解三角形：正余弦定理的综合使用、边角互化问题、周长问题、面积问题——2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合使用、边角互化问题、周长问题、面积问题 高频考点分析 1.正弦定理：在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等，即.(为外接圆半径) 2.正弦定理的变形（边角互化）： ；；. 3.余弦定理：；；. 4.余弦定理的变形：；；. 5..(为内切圆半径) 6.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 余弦值 7.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 8.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 9.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 10.边角互化注意事项 （1）一般情况下，有余弦出现，则考虑“边化角”，没有余弦出现，则考虑“角化边”，前提：“齐次”； （2）有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用； （3）一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理进行化简； （4）出现或或，可利用倍角公式进行化简，也可角化边再利用余弦定理； （5）出现或这种形式，可利用和差公式进行化简； （6）出现这种形式，可利用合一公式进行化简； （7）出现，可化为； （8）若，则或； （9）若，则或； （10）若，则，转化为（7）； （11）若，则或； （12）要约分，需要先说明被约数不为；要定角，需要先说明角度范围； （13）若出现三角形的高，应利用等面积法或三角函数在直角三角形中的定义. 11.周长定值问题的处理思路 （1）通过正余弦定理构造方程，直接求出、、三边的具体值，进而求周长； （2）通过正余弦定理构造方程，求出与的值，利用整体思想求出的值，进而求周长. 12.周长最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求周长的最值或范围，即求的最值或范围. （1）利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. （2）利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 13.面积问题 ※选择用哪条公式先思考知道哪个角，优先使用含有那个角的公式. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 实战演练一：正余弦定理的综合使用 1．（2025·青海西宁·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 3．（2025·山西晋城·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，，求； (3)若，，求． 4．（2025·广东清远·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，外接圆的半径为2，求的面积． 5．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（2025·湖南·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 实战演练二：先进行边角互化，再解三角形 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． (1)求角． (2)已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求的值. 3．（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 4．（2025·河南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求的面积. (2)若. （i）求的值； （ii）求内切圆的半径. 5．（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，求． 6．（2025·重庆·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，求． 实战演练三：周长问题 1．（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 2．（2025·安徽蚌埠·二模）记的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求的周长. 3．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 4．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 5．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 6．（2025·四川达州·二模）已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 7．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 8．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 实战演练四：面积问题 1．（2025·四川·模拟预测）在中，. (1)求角A的大小； (2)若D为边AB上一点，，，求的面积. 2．（2025·河南·一模）记的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)设为边的中点，若，，求的面积． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积. 4．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心. (1)求. (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （i）证明：是直角三角形； （ii）求的面积. 5．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 6．（2024·河南新乡·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 7．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 8．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合使用、边角互化问题、周长问题、面积问题 高频考点分析 1.正弦定理：在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等，即.(为外接圆半径) 2.正弦定理的变形（边角互化）： ；；. 3.余弦定理：；；. 4.余弦定理的变形：；；. 5..(为内切圆半径) 6.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 余弦值 7.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 8.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 9.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 10.边角互化注意事项 （1）一般情况下，有余弦出现，则考虑“边化角”，没有余弦出现，则考虑“角化边”，前提：“齐次”； （2）有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用； （3）一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理进行化简； （4）出现或或，可利用倍角公式进行化简，也可角化边再利用余弦定理； （5）出现或这种形式，可利用和差公式进行化简； （6）出现这种形式，可利用合一公式进行化简； （7）出现，可化为； （8）若，则或； （9）若，则或； （10）若，则，转化为（7）； （11）若，则或； （12）要约分，需要先说明被约数不为；要定角，需要先说明角度范围； （13）若出现三角形的高，应利用等面积法或三角函数在直角三角形中的定义. 11.周长定值问题的处理思路 （1）通过正余弦定理构造方程，直接求出、、三边的具体值，进而求周长； （2）通过正余弦定理构造方程，求出与的值，利用整体思想求出的值，进而求周长. 12.周长最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求周长的最值或范围，即求的最值或范围. （1）利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. （2）利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 13.面积问题 ※选择用哪条公式先思考知道哪个角，优先使用含有那个角的公式. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 实战演练一：正余弦定理的综合使用 1．