江苏省邗江中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

江苏省邪江中学20242025学年度第二净物 高二戴学期中试春 命题人：王瑞丁陈寒 说明：本试卷分第I(选择愿)和第1Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小愿，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1、90×91×…×100可表示为() A.Aioe B.40 C.A48 D.A品 2、如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，若DA=a,DC=i,DP=,E是PC的中点，则 BE=() A. 1a-16+ 2 22 2 C.-a+16+18 2 2 3、直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA,AB LAC,则AB与BC所成角为 A.30° B.45° C.60° D.120° 4、如图是函数y=f(x)的导函数y='(x)的图象，下列结论正晌的是() -1012 A.y=∫(x)在x=-1处取得极大值 B.x=1是函数y=f(x)的极值点 C.x=-2是函数y=f(x)的极小值点D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减 5、高二(1)班某组有5人·组长安排值日生，其中1人负贵擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负 责卫生区卫生，则不同的安排方法有() A.20种 B.30种 C.90种 D.120种 高二数学期中试卷第1页（共4页） CS扫描全能王 】亿人脑在用的扫猫Ap时 6、若函数闭-于-心2+2d-x-在x=2处取得极小值，则实数a=（) A.0 B.2 C.-2 D.2或0 7已知(-广的晨开式共有13项。则下列说法中正确的有() A,展开式所有项的系数和为2P B.展开式二项式系数最大为C C.展开式中没有常数项 D.展开式中有理项共有5项 8、若过点(Lm)可以作y=x沁的三条切线，则实数m的取值范围是·) A.（4e2,0） B.（-5e.0j c.(（5o2,） D.(0,e) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9、已知m,n∈N”且n之m,则下列结论正确的是() A.nl=n(n-1)月 B.若C=21,则n=6 C.CR=CR+C D.C=(n+1)C 10、已知正方体ABCD-4BCD的棱长为1，点E,F分别为BB,CD的中点，则下列说法正确的 是() A.DF⊥平面ADE B.BD与平面4CD所成角的余弦值为 3 C二面角4-BD-G的正弦值为 D.点B到平面BCD,的距离为 3 11、已知函数f(x)=e2“-ar2(a为常数)，则下列结论正确的是（) A.当a=1时，f(x)在(0，f0)处的切线方程为2.x-y+1=0 B.若f(x)有3个零点，则a的取值范围为(e2,+o∞) C.当a=e时，x=1是f(x)的极大值点 .当a=时。有唯-等点%，且-1<x<月 高二数学期中试卷 第2页 (共4页) CS扫描全能王 】亿人脑在用的扫猫Ap时 第I工卷（非选择题 共92分) 三、填空愿：本题共3小题；每小题5分，共15分. 12、已知空间中有三点3,2,0)，B(3,2,2),C(3,0,1),则A到直线BC的距离为 13.已知mt 的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则实数a的值为 x中l,若8（四=a(-hx-(x-a≠0有三个零点，名，k,其中 2 14、已知函数f(x)=ahx+ ,<,<为，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骠。 15、已知C=C2m∈N),(2x-1)°=a。+a(x-)+a,(x-l)2+…+ax-)”,求： (1)a+a+a2+…+a,的值： (2)4+2a2+3a3+…+na,的值. 16、为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根 铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者、赛后，7名同学站成一排， 照相留念。 (1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？（用数字作答》 (2)现在要求这7名同学分成三个宜讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果 汇报，要求每个小组必须慨有男生又有女生，问有多少种安排方案？（用数字作答） (3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？（用数字作答） 高二敷学期中试卷 第3页 (共4页) CS扫描全能王 】亿人脑在用的扫猫Ap时 17、已知函数f()=hex+8,aeR. (1)若a=2e,求f(x)在x=e处的切线方程； (2)当a∈(-oo,c2]时，函数f(x)在，e2]上的最小值为3，求实数a的值 18、如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，EF分别是BABC边上的动点，且 EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE, D (1)求证：EF∥平面PAC: (2)若BE=2AE,二面角P-EF-C是直二面角，求线段AP中点M到平面PEC的距离： (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围， 19、已知a,beR,函数f(x)=e-aNx-bx,xe[0,+oo). (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)若f(x)存在等点，(1)当b=0时，求a的取值范围： (ii)求证：a2+b2>2 高二数学期中试卷·第4页 (共4页) CS扫描全能王 】亿人脑在用的扫猫Ap时江苏省邗江中学2024-2025学年度第二学期 高二数学期中参考答亲&评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B B A D B ABC ABD 题号 11 答案 ABD 1-8单选，每题5分；9一11多选，每题6分： 12-14填空，每题5分 12.45 13.240或3840 14. 5 02 8.D依题意，设切点坐标为（，e),由y=xe,求导得y=(x+1)e, 则函数y=xe的图象在点(L,e)处的切线方程为y-e'=(t+I)e'(x-t).由切线过点(1，m),得 m=e+(t+1)e'(1-)=(仁2+1+1)e,令g()=(-?+1+)e,依题意，直线y=m与函数y=g()的图象有 3个公共点.g(0=(-子-1+2)e'=-(t+2)u-1)e,当t<-2或1>1时，g(0<0,函数g)在 (-0,-2),(1,+0)上单调递减：当-2<1<1时，g't)>0,则函数g()在(-2,1)上单调递增： 当1=-2时，函数g(t)取得极小值g(-2)=-5e2,当1=1时，函数g(t)取得极大值g()=e, 且当1<-2时，恒有g(t<0.又t→+o,g(t)→-o,如图，作出函数g()的大致图象， y=g(t) 由形可知，当-5e2<m<0时，直线y=m与函数y=g(t)的图象有 y=m 3个公共点，所以实数m的取值范围是(-5心2,0) 11.ABD 对于A中，当a=1时，可得f(x)=e2-x2,则f(0)=1,f'(x)=2e2-2x,f'(0)=2,所以切 线为2x-y+1=0,A正确：对于B中，若函数f(x)=e2-ax2有3个零点，即er=ar2有三个解， 其中x=0时，显然不是方程的根， 当x≠0时，转化为g的)二与口的图像有3个交点， 又由g=2e-2e_2e(x-,令g>0,解得x<0或>1：令g<0,解得0<x<1. r3 所以函数g(x)在(-0,0)，(L,+∞)上单调递增，在(0,1）上单调递减： 所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g()=e2, 答案第1页，共5页 又由x→0时，g(x)→+o,当x→-o时，g(x)→0且g(x)>0, 如下图： 所以a>e2,即实数a的取值范围为(e2,+o),所以B正确：对于C中，当a=e时，f(x)=e2-cx2, 可得f(x)=2e2-2e2x=2(e2-e2x,令g(x)=e2r-ex,g'(x)=2e2"-e2在R上单调递增， 且g'(0)=2-2<0,g()=e>0,所以存在xe(0,1)使得g'(x)）=0,所以在(-0，)上g(x)<0,g(x)单 调递减，在(x,+o)上g'(x)>0,g(x)单调递增，又g()=0,所以在(x,1)上g(x)<0,即f'(x)<0,f(x) 单调递减，在(1，+o)上g(x)>0,即"(x)>0,f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点，所以C错 误。对于D中，当a-时，f)=2e-x=2(e-) 设=e2-,可得)-2e-号 当r<加计，M)<QM)在（引单调造减：当>时，）>0()在宁树单调遥增， 所以当x=时，以=写e}2>0,所以4小>0， 2242 所以'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增， 又因为-=e-<@习=e令>（即小》0 所以f()有唯一零点且-1<名<-，所以D正确： 故选：ABD 14. g)=a---八=-w+-y) 00,f0-0,则/国除1外还有两个零点，/飞。r+2-2r+口 x(x+1)月 令h(x)=ax2+(2a-2r+a>0),当a<0时，h(x)<0在(0，+o)恒成立，则f'(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)单调递减，不满足，舍去.当a>0时，(x)除1外还有两个零点，则f(x)不单调， 所以h(x)存在两个零点，所以△=(2a-2)-4a2>0,解得0<a< 1 当0<a<2时，设h()的两个零点为m,n(m<m), 答案第2页，共5页 则m+n= 2-2>0,mn=1,所以0<m<1<n,当0<x<m或x>n时，h(x)>0,f()>0,函数/因 单调递增：当m<x<n时，h(x)<0,'(x)<0,函数f(x)单调递减：又f()=0,所以f(m)>0,f(n)<0, 12>0,且 e“+lea+l ea+le“+1 所以存在x∈e",mx∈n,e使得f(x)=f(s,)=0,即g(x)=a(2-l)lnx(x-)(a≠0)有3个 零点4=综上，实数。的取值范围为0 15.(1)因为C=CmeN),所以n=4+5=9, 在(2x-1)”=a。+a(x-l)+a,r-1）2++a(x-l)中，令x=2,可得， a+a,+a2+…+a.