指数函数的图像与性质【8个题型】讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：指数型函数的定义域】 知识讲解 一、指数函数的定义与标准形式 1. 定义 形如 （ 且 ， 为自变量）的函数称为指数函数。 核心特征：底数 是常数且满足 且 ，指数为自变量 。 2. 标准形式的定义域 对于 ，由于实数范围内正数的任意实数次幂均有意义，其定义域为全体实数，即 。 二、复合指数函数的定义域分析 当指数函数与其他函数复合时，定义域需结合具体形式求解，遵循以下原则： 1. 形如 的函数 定义域要求：需保证底数 且 （已隐含在指数函数定义中），同时对 无额外限制（因其作为指数，可为任意实数）。 本质：定义域由 的自然定义域决定（即 本身有意义的 范围）。 例： ： 的定义域为 ，故原函数定义域为 。 ： 的定义域为 ，故原函数定义域为 。 2. 形如 的函数（底数含变量） 定义域要求： 底数 （因负数的非整数次幂可能无意义，如 无意义）。 求解步骤： 1. 解不等式 ，得到 的范围。 例： ：需 ，即 ，故定义域为 。 3. 形如 的函数（含多个部分） 定义域要求：分别求出 和 的定义域，取其交集。 例： ： 的定义域：（分母不为0）； 的定义域：； 交集为 ，故原函数定义域为 。 三、定义域求解的关键原则 1. 底数的严格限制 指数函数的底数 必须满足 且 ，若题目中底数含参数（如 ），需先限定 且 。 2. 复合函数的定义域传递 若指数或底数中含其他函数（如分式、根式、对数等），需优先保证这些函数本身有意义，再结合指数函数的特性求解。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【例题3】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 相似练习 【相似题1】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 当时，，与已知矛盾. 当时，， 函数的定义域为， 所以，，两边平方得. 故答案为： 【题型2：指数型函数（复合）函数的单调性与最值】 知识讲解 一、指数型复合函数的基本形式 1. 定义 形如 （ 且 ， 为内层函数）的函数称为指数型复合函数。 由外层指数函数 和内层函数 复合而成。 2. 单调性的决定因素 外层指数函数 的单调性由底数 决定： 当 时， 是 增函数； 当 时， 是 减函数。 内层函数 的单调性需根据其具体形式分析（如一次函数、二次函数、分式函数等）。 二、复合函数单调性的判定法则（同增异减） 1. 核心原理 复合函数 的单调性由外层函数与内层函数的单调性共同决定： 若外层函数与内层函数的单调性相同（同增或同减），则复合函数为 增函数； 若外层函数与内层函数的单调性相反，则复合函数为 减函数。 2. 符号化表达 设 ，则： 当 时， 增，若 增，则 增；若 减，则 减。 当 时， 减，若 增，则 减；若 减，则 增。 三、常见内层函数的单调性分析 1. 内层为一次函数 单调性： 当 时， 为增函数； 当 时， 为减函数。 复合函数单调性： 例1：（，内层 增）→ 复合函数为增函数。 例2：（，内层 减）→ 同增异减后复合函数为增函数。 2. 内层为二次函数 单调性：以对称轴 为分界，开口方向决定增减区间： 当 时， 在 上减，在 上增； 当 时， 在 上增，在 上减。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，开口向下，对称轴 ）： 当 时， 增 → 复合函数增； 当 时， 减 → 复合函数减。 3. 内层为分式函数 （） 单调性： 当 时， 在 和 上减； 当 时， 在 和 上增。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，）： 在 上， 减 → 复合函数增； 在 上， 减 → 复合函数增（注意定义域为 ）。 4. 内层为根式函数 单调性：需先求 的定义域，再分析 的单调性，因根号本身为增函数，故 与 单调性一致。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，定义域 ， 随 增大而增）→ 复合函数为增函数。 四、复合函数单调性的求解步骤 1. 拆分函数：将复合函数拆分为外层指数函数 和内层函数 。 2. 确定底数范围：判断 或 ，明确外层函数单调性。 3. 分析内层单调性：求 的单调区间（注意定义域）。 4. 应用同增异减：结合外层与内层单调性，确定复合函数的单调区间。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在其定义域内单调递减 B．函数的值域为； C．函数的图象是轴对称图形 D．方程有且只有一个实根. 【答案】D 【分析】化简，由单调性进行判断A，B两项，判断函数的奇偶性可判断C项，由，得，构造函数，则在上单调递增，由零点存在定理进行判断D项． 【详解】函数的定义域为，且， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递增，A项错误； 由于， 故， 所以的值域为，B项错误； 由于， 所以是奇函数，图象关于原点对称，C项错误； 由，得， 得， 构造函数，则在上单调递增， ， 所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，D项正确． 故选：D 【例题2】（2025·青海西宁·二模）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“复合函数”的单调性的判断方法：“同加异减”，可求参数的取值范围. 【详解】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得． 故选：B． 【例题3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性的判定方法，结合指数函数与二次函数的图象与性质，列出满足条件的不等式组，即可求解. 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．当时，函数图象过 B．当时，函数在区间上是增函数 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值，则 【答案】CD 【分析】对于A，，代入点判断A，对于B，结合复合函数的单调性判断方法判断即可，对于C，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性求函数的值域，判断C，结合二次函数单调性及指数函数性质求最大值，判断D. 【详解】对于A：当时，． 将代入可得：， 所以函数图象不经过点，A错误． 对于B：当时，． 令， 二次函数的对称轴为，在区间上，随的增大而增大． 又因为指数函数是单调递减函数，根据复合函数“同增异减”的原则， 可知在区间上是减函数，B错误． 选项C：当时，， 因为，所以． 函数在时，， 则，即函数的值域为，C正确． 对于D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令，要使有最大值，则在取最小值时取最大值． 对于二次函数，其对称轴为， 则时，且时，， 因为最大值为，即，所以， 解得，D正确． 故选：CD. 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间. 【详解】函由数，得， 因为单调递增，单调递减，所以单调递增， 当时，，所以当时，， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【相似题3】 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 【答案】 【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可． 【详解】设，则． ∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值． 因此，解得． 的值为. 【题型3：与指数函数有关的比较大小问题】 知识讲解 一、核心方法：利用指数函数的单调性 1. 底数相同，指数不同 原则：若底数 ，指数函数 单调递增，即指数越大，函数值越大； 若 ，指数函数 单调递减，即指数越大，函数值越小。 例： 比较 与 ：底数 ，指数 → 。 比较 与 ：底数 ，指数 → 。 2. 指数相同，底数不同 原则：构造指数函数 （ 为常数），利用幂函数单调性或中间值比较。 若 ，幂函数在 上单调递增，底数越大，函数值越大； 若 ，幂函数在 上单调递减，底数越大，函数值越小。 例： 比较 与 ：指数 ，底数 → 。 比较 与 ：指数 ，底数 → 。 二、底数与指数均不同：引入中间值或变形 1. 中间值法（通常以 或 为中间值） 适用场景：当两个数分别位于 的两侧时，可直接通过与 比较大小。 例： 比较 与 ： ， → 。 2. 化为同底数或同指数 同底数变形：利用指数运算性质（如 ）将底数统一。 例：比较 与 ： ，底数均为 ，指数 → 。 同指数变形：将指数统一，比较底数。 例：比较 与 ： 指数 和 的最小公倍数为 $20$，故 ，（此处需注意变形逻辑，更简单方法：直接计算数值，， → ）。 3. 取对数法 适用场景：当底数和指数均较大，难以直接计算时，可对两边取对数，利用对数函数单调性比较。 例：比较 与 ： 取自然对数：， → → 。 三、含参数的指数式比较大小 1. 分类讨论法 适用场景：当底数含参数（如 中 为参数），需根据底数范围（ 或 ）分类讨论。 例：比较 与 （ 且 ）： 当 时，指数函数递增，故 ； 当 时，指数函数递减，故 。 2. 构造函数法 思路：将含参数的式子视为关于参数的函数，利用函数单调性或图像分析。 例：若 ，比较 与 ： 构造函数 ，其导数 ，当 时，，故 ，即 在 上递减。 由 ，得 → → → 。 例题精选 【例题1】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 【例题2】（2025·河北保定·一模）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的单调性可知： ， 又， 所以， 故选：B 【例题3】（2026高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可得结论. 【详解】因为为减函数，所以， 又因为为增函数，所以， 所以． 故选：A． 相似练习 【相似题1】（2025·宁夏陕西·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：C. 【相似题2】 （24-25高二下·云南·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性比较对数值，指数值与和的大小求解即可. 【详解】因为，，， 所以． 故选：D 【相似题3】 （2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解. 【详解】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 【题型4：与指数函数有关的不等式】 知识讲解 1. 指数函数的基本性质（解不等式的基础） 指数函数形如 （ 且 ），其单调性由底数 决定： 当 时， 是 增函数（即 ）。 当 时， 是 减函数（即 ）。 2. 解指数不等式的核心思路 通过指数函数的单调性，将指数不等式转化为代数不等式求解，步骤如下： 1. 化同底：若不等式两边底数不同，先尝试化为相同底数（利用指数运算性质，如 取对数或变形）。 2. 利用单调性去底数：根据底数 的范围（ 或 ），直接比较指数（注意：若底数为减函数，不等号方向需反转）。 3. 解代数不等式：化简后求解常规不等式（如一元一次、二次不等式等）。 3. 常见类型及解法 类型1：形如 当 时：直接利用增函数性质，得 。 例：解 解：因 ，故 。 当 时：利用减函数性质，得 。 例：解 解：因 ，故 。 类型2：形如 （） 方法：将 表示为同底数的指数形式（如 ），再转化为类型1求解。 例：解 解：，，故 。 类型3：含参数的指数不等式 关键：对底数 的范围（ 或 ）进行分类讨论。 例：解 （ 且 ） 当 时： 或 。 当 时：。 类型4：指数型复合函数不等式（如 ） 方法：通过换元法，令 （），将不等式转化为关于 的代数不等式，再结合 的范围求解。 例：解 解：令 （），则不等式变为 。 回代 ：。 4. 注意事项 1. 底数的范围：必须明确底数 是大于1还是介于0到1之间，否则需分类讨论。 2. 指数函数的值域：，因此不等式中若涉及分母或根号，需注意定义域（如 ）。 3. 取对数法：若无法化同底，可对不等式两边取对数（注意对数函数的定义域和底数对不等号的影响）。 当 时，（）。 当 时，（）。 例题精选 【例题1】（西南名校联盟2025届“3 3 3”高考备考诊断性联考（三）数学试卷）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解. 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【例题2】（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增， 所以在，时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，所以， 所以或， 又，所以， 故选：D. 【例题3】多选题（2025高三·全国·专题练习）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把不等式等价变形，结合函数的单调性可得，逐项判断可得正确答案. 【详解】由得， 令，则． 因为函数在上都是增函数，所以在上是增函数， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． 因为函数在上单调递增，所以由得，故C正确． 因为函数在上单调递减，所以由得，故D正确． 故选：ACD． 相似练习 【相似题1】 （2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先将转化为，再利用指数函数的单调性即可得到不等式，即可求得结果. 【详解】，，即， 即，故不等式的解集为． 故答案为： 【相似题2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得其单调性，化简不等式，分段整理不等式，可得答案. 【详解】由题意易知函数在上单调递减，在上单调递增， 由，且，则或， 当时，，由，则； 当时，，由或，解得或. 综上可得. 故答案为：. 【相似题3】（浙江省金砖联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 【题型5：与指数函数有关的值域最值问题】 知识讲解 一、指数函数的基本值域 1. 标准指数函数的值域 对于 （ 且 ），因其定义域为 ，且 恒成立，故值域为 。 2. 简单变形后的值域 形如 （）： 若 ，值域为 ； 若 ，值域为 。 形如 ：值域为 （向上平移 个单位）。 例： 的值域为 ； 的值域为 。 二、复合指数函数的值域求解方法 1. 形如 （外层为指数函数，内层为 核心思路： 1. 先求内层函数 的值域 ； 2. 将 作为外层指数函数 的定义域，结合 的单调性求值域。 例： 求 的值域： 内层 ，值域为 ； 外层 为增函数，当 时，，故值域为 。 2. 形如 （内层为指数函数，外层为其他函数） 核心思路： 1. 令 ，则 ，将原函数转化为 （）； 2. 求函数 在 上的值域。 例： 求 的值域： 令 ，则 ，原函数化为 ； 当 时，，故值域为 。 3. 含参数的复合指数函数值域 关键：分析参数对内外层函数单调性和取值范围的影响，必要时分类讨论。 例： 若 （ 且 ）的值域为 ，求 的取值范围： 令 ，则 ，函数化为 ； 当 时， 的最小值趋近于 （当 ），且无最大值，故值域恒为 ，因此 的取值范围为 且 。 三、指数函数的最值问题 1. 闭区间上的最值（利用单调性） 原则： 若底数 ，指数函数在闭区间 $ [m, n] $ 上单调递增，最大值为 ，最小值为 ； 若 ，指数函数在闭区间 $ [m, n] $ 上单调递减，最大值为 ，最小值为 。 例： 求 在 上的最值： ，故最大值为 ，最小值为 。 求 在 上的最值： ，故最大值为 ，最小值为 。 2. 复合函数的最值（配方法或导数法） 配方法：适用于内层为二次函数的复合函数。 例：求 的最大值： 内层 ，最大值为 （当 时）； 外层 为增函数，故当 时， 取得最大值 ，无最小值（因 时，）。 导数法：适用于复杂复合函数（如指数函数与分式、根式等结合）。 例：求 在 上的最值： 求导 ； 令 ，得 （不在区间内），故极值在端点处： 时，； 时，； 故最大值为 ，最小值为 。 3. 含参数的最值问题（分类讨论） 例：已知 （）在 上的最小值为 ，求 的值： 令 ，当 时： 若 ，则 ，函数化为 ，在 时取最小值 ，符合题意； 若 ，则 ，函数在 时取最小值 ，也符合题意； 综上， 且 。 四、值域与最值问题的关键技巧 1. 换元法：将指数型复合函数转化为常见函数（如二次函数），注意新变量的取值范围（如 ）。 2. 单调性结合图像：通过指数函数的单调性和图像，直观判断值域的上下限。 3. 分类讨论参数：当底数含参数时，需分 和 讨论，避免漏解。 4. 注意定义域限制：若题目中定义域非全体实数，需结合定义域求值域（如 时， 当 ）。 例题精选 【例题1】（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 【例题2】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 【例题3】多选题（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据不等式与方程的关系可知，再用表示，再根据选项，即可判断. 【详解】由题意可知，，得，， 因为，所以，故A正确； ，即，，故B正确， ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·江西宜春·期末）若（其中、为非零常数），则对于函数，以下结论正确的是（ ） A．若，则为偶函数 B．若，则函数的最小值为 C．若，，则函数的零点为和 D．若为奇函数，且使成立，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由偶函数定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，令结合指数对数互换即可判断；对于D，将不等式等价转换为在时有解，结合基本不等式即可得解. 【详解】对于A，若，定义域为，关于原点对称， 且此时，即为偶函数，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，，则， 令，解得或，即或， 所以函数的零点为和，故C正确； 对于D，若为奇函数，则，即，经检验符合题意， 由题意不等式在上有解， 而当时，有，所以在上有解， 不妨设，则， 所以在上有解， 由基本不等式得， 等号成立当且仅当时，即当时，即时等号成立， 则，则，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：D选项的关键是首先将不等式转换为在时有解，由此即可顺利得解. 【相似题2】 （2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 【相似题3】 （24-25高一上·江西景德镇·期末）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由奇偶性得，联立即可求解解析式； （2）由求得和，再结合立方差公式即可计算求解. （3）令，构造函数，分、和三种情况结合一元二次函数性质研究函数的单调性求出即可得解. 【详解】（1）由①，得②， ①②得，即. ①②得，即. （2）由（1）得，即， 因为又因为 所以 则. （3）由题，， 令，则在上单调递增，. 则， 当，即时，在上单调递减，. 当，即时，在上单调递增，. 当，即时， 综上：时，；时，；时，. 【题型6：与指数函数有关的奇偶性问题】 知识讲解 1. 奇偶性定义 奇函数：（定义域关于原点对称）。 偶函数：（定义域关于原点对称）。 2. 标准指数函数的奇偶性 （且）：非奇非偶（因 ）。 3. 常见变形函数的奇偶性 偶函数：（如 ）。 奇函数：（如 ）。 4. 复合函数的奇偶性 若内层函数 是偶函数，则 是偶函数。 内层为奇函数时， 通常非奇非偶（除非特殊构造）。 5. 参数求解（利用定义） 例：若 是奇函数，则 （通过 列方程求解）。 6. 关键结论 指数函数奇偶性需通过 加减变形 或 复合构造 实现，单纯 无奇偶性。 零函数（如 ）既是奇函数又是偶函数（需定义域对称）。 例题精选 【例题1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 【例题2】（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 【例题3】（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由“函数为偶函数”，可得，结合充分条件与必要条件的性质即可判断. 【详解】若函数为偶函数，由定义域为，则有， 即，即对任意的恒成立， 即有，故， 由“”是“”的充分不必要条件， 故“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】构造函数，并判断函数的奇偶性，再借助奇函数性质计算即得. 【详解】设，显然的定义域为， 则，即是奇函数， 由，得，， 所以. 故选：B 【相似题3】 （21-22高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由给定函数，求出为偶函数时的a值，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】函数定义域为R，函数为偶函数， 则,， 而不恒为0，因此，，解得或， 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 【题型7：与指数函数有关的图像问题】 知识讲解 1. 标准指数函数 （且） 过定点，轴是渐近线。 时，增函数；时，减函数。 2. 底数影响 与关于轴对称。 ，底数越大轴右侧上升越快；，底数越小轴右侧下降越快。 3. 图像变换 平移：左右移，上下移。 对称：关于轴对称，关于轴对称。 翻折：关于轴对称。 4. 复合函数 由和单调性共同决定。 值域决定图像上下位置。 5. 交点与应用 与直线或其他指数函数交点可通过图像或数值求解。 利用图像判断方程解的个数。 6. 解题技巧 利用单调性和定点判断图像。 拆解复杂图像变换步骤。 数形结合解题。 例题精选 【例题1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 【例题2】（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 故选：D. 【例题3】（2025·陕西榆林·二模）已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上有解，转化为函数与的图象在上有交点，然后结合图象求解即可. 【详解】根据题意知在上有解，因此在上有解， 故函数与的图象在上有交点， 函数的图象过点， 将点代入得，， 令得，，由图象可知，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查指数函数和对数函数的图象的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有交点，结合图象求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题. 相似练习 【相似题1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，数形结合可得出不等式的解集. 【详解】作出函数与的图象，如图， 当时，，作出函数与的图象， 由图象可知，此时解得； 当时，，作出函数与的图象， 它们的交点坐标为，，结合图象知此时． 所以不等式的解集为． 故选：C. 【相似题2】 （24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 【相似题3】 （24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）设函数，若的图象与（为常数）的图象有两个交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，数形结合，可得，即可求解. 【详解】将指数函数的图象向下平移个单位可得到的图象， 再将的图象在轴下方的部分翻折到轴上方可得到函数的图象， 所以作出函数的图象如下， 因为函数的图象与（为常数）的图象有两个交点， 所以，所以，即， 故选:A. 【相似题4】 （2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案； （2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案. 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： （2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到，而， 其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则的图象如图所示： 【题型8：与指数函数有关的对称性周期性问题】 知识讲解 一、指数函数的对称性 1. 自身对称性 标准指数函数 ： 非奇非偶，无对称轴或对称中心（除 时退化为常函数 ，关于 轴对称，但 是指数函数定义要求）。 2. 变形后的对称性 形如 ： 是偶函数，图像关于 轴对称（如 ）。 形如 ： 是奇函数，图像关于原点对称（如 ）。 3. 不同底数指数函数的对称性 与 关于 轴对称（如 与 ）。 二、指数函数的周期性 1. 标准指数函数无周期性 （ 且 ）是非周期函数，因其值随 增大或减小单调变化，不重复。 2. 复合指数函数的周期性 仅当内层函数为周期函数时，复合函数可能具有周期性： 例1：，内层 是周期为 的函数，故 也是周期为 的函数。 3. 周期性的判定条件 若 是周期为 的函数，则 的周期为 （需 且 ）。 注意：指数函数本身不提供周期性，周期性完全由内层函数决定。 三、对称性与周期性的综合应用 1. 利用对称性简化图像分析 例：已知 是偶函数，只需画出 部分图像，再关于 轴对称即可。 2. 周期性与值域结合 例：，因 ，故 ，且周期为 。 3. 对称性与方程求解 例：解方程 ，利用偶函数对称性，可知 是解，且为唯一解（因函数在 单调递增，最小值为 ）。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津宁河·期中）函数与的图象（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据两函数图象上的点的对应关系即可判断. 【详解】易知， 显然函数上的点关于y轴的对称点都在函数图象上， 可知函数与的图象关于y轴对称. 故选：B 【例题2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为M，则下列说法正确的是（    ） A．M的值与a，b均无关，且函数的最小值为 B．M的值与a，b有关，且函数的最小值为 C．M的值与a，b有关，且函数的最小值为 D．M的仅与a有关，且函数的最小值为 【答案】C 【分析】化简计算，判断函数除常数项外为奇函数，根据奇函数性质判断各选项即可. 【详解】由题得， ∴， 故， 设，， 则为奇正数，；当取得最大值时，最大； 显然，的值不同时，的最大值不同； ∴取得最大值时与a，b有关，且的最大值与最小值互为相反数； ∴最大值与最小值之和为2，则最小值为， 故选：C． 【例题3】（2023·福建龙岩·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（    ） A．253 B．506 C．507 D．759 【答案】B 【分析】由得的周期，再根据时，零点的个数，从而可得答案. 【详解】由得， 所以，即是以8为周期的周期函数， 当时，有两个零点2和4， 当时，，令， 则有， 当时，，， 所以无解， 所以当时，无零点， 又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点， 因此有上，有个零点． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，奇函数，当时，，若有且仅有个实数满足，且，，⋯，，则 ． 【答案】12 【分析】由已知可得在上单调递增的奇函数，是周期为4，，，通过数形结合即可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 即为奇函数， ，则在上单调递增. 因为，所以的图象关于直线对称， 又为奇函数，所以， 所以是周期为4的函数. 当时，，所以， 即，解得， 所以当时，，此时是增函数， 所以在上是增函数. 所以函数与的大致图象如图所示. 因为与的图象都关于点对称，且周期为4， 因为有且仅有个实数满足，且，，⋯，， 所以，, 由图可知，两函数图象共有12个交点，所以， 所以. 故答案为：12 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可. 【详解】对于，可以把的图象看作： 由的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到； 对于的图象可看作由 的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到． 易知与都为奇函数， 则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0． 因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小， 所以与的图象交点的纵坐标之和为0， 又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1， 则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1， 故与的图象交点的纵坐标之和为2． 故答案为：2 【相似题3】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 10．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 12．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 16．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 18．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 19．（2023·福建厦门·一模）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 20．（2023·福建·一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数 ． ①若，则；②；③在上单调递减． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D D D D A C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 B C C D AC AD BCD 1．D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 2．B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 3．A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 7．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8．A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 9．C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 10．D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 11．B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 12．C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 13．C 【分析】化简集合A，B，根据并集运算化简. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 14．D 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 15．AC 【分析】根据题意，令即可判断A，令，，即可判断B，令结合函数奇偶性的定义即可判断C，令即可判断D 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：，，则有，即， 由，，故，即，故B错误； 对C：令，则有，即， 即，又函数的定义域为，则函数的定义域为， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有，即， 即有，则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误. 故选：AC 16．AD 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD.    【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用. 17．BCD 【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】根据题意，设，其中，则，，， 在同一坐标系中分别画出函数，，的图象， 当时，；当时，；当时，， 由此可以看出，不可能出现这种情况. 故选：BCD.    18．1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 19．（答案不唯一） 【分析】取，求出函数的值域，验证成立，即可得出结果. 【详解】取函数，因为，则，即函数的值域为， 因为，，则， 所以，函数的解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 20．（答案不唯一） 【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可. 【详解】比如，，故，又，也即成立， 又在上单调递减． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：指数型函数的定义域】 知识讲解 一、指数函数的定义与标准形式 1. 定义 形如 （ 且 ， 为自变量）的函数称为指数函数。 核心特征：底数 是常数且满足 且 ，指数为自变量 。 2. 标准形式的定义域 对于 ，由于实数范围内正数的任意实数次幂均有意义，其定义域为全体实数，即 。 二、复合指数函数的定义域分析 当指数函数与其他函数复合时，定义域需结合具体形式求解，遵循以下原则： 1. 形如 的函数 定义域要求：需保证底数 且 （已隐含在指数函数定义中），同时对 无额外限制（因其作为指数，可为任意实数）。 本质：定义域由 的自然定义域决定（即 本身有意义的 范围）。 例： ： 的定义域为 ，故原函数定义域为 。 ： 的定义域为 ，故原函数定义域为 。 2. 形如 的函数（底数含变量） 定义域要求： 底数 （因负数的非整数次幂可能无意义，如 无意义）。 求解步骤： 1. 解不等式 ，得到 的范围。 例： ：需 ，即 ，故定义域为 。 3. 形如 的函数（含多个部分） 定义域要求：分别求出 和 的定义域，取其交集。 例： ： 的定义域：（分母不为0）； 的定义域：； 交集为 ，故原函数定义域为 。 三、定义域求解的关键原则 1. 底数的严格限制 指数函数的底数 必须满足 且 ，若题目中底数含参数（如 ），需先限定 且 。 2. 复合函数的定义域传递 若指数或底数中含其他函数（如分式、根式、对数等），需优先保证这些函数本身有意义，再结合指数函数的特性求解。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【相似题3】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ． 【题型2：指数型函数（复合）函数的单调性与最值】 知识讲解 一、指数型复合函数的基本形式 1. 定义 形如 （ 且 ， 为内层函数）的函数称为指数型复合函数。 由外层指数函数 和内层函数 复合而成。 2. 单调性的决定因素 外层指数函数 的单调性由底数 决定： 当 时， 是 增函数； 当 时， 是 减函数。 内层函数 的单调性需根据其具体形式分析（如一次函数、二次函数、分式函数等）。 二、复合函数单调性的判定法则（同增异减） 1. 核心原理 复合函数 的单调性由外层函数与内层函数的单调性共同决定： 若外层函数与内层函数的单调性相同（同增或同减），则复合函数为 增函数； 若外层函数与内层函数的单调性相反，则复合函数为 减函数。 2. 符号化表达 设 ，则： 当 时， 增，若 增，则 增；若 减，则 减。 当 时， 减，若 增，则 减；若 减，则 增。 三、常见内层函数的单调性分析 1. 内层为一次函数 单调性： 当 时， 为增函数； 当 时， 为减函数。 复合函数单调性： 例1：（，内层 增）→ 复合函数为增函数。 例2：（，内层 减）→ 同增异减后复合函数为增函数。 2. 内层为二次函数 单调性：以对称轴 为分界，开口方向决定增减区间： 当 时， 在 上减，在 上增； 当 时， 在 上增，在 上减。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，开口向下，对称轴 ）： 当 时， 增 → 复合函数增； 当 时， 减 → 复合函数减。 3. 内层为分式函数 （） 单调性： 当 时， 在 和 上减； 当 时， 在 和 上增。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，）： 在 上， 减 → 复合函数增； 在 上， 减 → 复合函数增（注意定义域为 ）。 4. 内层为根式函数 单调性：需先求 的定义域，再分析 的单调性，因根号本身为增函数，故 与 单调性一致。 复合函数单调性： 例：（，内层 ，定义域 ， 随 增大而增）→ 复合函数为增函数。 四、复合函数单调性的求解步骤 1. 拆分函数：将复合函数拆分为外层指数函数 和内层函数 。 2. 确定底数范围：判断 或 ，明确外层函数单调性。 3. 分析内层单调性：求 的单调区间（注意定义域）。 4. 应用同增异减：结合外层与内层单调性，确定复合函数的单调区间。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在其定义域内单调递减 B．函数的值域为； C．函数的图象是轴对称图形 D．方程有且只有一个实根. 【例题2】（2025·青海西宁·二模）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．当时，函数图象过 B．当时，函数在区间上是增函数 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值，则 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为 . 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 【题型3：与指数函数有关的比较大小问题】 知识讲解 一、核心方法：利用指数函数的单调性 1. 底数相同，指数不同 原则：若底数 ，指数函数 单调递增，即指数越大，函数值越大； 若 ，指数函数 单调递减，即指数越大，函数值越小。 例： 比较 与 ：底数 ，指数 → 。 比较 与 ：底数 ，指数 → 。 2. 