（2025·青海西宁·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 且，化简得． 由余弦定理得，即，可得， 所以的面积为． （2）由及正弦定理得， 因为，即， 化简得，所以． 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，可得，而， 所以，即，显然不成立， 所以，可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 3．（2025·山西晋城·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，，求； (3)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【详解】（1）由三角形内角和及二倍角的余弦公式， 可得，即，则． 又，，所以，或， 因为，所以，故； （2）由（1）知，，又，所以，， 由正弦定理，得，所以； （3）由正弦定理，得，所以，所以， 由余弦定理，得，解得． 4．（2025·广东清远·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，外接圆的半径为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以． 又因为，所以，故， 因为，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 故的面积． 5．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 6．（2025·湖南·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【详解】（1）由二倍角公式得， 所以， 整理得，即. 因为，所以，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 又为三角形内角，所以，即的最大值为，此时，又，所以， 故，可得为直角三角形且. 又由（1）可得为正三角形， 所以当最大时，的面积. 实战演练二：先进行边角互化，再解三角形 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． (1)求角． (2)已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1），由正弦定理得， 又，则， ，， 又，则，所以， ， 因为，则，． （2）（ⅰ）由（1）知，是角的角平分线， ， ， 又， 则得，又， ，解得，即． （ⅱ）， ． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）， 由正弦定理得，，即. ，. ，∴. ，（舍去）或. （2）由（1）知，. 由余弦定理可得， ∴. ，. 由正弦定理，，解得. ∴由正弦定理可得，，. 3．（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. （2）因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 4．（2025·河南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求的面积. (2)若. （i）求的值； （ii）求内切圆的半径. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由正弦定理得：， ，， . （2）（i），，， ，，， ，解得：； （ii）由（i）得：， ， ，， 内切圆半径. 5．（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； （2）由面积公式得， 由正弦定理得， 整理得， 由，得， 由（1）得， 由平方关系得 解得或 因为，所以，所以． 6．（2025·重庆·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由和正弦定理可得， 因为,所以， 则有, 由于，所以有 （2）由得，因为, 则有， 由余弦定理可得，所以， 实战演练三：周长问题 1．（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 解得或（舍），故. 又为内角，故. （2），则，解得. 由余弦定理可得， 解得. 故的周长为. 2．（2025·安徽蚌埠·二模）记的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 所以， 又，所以，又，所以. （2） 因为边上的高为，所以的面积, 又由的面积，解得， 由余弦定理得， 即，解得. 所以的周长. 3．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由余弦定理得， 则 解得，则， 则； （2），由正弦定理得， 又， 解得， ，∴， 故或，则或， 由正弦定理得： 若，则， 故的周长为； 若，则， 故的周长为， 综上所述，的周长为或. 4．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，得，所以， 所以． （2） 由（1）知．由题意知，， 即，化简得． 在中，，，根据余弦定理有， 则， 解得，从而， 所以的周长为． 5．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）因为在中，，所以， 又因为，，由正弦定理， 可得. （3）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 6．（2025·四川达州·二模）已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）根据正弦定理：. 再由余弦定理：， 所以， 所以或即. 因为不成立，所以只有.所以为等腰三角形. （2）如图： 设，则， 所以， 又， 所以，又为锐角，所以. 所以. （3）由题意，. 所以的周长为：， 因为，在上均为增函数， 所以， 即周长的最小值为：. 7．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：， 即，所以， 由于，所以，又， 所以. （2）由正弦定理得：， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故，所以. 故的周长的取值范围为：. 8．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， ,故 ， 则； （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则， 故, 故周长的取值范围为. 实战演练四：面积问题 1．（2025·四川·模拟预测）在中，. (1)求角A的大小； (2)若D为边AB上一点，，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）解：由正弦定理可知， 因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以，则，故，即. （2）设，则. 因为，所以，，即. 在中，， 即，解得，所以，. 的面积为. 2．（2025·河南·一模）记的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)设为边的中点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ，， ，，，又 ； （2）由余弦定理得：，， ，，， ，解得， 的面积为． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. （2），所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 4．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心. (1)求. (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （i）证明：是直角三角形； （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）是的外心，即， . 只需考虑，即， 又在第一象限，，. （2）（i）， ， 由余弦定理知，两式相加可得， ，是直角三角形. （ii）设，，则，， 可知，，.   易知AB与复平面的实轴垂直，又， 与复平面的虚轴垂直，，， 又，点A在第一象限，.     ，，，，， 的面积为. 5．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 6．（2024·河南新乡·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：因为， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以， 又因为，所以． （2）解：因为且，由余弦定理得，即 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以的面积， 即面积的最大值为． 7．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    8．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$