=(2×2-1)=3°-19683. ……6分 (2)令f(x)=(2x-1)'=a6+a(x-0+a(x-1)2+…+a(x-l1), 从而f'(x)=182x-l)=a,+2a2(x-1)++a,(x-1)-, 同样在上式中令x=2,可得a,+2a+3a+…+na,=18×(2×2-1)°=6×3°=118098 …13分 16(1)女生必须站在一起，利用捆绑法，先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列， 则有A4A=576种 …4分 (2)先选4名女生分到三个年级，有C?A种，再将3个男生分到三个年级，有A种， 所以共有CAA=216种. …9分 (3)若甲站在两端，则甲有2种站法，再选一名女生与甲相邻，有4种选法， 再将把其他人排列，有A排法，则甲站在两端有2×4A=960种，若甲不站两端，则可先在甲两边分别安 排一名女生，有A:种选法，再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有A种排法，则甲不站两端有 AA写=1440种，共有960+1440=2400种…15分 17.(1)当a=2e时，)1+1mx+代，求导得f()=￥，则f@)=,而fe)=4, 所以函数f)在点(e,4)处切线方程为y-4=-'x-心)，即x+ey-5e=0. …6分 (2)函数国=her+是aeR,求号得/国士是-学，Kele, 当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在L,e]上单调递增，f(x)mm=-f(0)=1+a=3,解得a=2,矛盾， 答案第3页，共5页 当1<a<e2时，由f'(x)<0,得1≤x<a,函数f(x)递减，由f'x)>0,得a<x≤e2,函数f(x)递增， 因此f(x)mm=f(a)=1+lna+I=3,解得a=e,从而a=e,当a=e时，f(x)≤0，函数f(x)在[l,e2]上单 调递减)=e)=ae之+是=3+是=3，解得a=0,不盾，所以a=e. …15分 18.(I)在四棱锥P-AEFC中，EF∥AC,而ACC平面PAC,EFd平面PAC, 所以EF∥平面PAC …3分 (2)由AC⊥BC,EF∥AC,得EF L BC,折叠后，在四棱锥P-AEFC中，EF⊥FC,EF⊥PF, 由二面角P-EF-C是直二面角，即平面PEF⊥平面EFC,平面PEF∩平面EFC=EF,PF⊥EF,PFC平 面PEF,PF⊥平面EFC,:CFc平面EFC,∴.PF⊥CF以FE,FC,FP分别为x,片，z轴建立空间直角坐 标系.则420raoc号0信a0兮引 元-号》-（丽-引 4 iP℃=5y-32=0 设平面PCE法向量为历=(x,片z),则 令z=1,得m=(1,2,),所求点面距为d= PM×m1√6 66 …9分 (3)以直线CA和CB分别为x,y轴，过C作平面ACFE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 设P(0s,0),F(0,1,0),D-1,0,0,A-2,0,0,日t-2,1,0,显然u>0, AE=(化，4,0)，P而=(-l,-s,-),A正PD=-4-1=0,得出=-1，则P(0,-1,4),则PE=(t-2,t+l,-), 点P与其在直线FC上射影点及点F围成以线段PF为斜边的直角三角形，则M2+(t+I)2=(2-),即 W=3-61,且2-1>1+1且1>0，即0<1<7，平面ABC的法向量为元=(0,0,1)，设直线PE与平面ABC所 成角为B,sinB=os(屁， PE. PE同0-2y2+0+)+n 则sinp= 3-6d 3-6t61-21）61-2 6 ++广+3-62r-8+8(②-4y[Bf1-2了0-2)+ 令1-21=元∈0,1)，函数f(a)=元+？+6在(0，)上递减，了(a)>f0=16, 因此(0-272+6>16，期0<n月<爱解得0<如8< 4 所以直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围是 ……17分 4 答案第4页，共5页 19.(1)a=0时，f(x)=e-b, 当b≤1时，'(x)≥0，函数f(x)单调递增，既无极大值也无极小值. 当b>1时，x∈[0，lnb),'(x)<0,函数f(x)单调递减，x∈(nb,+o),(x)>0,函数f(x)单调递增， 函数f(x)的极小值是b-blnb,无极大值. …4分 (2)(i)当b=0时，因为函数f(x)存在零点，故e=a√（有解，若x=0,此时无解，所以x>0, g付=c-aF有解，g日)=e-只-2F-口，①若a≤0，g)单调通增，8>g0)=1此时不存 2 2x 在零点：②若a>0,令hx)=2e√G-a,h(0)=-a<0,h(a2）=ea-a>0,由零点存在定理可知存在 ∈(0，a2),h()=0,所以g(x)在(0，x)上为减函数，在(o,+o)上为增函数， 故g=e-a-a5s0,解得2分，故≥5e:v2c 2x …9分 (i)因为函数f(x)存在零点，所以f(x)=e-aNx-bx有解x,其中x。20, 若x=0,则1-a×0-b×0=0,该式不成立，故x>0, 故a√+bx。-e=0,考虑直线aV+br-e=0, √后+b表示原点与直线a√R+b。-c=0上的动点(a,b)之间的距离， Va'+b2- e 无，所以d2+≥ x,2+ x2+x0 >0时，要证a2+b>2,只需证 ->2, 02+x 即证e2“-2x后-2x>0. 令g(x)=e2“-2x2-2x,x>0,则g'(x)=2e-4x-2=2(e2-2x-1), 令(x)=(e-2x-),x>0,故(x)=2e2-)>0,h(x)在(0，+o)上为增函数，故h(x)>h(0)=0. 即g'(x)>0,g(x)在(0，+o)上为增函数， 故g(>g0)=1,故 >2,即a2+62>2成立 xp+Xp 4444…17分 答案第5页，共5页