精品解析：湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）

名校联考联合体2025年春节高二年级期中联考 数学（A卷） 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据交集的定义求解即可. 【详解】由已知当或时，，当时，无意义， 当时，，当时，， 所以. 故选：. 2. 复数，其中为虚数单位，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示列方程组即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以，可得，所以， 故选：B. 4. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期公式即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 5. 小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ） A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件，根据全概率公式计算可得. 【详解】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件， 则、、、， 所以， 即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为. 故选：A 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由双曲线的定义可求得，，在中应用余弦定理可得，由即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 又，， 所以， 所以，所以，所以. 故选：. 7. 棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，即可求出，从而求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而得解. 【详解】依题意可得，， 在中由余弦定理， 所以， 则外接圆的半径， 又且平面， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：D 8. 已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（ ） A. B. 不存在实数，使为递减数列 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 【答案】C 【解析】 【分析】赋值法计算判断A，先应用计算化简得出数列分奇偶得出等差数列，再分类求出通项即可判断B，C，再结合指数运算判断D. 【详解】由得， 相减可得，， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列， 且，， 所以，， 所以，所以不可能为递减数列，即不存在实数，使为递减数列，故B正确； 对于C，因为，， 若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故C错误， 对于D，若，只要足够大，一定会有， 则，只要足够的大，趋近于0， 而，显然能满足， 故，当时，总有，故D正确， 故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 的展开式中二项式系数和为32 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好 【答案】ABD 【解析】 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求得，可判定A正确；根据二项式展开式的二项式系数的性质，可判定B正确；根据独立性检验的定义，可判定C错误；根据决定系数越大，拟合效果越好，可判定D正确. 【详解】对于A中，将样本点中心点代入回归方程为， 可得，解得，所以A正确； 对于B中，二项式的展开式中二项式系数和为，所以B正确； 对于C中，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D中，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好， 由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ） A. 可能为等边三角形 B. C. 若直线的倾斜角为，则 D. 若直线的倾斜角为，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】若为等边三角形，则，，通过两点间距离可判断；设，，通过联立直线与抛物线方程由韦达定理即可判断；根据弦长公式可判断；由点到线的距离公式及三角形面积公式即可判断. 【详解】 由已知可得，设直线的方程为， 设，， 由得，所以，， 对于，若为等边三角形，则， 根据抛物线的对称性可得此时直线与轴垂直，且，， 所以，， 所以不可能为等边三角形，故错误； 对于，因为，，所以， 因为两点在抛物线上，所以，，所以， 所以，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，所以， 所以，， 所以 ，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，直线的方程为，即， 所以到直线的距离为， 所以，故错误. 故选：. 11. 已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（ ） A. 函数不可能有三个零点 B. 函数的减区间为 C. 对于任意的，函数在区间内均存在零点，则 D. 存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可说明A，利用导数求出函数的单调区间，即可判断B，首先说明单调性，则，即可求出的取值范围，从而判断C，找到特殊值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以在定义域上单调递增，所以函数不可能有三个零点，故A正确； 对于B：因为，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故B错误； 对于C：当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在内均存在零点只需满足即可， 即，所以， 所以且， 又为正整数，所以，即，故C正确； 对于D：令，解得， 当时，， 则当时，，所以是上的严格增函数， 所以． 所以． 所以是恒为的常数列，故存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列，故D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据期望的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故答案为： 13. 某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育7堂课课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是__________.用数字作答） 【答案】432 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式求解. 【详解】数学课、物理课都排在上午，且不连排的排法数为；体育课排在下午的排法数为； 将余下4门课程排入课程表有种方法， 所以所求不同排法种数是. 故答案为：432 14. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由距离公式得到，则，求出的取值范围，即可得解. 【详解】设点，依题意可得， 即， 则， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 由，解得，所以，则， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了100名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 30 20 30 20 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. （1）从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； （2）采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列，数学期望以及方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为；方差为. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到喜欢“视频创作”和“图象修复”的人数分别为3人和2人，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据，可得该地区的100名大学生中“视频创作”的人生为30人， 所以该地区的大学生最喜爱“视频创作”的概率为. 【小问2详解】 解：在该地区的100名大学生中“视频创作”和“图象修复”的人数分别为30人和20人， 采用分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人， 可得“视频创作”和“图象修复”的人数分别为3人和2人， 从这5人中随机抽取2人，其中“视频创作”的人数为，可得的可能取值为， 则， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 则期望为， 方差为. 16. 在中，分别为角的对边，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知将边转化为角可得，根据三角恒等变换可得，即可求解； （2）由面积公式可得，由，两边完全平方可得，结合余弦定理可得，即可求解. 【小问1详解】 因，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 因，所以，即； 【小问2详解】 因为的面积为，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，， 由余弦定理可得，解得， 所以，所以的周长为. 17. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； （3）若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，由导数的几何意义可得切线方程，将点代入即可求解； （2）通过求导可得函数的极小值为，即可求解； （3）令，由已知可得在单调递减，将问题转化为求在上恒成立问题，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又，所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由得， 令，所以对任意的，且，恒成立， 所以在单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为二次函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以. 18. 如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. （1）证明：平面； （2）设平面平面，点 （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面； （2）（i）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得答案； （ii）由（i）知及题意得到，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解. 【小问1详解】 由题意得，，， 所以，即， ∵，所以，即， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 （i）∵,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以 以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∵，∴,∴， 设平面的法向量为， 则 即 令得,∴， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. （ii）由（i）知，， ,即(三等分点)， 又∵平面， ∴，∴(三等分点)， ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴即(四等分点)， ∴ 又∵ ∴. 19. 在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据离心率及求出、，即可得解； （2）（i）设为点到直线的距离，则的面积，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值，求出的最大值，即可得解；（ii）设，则，则，再由直线的方程为，求出点坐标，从而得到点坐标，即可求出，从而得解. 小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）设为点到直线的距离， 所以的面积 显然当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值， 因为，，所以，设直线的方程为，即， 由，整理得， 由，解得（正值舍去）， 所以直线的方程为，又到直线的距离， 所以的最大值为， 则； （ii）设，则， 所以， 又直线的方程为，由，整理得， 所以，则， 即，同理可得， 所以 ， 因为，所以，则， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2025年春节高二年级期中联考 数学（A卷） 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，其中为虚数单位，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 5. 小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ） A 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（ ） A. B. 不存在实数，使为递减数列 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 展开式中二项式系数和为32 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好 10. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ） A. 可能等边三角形 B. C. 若直线的倾斜角为，则 D. 若直线的倾斜角为，则的面积为 11. 已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（ ） A. 函数不可能有三个零点 B. 函数的减区间为 C. 对于任意，函数在区间内均存在零点，则 D. 存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量，，则__________. 13. 某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育7堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是__________.用数字作答） 14. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 人工智能（简称）相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了100名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 30 20 30 20 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. （1）从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； （2）采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列，数学期望以及方差. 16. 在中，分别为角的对边，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，的面积为，求的周长. 17. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； （3）若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 18. 如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. （1）证明：平面； （2）设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 19. 在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $