精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中调研测试 八年级数学 （满分150分时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在对应的括号内） 1. 一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出球（　　） A. 一定是绿球 B. 一定是黄球 C. 一定是红球 D. 红球的可能性大 2. 为了解2025年春学期盐城市八年级学生的视力水平，从中随机抽取了500名学生进行检测．下列说法正确的是（　　） A. 2025年春学期盐城市八年级学生的全体是总体 B. 样本容量是500 C. 被抽取500名学生是总体的一个样本 D. 其中的每一名八年级学生是个体 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 5. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 7. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、分别是、的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是________． 11. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为___________石． 12. 体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为___________． 13. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______． 14. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 15. 如图，在菱形中，E，F，G，H分别是边，，和的中点，连接，，和．若，，则菱形的面积为______． 16. 如图，在矩形中，E为上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则________． 17. 如图，在菱形ABCD中∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是_______． 18. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果随机取出1个黑球，从  盒中抽取成功的机会大； （2）小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 20. 某校为了培养学生的阅读兴趣，养成终身学习的习惯，开展了“每日阅读”活动．学校数学兴趣小组对部分学生关于最喜欢的书籍种类进行了问卷调查，书籍种类分为五大类：．政史类；．文学类；．科技类；．艺术类；．其他类，根据收集到的数据统计，绘制了如下不完整的统计表和统计图． 种类 人数 20 15 5 请根据上述信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生共有___________名，___________； （2）求扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该校共有3000名学生，请估计全校喜欢看政史类书籍的学生人数． 21. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，使点落在边上，连接，求的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作出以点C为对称中心的图形 （2）平移，若点A对应点A2的坐标为，画出平移后对应的 （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 23. 如图，在中，及分别是中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）求证： 24. 如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 25. 如图，中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则______． 26. 如图，在中，对角线交于点，分别是的中点，交于点． （1）求证：线段与线段互相平分； （2）若，求的长度 27. （1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________． 28. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中调研测试 八年级数学 （满分150分时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在对应的括号内） 1. 一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A. 一定是绿球 B. 一定是黄球 C. 一定是红球 D. 红球的可能性大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，可能性的大小，理解概率的意义是解题的关键， 【详解】解：从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是绿球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是黄球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是红球，故该选项不符合题意； ．因为9个球中，红球的数量最多，则摸出的球是红球的可能性大，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 为了解2025年春学期盐城市八年级学生的视力水平，从中随机抽取了500名学生进行检测．下列说法正确的是（　　） A. 2025年春学期盐城市八年级学生的全体是总体 B. 样本容量是500 C. 被抽取的500名学生是总体的一个样本 D. 其中的每一名八年级学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据样本，个体，总体和样本容量的概念分别判断． 【详解】解：A、2025年春学期盐城市八年级学生的视力水平是总体，故选项错误，不符合题意； B、样本容量500，故选项正确，符合题意； C、被抽取的500名学生的视力水平是总体的一个样本，故选项错误，不符合题意； D、其中的每一名八年级学生的视力水平是个体，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 5. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，证明四边形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断A不符合题意；由，，证明四边形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断B不符合题意；由，，，证明，得，可知四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断C符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 故A不符合题意； 如图，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故B不符合题意； 如图， 在和中， ， ， ， ， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 不能保证四边形是矩形， 故C符合题意； 如图，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故D不符合题意， 故选：C． 6. 如图，在中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， ∵， ， ， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：B． 7. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、分别是、的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，由矩形的性质和勾股定理求出，由矩形的性质得出是的中点，是的中点，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：连接、、，如图所示： 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ， ，，与互相平分，与互相平分，，， 点、分别是、的中点， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，由三角形中位线定理求出是解决问题的关键． 8. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明得到，进而可得，利用等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线性质证得，证明，得，，利用三角形的内角和定理可求得，利用三线合一得到，进而得到即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 即， 为中点， ， ，为中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，，为中点， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关性质的联系与运用是解答的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 10. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是________． 【答案】0.4## 【解析】 【分析】先求出第四组的频数，再利用频率频数总次数进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，第4组的频数为， 第4小组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 11. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为___________石． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用200乘以样本中夹谷的粒数占比即可得到答案． 【详解】解：（石）， ∴这批米内夹谷约为200石， 故答案为：200． 12. 体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， 现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为， 故答案为：． 13. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，则，即可求解，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等． 【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 15. 如图，在菱形中，E，F，G，H分别是边，，和的中点，连接，，和．若，，则菱形的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】连接、，交于点O，根据中位线的性质求出，，根据菱形面积公式求出． 【详解】解：连接、，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，和的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 16. 如图，在矩形中，E为上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键在于掌握矩形的性质和勾股定理的应用． 先根据，导角证明平分，则，在对分别运用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在菱形ABCD中∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD，OA=OC，AC⊥BD，设CD=x，由勾股定理求出，得出，由旋转得AE=AB=x，从而得，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，由DP=1得PC=x-1，建立方程求出x的值即可． 【详解】方法一：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CB=CD=DA，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD， 设CD=x，则DO=， ∴ ∴， 由旋转的性质得：AE=AB=x，∠EAG=∠BAD=60°， ∴CE=AC-AE=， ∵四边形AEFG菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP=∠EAG=60°， ∴∠CEP+∠ACD=90°， ∴∠CPE=90°， ∴，PC=， ∵DP=1 ∴ ∴ 解得， ∴菱形的边长是， 故答案为：． 方法二：连接AF ∵将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，∠BAD＝60°， ∴，， ∴ ∵ ∴A、D、F三点共线 ∴,， ∵ ∴（AAS） ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴菱形的边长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键．连接，，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解的最小值． 【详解】解：连接，，，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， ， P是线段的中点，， ， ，，G，H为垂足， ， 四边形是矩形， ， 当，，三点共线时，最小， 此时，， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果随机取出1个黑球，从  盒中抽取成功的机会大； （2）小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）甲 （2）小明的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【小问1详解】 解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． 【小问2详解】 解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 20. 某校为了培养学生的阅读兴趣，养成终身学习的习惯，开展了“每日阅读”活动．学校数学兴趣小组对部分学生关于最喜欢的书籍种类进行了问卷调查，书籍种类分为五大类：．政史类；．文学类；．科技类；．艺术类；．其他类，根据收集到的数据统计，绘制了如下不完整的统计表和统计图． 种类 人数 20 15 5 请根据上述信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生共有___________名，___________； （2）求扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该校共有3000名学生，请估计全校喜欢看政史类书籍的学生人数． 【答案】（1） （2） （3）375人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体、求扇形统计图的圆心角，扇形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用文学类的人数除以占比，得出本次被调查的学生人数，再与科技类的占比相乘，得出的值，即可作答． （2）先求出的占比，再与相乘，即可得出扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数， （3）运用样本估计总体的性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名）， （名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 答： 扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数为 ； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计全校喜欢看政史类书籍的学生人数约为375人． 21. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，使点落在边上，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，由旋转的性质，可得，，，得到，求出． 【详解】解： ， 由旋转的性质，可得 ，， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作出以点C为对称中心的图形 （2）平移，若点A对应点A2的坐标为，画出平移后对应的 （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得； （2）由点A的对称点的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对称点，顺次连接可得； （3）连接、，交点即所求． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点P即为对称中心， ∵，，， ∴p的坐标为（， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转和平移的性质作出变换后的对应点． 23. 如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【小问1详解】 ∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 ∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 24. 如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 【小问1详解】 证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 25. 如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则______． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理： （1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，则，进而求出，，则，在中，根据勾股定理得 ，解方程即可得到． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：设，则 ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 26. 如图，在中，对角线交于点，分别是的中点，交于点． （1）求证：线段与线段互相平分； （2）若，求的长度 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，，由平行四边形的性质可得，，由中位线定理可知，，，可得，，可知四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）由（1）知，，得，由平行四边形性质结合，得，根据等腰三角形的性质可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可得． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，分别是，，的中点，即为的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴线段与线段互相平分； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴； 27. （1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，，进而推出，得到即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得到，连接，同法可得，得到，延长至点，使，连接，易得垂直平分，得到，进而推出，利用勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）过点作，如图， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点E、F分别是、的中点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （3）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，同法可得：， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， 则：垂直平分， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为：. 【点睛】本题全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 28. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$