指数相同，底数不同 原则：构造指数函数 （ 为常数），利用幂函数单调性或中间值比较。 若 ，幂函数在 上单调递增，底数越大，函数值越大； 若 ，幂函数在 上单调递减，底数越大，函数值越小。 例： 比较 与 ：指数 ，底数 → 。 比较 与 ：指数 ，底数 → 。 二、底数与指数均不同：引入中间值或变形 1. 中间值法（通常以 或 为中间值） 适用场景：当两个数分别位于 的两侧时，可直接通过与 比较大小。 例： 比较 与 ： ， → 。 2. 化为同底数或同指数 同底数变形：利用指数运算性质（如 ）将底数统一。 例：比较 与 ： ，底数均为 ，指数 → 。 同指数变形：将指数统一，比较底数。 例：比较 与 ： 指数 和 的最小公倍数为 $20$，故 ，（此处需注意变形逻辑，更简单方法：直接计算数值，， → ）。 3. 取对数法 适用场景：当底数和指数均较大，难以直接计算时，可对两边取对数，利用对数函数单调性比较。 例：比较 与 ： 取自然对数：， → → 。 三、含参数的指数式比较大小 1. 分类讨论法 适用场景：当底数含参数（如 中 为参数），需根据底数范围（ 或 ）分类讨论。 例：比较 与 （ 且 ）： 当 时，指数函数递增，故 ； 当 时，指数函数递减，故 。 2. 构造函数法 思路：将含参数的式子视为关于参数的函数，利用函数单调性或图像分析。 例：若 ，比较 与 ： 构造函数 ，其导数 ，当 时，，故 ，即 在 上递减。 由 ，得 → → → 。 例题精选 【例题1】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·河北保定·一模）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2026高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·宁夏陕西·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·云南·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【题型4：与指数函数有关的不等式】 知识讲解 1. 指数函数的基本性质（解不等式的基础） 指数函数形如 （ 且 ），其单调性由底数 决定： 当 时， 是 增函数（即 ）。 当 时， 是 减函数（即 ）。 2. 解指数不等式的核心思路 通过指数函数的单调性，将指数不等式转化为代数不等式求解，步骤如下： 1. 化同底：若不等式两边底数不同，先尝试化为相同底数（利用指数运算性质，如 取对数或变形）。 2. 利用单调性去底数：根据底数 的范围（ 或 ），直接比较指数（注意：若底数为减函数，不等号方向需反转）。 3. 解代数不等式：化简后求解常规不等式（如一元一次、二次不等式等）。 3. 常见类型及解法 类型1：形如 当 时：直接利用增函数性质，得 。 例：解 解：因 ，故 。 当 时：利用减函数性质，得 。 例：解 解：因 ，故 。 类型2：形如 （） 方法：将 表示为同底数的指数形式（如 ），再转化为类型1求解。 例：解 解：，，故 。 类型3：含参数的指数不等式 关键：对底数 的范围（ 或 ）进行分类讨论。 例：解 （ 且 ） 当 时： 或 。 当 时：。 类型4：指数型复合函数不等式（如 ） 方法：通过换元法，令 （），将不等式转化为关于 的代数不等式，再结合 的范围求解。 例：解 解：令 （），则不等式变为 。 回代 ：。 4. 注意事项 1. 底数的范围：必须明确底数 是大于1还是介于0到1之间，否则需分类讨论。 2. 指数函数的值域：，因此不等式中若涉及分母或根号，需注意定义域（如 ）。 3. 取对数法：若无法化同底，可对不等式两边取对数（注意对数函数的定义域和底数对不等号的影响）。 当 时，（）。 当 时，（）。 例题精选 【例题1】（西南名校联盟2025届“3 3 3”高考备考诊断性联考（三）数学试卷）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（2025高三·全国·专题练习）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【相似题2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【相似题3】（浙江省金砖联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【题型5：与指数函数有关的值域最值问题】 知识讲解 一、指数函数的基本值域 1. 标准指数函数的值域 对于 （ 且 ），因其定义域为 ，且 恒成立，故值域为 。 2. 简单变形后的值域 形如 （）： 若 ，值域为 ； 若 ，值域为 。 形如 ：值域为 （向上平移 个单位）。 例： 的值域为 ； 的值域为 。 二、复合指数函数的值域求解方法 1. 形如 （外层为指数函数，内层为 核心思路： 1. 先求内层函数 的值域 ； 2. 将 作为外层指数函数 的定义域，结合 的单调性求值域。 例： 求 的值域： 内层 ，值域为 ； 外层 为增函数，当 时，，故值域为 。 2. 形如 （内层为指数函数，外层为其他函数） 核心思路： 1. 令 ，则 ，将原函数转化为 （）； 2. 求函数 在 上的值域。 例： 求 的值域： 令 ，则 ，原函数化为 ； 当 时，，故值域为 。 3. 含参数的复合指数函数值域 关键：分析参数对内外层函数单调性和取值范围的影响，必要时分类讨论。 例： 若 （ 且 ）的值域为 ，求 的取值范围： 令 ，则 ，函数化为 ； 当 时， 的最小值趋近于 （当 ），且无最大值，故值域恒为 ，因此 的取值范围为 且 。 三、指数函数的最值问题 1. 闭区间上的最值（利用单调性） 原则： 若底数 ，指数函数在闭区间 $ [m, n] $ 上单调递增，最大值为 ，最小值为 ； 若 ，指数函数在闭区间 $ [m, n] $ 上单调递减，最大值为 ，最小值为 。 例： 求 在 上的最值： ，故最大值为 ，最小值为 。 求 在 上的最值： ，故最大值为 ，最小值为 。 2. 复合函数的最值（配方法或导数法） 配方法：适用于内层为二次函数的复合函数。 例：求 的最大值： 内层 ，最大值为 （当 时）； 外层 为增函数，故当 时， 取得最大值 ，无最小值（因 时，）。 导数法：适用于复杂复合函数（如指数函数与分式、根式等结合）。 例：求 在 上的最值： 求导 ； 令 ，得 （不在区间内），故极值在端点处： 时，； 时，； 故最大值为 ，最小值为 。 3. 含参数的最值问题（分类讨论） 例：已知 （）在 上的最小值为 ，求 的值： 令 ，当 时： 若 ，则 ，函数化为 ，在 时取最小值 ，符合题意； 若 ，则 ，函数在 时取最小值 ，也符合题意； 综上， 且 。 四、值域与最值问题的关键技巧 1. 换元法：将指数型复合函数转化为常见函数（如二次函数），注意新变量的取值范围（如 ）。 