基本不等式专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点一 利用基本不等式求代数式最值 1．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 4．（2025·江西·二模）已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 5．（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 6．（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】由可得，即，故， 由，可得， 当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8. 故选：D. 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 8．（2025·江西上饶·二模·多选）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC 9．（2025·河南·三模·多选）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由基本不等式，已知，则， 可得，当且仅当时取等号，A错误． 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确． 对于C，，由A知， 所以，则，当目仅当时取等号，C正确． 对于D，， 根据二次函数性质，其对称轴为，当时，取得最小值为，D正确， 故选：BCD． 10．（2025·河北保定·模拟预测·多选）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，分离变量可得，解得，故A错误； 对于B，分离变量可得，解得，故B正确； 对于C，由基本不等式可得， 所以，则，当且仅当即时取等号，故C正确； 对于D，由得， 由基本不等式可得，得， 当且仅当即，时取等号，故D正确. 故选：BCD. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 12．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 13．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y为正实数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故答案为：. 14．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）设为锐角，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 121 【详解】 ， 当且仅当，即，即（为锐角）时，等号成立， 所以的最小值为121，此时. 故答案为：121； 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 1．（2025·山东泰安·二模）记的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由 整理得：， 由正弦定理，可得， 即， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则. 故外接圆面积的最小值为. 2．（2025·河北廊坊·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）证明：因为，所以即， 则由余弦定理得， 整理得即. （2）若，则由（1）得，当且仅当时等号成立， 又由余弦定理得， 所以面积为，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值为. 3．（2025·四川成都·三模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且的面积为. (1)求A； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得， 所以，所以， 由正弦定理可得，由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为的面积为，所以，所以， 由，可得， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 4．（2025·江苏南通·二模）在中，，，分别是内角，，的对边，． (1)求角的大小； (2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，即， 结合正弦定理，可得， 因为，，所以， 即， 故， 因为，，则，故. （2）法一：因为， 所以，， 所以， 所以， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法二：设，，则，为点到边的距离. 因为，所以， 又， 故，得， 所以，整理得， 因为，得， 显然，，故，. 根据，得， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法三：过点作，交于点. 据，可得，， 因为，故，， 所以，，得. 在中，，， 由余弦定理，， 则，解得， 所以，即. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 所以面积， 即面积的最小值为. 5．（2025·辽宁大连·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以； （2）由余弦定理可得， 即， 所以，， 所以， 当且仅当时“”成立. 6．（2025·河南·三模）记的内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若平分交于点，且，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由正弦定理及， 得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以， 又，所以. （2）解：由平分，则， 因为， 即，整理可得， 又因为， 则， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 考点三 利用基本不等式求函数中的最值问题 1．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数且，其中是自然对数的底数． (1)当，证明：为定值，并求出函数的对称中心； (2)当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时，，其中， ， 所以， 故函数的对称中心为． （2）当时，，其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立， 得到，所以，即， 所以的最小值为． 2．（2025·江西宜春·二模）已知函数（且），其中. (1)当时，求的最小值； (2)判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； (3)当时，任意，都有，求实数的取值集合. 【答案】(1)当时，函数的最小值为， (2)当时，函数的图象没有对称中心， 函数的图象有对称中心，对称中心为， (3) 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值； （2）设点为函数的对称中心，则恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 则，，， 即，， 当时，无解，此时函数的图象没有对称中心， 当时，，此时函数的图象对称中心为； （3）当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 而， 设，则 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减， ①当时，故， 因为，故， 所以，则函数在上单调递减， 故此时当时，，舍去； ②当时，，解得； (i)当时，， 所以，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减； 所以时，取极大值，则 所以满足条件， (ii)当时，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，舍去; (iii)当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，舍去； 综上，. 3．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 4．（2025·四川南充·二模）已知，函数，. (1)若，求函数的极值； (2)设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值. 【答案】(1)极大值，极小值 (2). 【详解】（1）当时，， ，， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增. 在处取得极大值， 在处取得极小值. （2）由题意，得，则， 当且仅当时，等号成立. ，解得， 所以.又恒成立， 设 所以. 令，则，即， ，， 因为， 所以在上单调递减. 所以. 所以最大的实数. 考点四 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． (1)求椭圆的标准方程． (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)设的面积与的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意可得：，解得，， 所以椭圆的标准方程 （2）    易得，，设，， 则， 所以 得，， 同理可得， 则. （3）由（2）易得 由，得 因为所以，解得或(舍去)， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 2．（2025·湖南·二模）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和点为椭圆上一点，且. (1)设的斜率分别为，求的值； (2)求证：的面积为定值； (3)当直线的斜率时，斜率为的直线与线段交于点，与椭圆交于不同的两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，则，得 点在椭圆上，， ，化简整理得，即， 故. （2）由（1）可设直线的方程为， 则点到直线的距离， 所以， 又由，得，展开整理得， 由（1）知，所以，即， 两式联立得， 故的面积，为定值. （3）由已知可设，则直线的方程为，即， 联立消得， 设，依题意，即， 且， 所以 ， 因为， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）为定值4；（ii）12. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 所以． （i）显然，在点处的切线的斜率存在，设在点处的切线方程为， 由得， 所以，整理得，解得， 所以在点的切线为，即，同理得在点的切线为， 由得， 所以点的横坐标为定值4． （ii）将代入，得， 直线的方程为， 设直线和交于点，由得， 又，所以为线段的中点． 因为， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为12. 