得最大值， 即，解得. 实战演练四：向量新定义问题 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意设， 则，，，， 则. 故选：C． 3．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 5．（2025·浙江宁波·三模）设维向量，，定义运算：. (1)当时，若且，，试比较与的大小； (2)已知，记且和均为的某一排列}. （ⅰ）求，； （ⅱ）若，求.（提示：.） 【答案】(1)； (2)（ⅰ），； （ⅱ）. 【详解】（1）由题设，所以； （2）（i）先求：设，，其中为的排列， 所以， 而可能取值有，故， 再求：设，，其中为的排列， 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 综上，； （ⅱ）由（1），若存在，，则不妨交换，则的值会变大， 设， ，则最小； ，则最大； 所以的元素均属于集合， 设表示集合且的元素个数，即（注意表示集合的元素个数）， 下证：当时，由上知， 考虑及：由中最小元素为，最大元素为，即中的元素均在中， 设，，其中为的任一排列， 所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素， 当，，其中为的任一排列， 所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素， 当时，， 即， 故不覆盖集合的元素至多有个，故， 又，所以， 所以. 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为、，理由见解析； (3) 【详解】（1）由题意可得：，即，又， 故， 故， 解得； （2）存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、． （3）由题意，得，，即， 即，同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以， 设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， ……， ， 以上个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当时等号成立，故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 平面向量：平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义 高频考点分析 1. 平面向量的基本定理 考点 知识点 基底 如果是平面内的两个不共线向量，则是平面内的一组基底. 平面向量基本定理 如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使得. 平面向量的共线定理 向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使得． 推论：已知、、三点共线，为直线外一点， 若，则. 鸡爪模型 如图，在中，为底边上的一点，且，则. 常见的结论 （1）在中，记,，中点为，则. （2）在中，记,，，. （3）在中，记,， ①若或平分角和或平分角和，则为菱形. ②若，则为矩形. 2. 平面向量的数量积 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立平面直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所称之角为锐角，则且与不共线 ②若与所称之角为钝角，则且与不共线. 3. 平面向量的坐标运算 考点 知识点 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，已知点，，则. 向量的坐标运算 设，. ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 投影与投影向量 ①在上的投影为； ②在上的投影向量为. 夹角问题 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 实战演练一：平面向量的基本定理与线性运算 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 6．（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 实战演练二：平面向量的数量积 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋城·二模）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·四川成都·三模）已知向量和的夹角为120°，且，，则=（   ） A．13 B．3 C． D． 4．（2025·浙江宁波·三模）已知向量，满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知向量和满足与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 7．（2025·甘肃·二模）已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（2025·浙江台州·二模·多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 9．（2025·四川成都·三模·多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为（   ） A．0 B． C．2 D．6 10．（2025·贵州·模拟预测·多选）在中，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．（2025·辽宁·二模）在平行四边形中，，，，E为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·四川泸州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则 . 13．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量满足，且，则 . 14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ． 实战演练三：平面向量的坐标运算 1．（2025·河南·二模）已知向量，，，则（    ） A． B．8 C． D．4 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东湛江·二模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·三模）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西上饶·二模）已知向量，若，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．（2025·山西吕梁·二模）已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 8．（2025·河南·模拟预测·多选）已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．和的面积之和的最大值为1 D．若，则 9．（2025·四川乐山·模拟预测·多选）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 10．（2025·河北·模拟预测·多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 11．（2025·辽宁辽阳·二模）已知向量，若，则 ． 12．（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 . 13．（2025·陕西·三模）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 14．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 15．（2025·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则 ． 16．（2025·宁夏银川·一模）已知向量，则 . 17．（2025·河南鹤壁·二模）已知向量 (1)当时，求的值; (2)若函数的最大值为，求a的值. 实战演练四：向量新定义问题 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 4．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 5．（2025·浙江宁波·三模）设维向量，，定义运算：. (1)当时，若且，，试比较与的大小； (2)已知，记且和均为的某一排列}. （ⅰ）求，； （ⅱ）若，求.（提示：.） 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$