2. 单调性结合图像：通过指数函数的单调性和图像，直观判断值域的上下限。 3. 分类讨论参数：当底数含参数时，需分 和 讨论，避免漏解。 4. 注意定义域限制：若题目中定义域非全体实数，需结合定义域求值域（如 时， 当 ）。 例题精选 【例题1】（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【例题2】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·江西宜春·期末）若（其中、为非零常数），则对于函数，以下结论正确的是（ ） A．若，则为偶函数 B．若，则函数的最小值为 C．若，，则函数的零点为和 D．若为奇函数，且使成立，则的最小值为 【相似题2】（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【相似题3】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【题型6：与指数函数有关的奇偶性问题】 知识讲解 1. 奇偶性定义 奇函数：（定义域关于原点对称）。 偶函数：（定义域关于原点对称）。 2. 标准指数函数的奇偶性 （且）：非奇非偶（因 ）。 3. 常见变形函数的奇偶性 偶函数：（如 ）。 奇函数：（如 ）。 4. 复合函数的奇偶性 若内层函数 是偶函数，则 是偶函数。 内层为奇函数时， 通常非奇非偶（除非特殊构造）。 5. 参数求解（利用定义） 例：若 是奇函数，则 （通过 列方程求解）。 6. 关键结论 指数函数奇偶性需通过 加减变形 或 复合构造 实现，单纯 无奇偶性。 零函数（如 ）既是奇函数又是偶函数（需定义域对称）。 例题精选 【例题1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例题3】（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（    ） A． B． C．4 D．6 【相似题3】 （21-22高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型7：与指数函数有关的图像问题】 知识讲解 1. 标准指数函数 （且） 过定点，轴是渐近线。 时，增函数；时，减函数。 2. 底数影响 与关于轴对称。 ，底数越大轴右侧上升越快；，底数越小轴右侧下降越快。 3. 图像变换 平移：左右移，上下移。 对称：关于轴对称，关于轴对称。 翻折：关于轴对称。 4. 复合函数 由和单调性共同决定。 值域决定图像上下位置。 5. 交点与应用 与直线或其他指数函数交点可通过图像或数值求解。 利用图像判断方程解的个数。 6. 解题技巧 利用单调性和定点判断图像。 拆解复杂图像变换步骤。 数形结合解题。 例题精选 【例题1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【例题3】（2025·陕西榆林·二模）已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）设函数，若的图象与（为常数）的图象有两个交点，则（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【题型8：与指数函数有关的对称性周期性问题】 知识讲解 一、指数函数的对称性 1. 自身对称性 标准指数函数 ： 非奇非偶，无对称轴或对称中心（除 时退化为常函数 ，关于 轴对称，但 是指数函数定义要求）。 2. 变形后的对称性 形如 ： 是偶函数，图像关于 轴对称（如 ）。 形如 ： 是奇函数，图像关于原点对称（如 ）。 3. 不同底数指数函数的对称性 与 关于 轴对称（如 与 ）。 二、指数函数的周期性 1. 标准指数函数无周期性 （ 且 ）是非周期函数，因其值随 增大或减小单调变化，不重复。 2. 复合指数函数的周期性 仅当内层函数为周期函数时，复合函数可能具有周期性： 例1：，内层 是周期为 的函数，故 也是周期为 的函数。 3. 周期性的判定条件 若 是周期为 的函数，则 的周期为 （需 且 ）。 注意：指数函数本身不提供周期性，周期性完全由内层函数决定。 三、对称性与周期性的综合应用 1. 利用对称性简化图像分析 例：已知 是偶函数，只需画出 部分图像，再关于 轴对称即可。 2. 周期性与值域结合 例：，因 ，故 ，且周期为 。 3. 对称性与方程求解 例：解方程 ，利用偶函数对称性，可知 是解，且为唯一解（因函数在 单调递增，最小值为 ）。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津宁河·期中）函数与的图象（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【例题2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为M，则下列说法正确的是（    ） A．M的值与a，b均无关，且函数的最小值为 B．M的值与a，b有关，且函数的最小值为 C．M的值与a，b有关，且函数的最小值为 D．M的仅与a有关，且函数的最小值为 【例题3】（2023·福建龙岩·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（    ） A．253 B．506 C．507 D．759 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，奇函数，当时，，若有且仅有个实数满足，且，，⋯，，则 ． 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 【相似题3】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 10．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 12．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 16．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 18．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 19．（2023·福建厦门·一模）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 20．（2023·福建·一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数 ． ①若，则；②；③在上单调递减． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$