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）因为动点在椭圆上，所以，又，所以， 又，所以，即， 又，联立可得，解得或，又，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）根据椭圆的几何性质：，又，所以椭圆的标准方程为， 设切点， ①当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ②当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ③当且时，过点P作椭圆的切线方程为， 综上所述，过椭圆上一点P作椭圆的切线方程为， 令，可得，即，同理可得， 所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知两点，平面内的动点到定点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点在曲线上，且在第一象限，连接并延长与曲线交于点，以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为. （i）若点的坐标为，求证：； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设，由题意得， 整理得，即， 所以曲线的方程为：. （2）（i）由（1）知， 因为曲线为双曲线，且为焦点，点在右支上， 所以，， . （ii）设点， ，即， ，即①， ， ， ， 将①代入上式得，又， 联立解得， 由（i）知，又， 由题意， 当且仅当等号成立， 所以的最小值为. 6．（2025·山西晋中·模拟预测）已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. (1)若点到轴的距离等于，求的方程； (2)若点满足，求直线斜率的最大值； (3)若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设点，则根据题意有， 由抛物线的定义有，所以， 所以的方程为； （2）设点，由题意可得，则有， 由有，点在抛物线上， 所以， 所以， 当且仅当时，即，等号成立， 所以直线斜率的最大值为； （3）当直线的斜率不存在时，此时，点和点重合，不满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由， ， 所以，， 所以，又点在抛物线上， 所以， 又因为， 所以， 所以，又点在椭圆上， 所以， 所以， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以，所以的最大值为. 考点五 基本不等式的实际应用 1．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）由题意可知：. （2）由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 2．（2024·湖北·模拟预测）（1）已知都是正数，且，求的最小值； （2）设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是.回答下面的问题： ①当封闭曲线为平行四边形时，用直径为的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由. ②求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大 【答案】（1）；（2）①能，理由见解析；②证明见解析 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）①能，理由如下： 设平行四边形的两邻边长分别为，两对角线长分别为，则有， 由三角形两边之和大于第三边可知， 又圆的直径为，故圆形纸片能完全覆盖这个平行四边形； ②如图，任意四边形的各边长分别为， 由图可知，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号， ， 同理，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号， 又， 当且仅当时取等号； ，当且仅当四边形是正方形时取等号， 故当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 3．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小 【详解】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 4（24-25高一下·江苏南京·期中）为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，是固定的框架，，AD是的角平分线，AD的长为2米，过D点安装另一直线型横架BC（B，C分别在AP，AQ上），围成安全区，由于池塘大小限制，AB、AC都不超过8米．设AB长为x米，AC长为y米． (1)将y表示成x的函数，并求其定义域； (2)若AB边上挂网的造价为2百元/米，AC边上挂网的造价为1百元/米，当两侧拦网AB和AC的总造价最低时，横架BC的长度为多少？ 【答案】(1)，定义域； (2) 【详解】（1）由等面积法可知， 即，即， 所以有，因此， 要求定义域，需满足，解得． 故定义域为 （2）由（1）知，故， 所以总造价， 当且仅当时取等，此时， 所以在三角形中，由余弦定理得： ． 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点一 利用基本不等式求代数式最值 1．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·二模）已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．8 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 8．（2025·江西上饶·二模·多选）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 9．（2025·河南·三模·多选）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北保定·模拟预测·多选）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 12．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 13．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y为正实数，，则的取值范围是 ． 14．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）设为锐角，则的最小值为 ，此时 . 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 1．（2025·山东泰安·二模）记的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 2．（2025·河北廊坊·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若，求面积的最大值. 3．（2025·四川成都·三模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且的面积为. (1)求A； (2)若，求的最小值. 4．（2025·江苏南通·二模）在中，，，分别是内角，，的对边，． (1)求角的大小； (2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值． 5．（2025·辽宁大连·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 6．（2025·河南·三模）记的内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若平分交于点，且，求的最大值. 考点三 利用基本不等式求函数中的最值问题 1．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数且，其中是自然对数的底数． (1)当，证明：为定值，并求出函数的对称中心； (2)当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值． 2．（2025·江西宜春·二模）已知函数（且），其中. (1)当时，求的最小值； (2)判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； (3)当时，任意，都有，求实数的取值集合. 3．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 4．（2025·四川南充·二模）已知，函数，. (1)若，求函数的极值； (2)设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值. 考点四 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． (1)求椭圆的标准方程． (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)设的面积与的面积分别为，求的最小值． 2．（2025·湖南·二模）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和点为椭圆上一点，且. (1)设的斜率分别为，求的值； (2)求证：的面积为定值； (3)当直线的斜率时，斜率为的直线与线段交于点，与椭圆交于不同的两点，求的最大值. 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知两点，平面内的动点到定点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点在曲线上，且在第一象限，连接并延长与曲线交于点，以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为. （i）若点的坐标为，求证：； （ii）求的最小值. 6．（2025·山西晋中·模拟预测）已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. (1)若点到轴的距离等于，求的方程； (2)若点满足，求直线斜率的最大值； (3)若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 考点五 基本不等式的实际应用 1．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 2．（2024·湖北·模拟预测）（1）已知都是正数，且，求的最小值； （2）设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是.回答下面的问题： ①当封闭曲线为平行四边形时，用直径为的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由. ②求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大 3．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 4（24-25高一下·江苏南京·期中）为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，是固定的框架，，AD是的角平分线，AD的长为2米，过D点安装另一直线型横架BC（B，C分别在AP，AQ上），围成安全区，由于池塘大小限制，AB、AC都不超过8米．设AB长为x米，AC长为y米． (1)将y表示成x的函数，并求其定义域； (2)若AB边上挂网的造价为2百元/米，AC边上挂网的造价为1百元/米，当两侧拦网AB和AC的总造价最低时，横架BC的长度为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$