理想气体的相关计算 讲义 -2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第三册

理想气体状态方程的应用 基础知识梳理 知识点一 解决恒定质量理想气体计算的一般思路 （1）明确研究对象 热学对象：确定所研究的一定质量的理想气体，明确其初、末状态及变化过程； 力学对象：若涉及汽缸、活塞等力学系统，需对它们进行受力分析。 （2）分析物理过程 理想气体状态分析 确定初末状态的压强（P）、体积（V）、温度（T）。 根据气体实验定律（玻意耳定律、查理定律、盖-吕萨克定律）或理想气体状态方程（pV = nRT）建立方程。 力学分析 对活塞、液柱等进行受力分析，结合平衡条件罗列等量关系式带入运算； 注意气体压力、外界大气压、摩擦力、重力等力的作用。 （3）挖掘隐含条件 几何关系：如液柱高度变化、活塞移动距离等； 体积关系：气体体积变化与液柱升降、活塞位移的关系； 压强关系：利用连通器原理（同种液体同一水平面压强相等）。 （4）联立方程求解 将气体状态方程、力学平衡方程、几何关系等联立求解； 注意单位统一，必要时使用cmHg等简化计算。 知识点二 管类模型（液柱封闭气体）的特殊注意事项 （1）液柱压强计算 液体因重力产生的压强：p = ρgh（h为液面竖直高度差）： 对于水银柱，可直接用cmHg作为压强单位。 （2）注意大气压的影响 不要遗漏大气压强（p₀），通常取1atm≈76cmHg≈1.01×10⁵ Pa； 某些情况下，大气压力可能被平衡（如两端开口的U形管）。 （3）连通器原理 同种液体在连通器内静止时，同一水平面上各点压强相等。 （4）计算技巧 优先选择压强单位一致（如全部用cmHg或Pa）； 对于复杂系统，可分段分析气体状态（如U形管两侧气体）。 知识点3 解决变质量问题的理想气体计算的一般思路 在理想气体问题中，当气体质量发生变化时（如充气、抽气、灌气、漏气等），可以通过“化变为定”的方法，将变质量问题转化为定质量问题进行处理。核心思路是合理选择研究对象，确保总质量不变，再应用气体实验定律或理想气体状态方程求解。 基本方法：将“变质量”转化为“定质量” 通过选择合适的研究对象，将变化的气体质量包含在初、末状态中，使整体质量守恒。 （1）充气问题：向容器内充入气体，容器内气体质量增加。 处理方法：将充入的气体 + 容器内原有气体视为一个整体，总质量不变。 初状态：充入前的气体（可能在外界或容器内） + 容器内原有气体； 末状态：充入后容器内的气体； 列方程：p₁V₁ + p₂V₂ = p₃V₃（假设等温）。 （2）抽气问题：从容器中抽出气体，容器内气体质量减少。 处理方法：将每次抽出的气体 + 剩余气体视为整体，总质量不变。 初状态：抽气前容器内的气体； 末状态：抽气后剩余气体 + 被抽出的气体（可假设暂存于另一容器）； 列方程：p₁V = p₂V + p₃ΔV（ΔV 为抽气体积，假设等温）。 （3）灌气问题（分装气体）：将大容器中的气体分装到多个小容器中。 处理方法：将大容器 + 所有小容器中的气体视为整体，总质量不变。 初状态：大容器中的气体（p₁, V₁）； 末状态：各小容器中的气体（p₂, V₂; p₃, V₃; ...）； 列方程：p₁V₁ = p₂V₂ + p₃V₃ + ...（假设等温）。 （4）漏气问题：容器漏气，气体质量逐渐减少。 处理方法：将漏出的气体 + 容器内剩余气体视为整体，总质量不变。 初状态：漏气前容器内的气体（p₁, V）； 末状态：漏气后剩余气体（p₂, V） + 漏出的气体（p₃, ΔV）； 列方程：p₁V = p₂V + p₃ΔV（ΔV 为漏出气体在环境压强下的体积，假设等温）。 （5）利用理想气体状态方程 pV = nRT 处理变质量问题。 若题目中涉及物质的量（n）的变化，可直接利用 pV = nRT 进行计算。 对于同种理想气体，物质的量（n）之比即为理想气体质量之比。 分类题型练习 题型一 气缸类问题（单缸双缸） 1．如图所示，一导热性能良好的圆柱形汽缸开口向上竖直固定，将一质量为m、密封良好且厚度不计的活塞从汽缸顶部水平缓慢释放，活塞静止时下降了L。然后将一质量为m的物块轻放在活塞上，活塞静止时又下降了0.5L。缸内气体可视为理想气体，外界大气压和环境温度保持不变，重力加速度为g，不计活塞与汽缸壁间的摩擦。 (1)求汽缸内的深度h； (2)现用外力将物块和活塞缓慢下压L后，再由静止释放，求释放瞬时活塞与物块之间的作用力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设活塞面积为S，外界大气压强为，活塞第1次静止时， 活塞第2次静止时， 联立解得， （2）用外力将物块和活塞下压L并静止时 解得 释放瞬时，活塞与物块的加速度 此时，活塞对物块的作用力大小 联立解得 2．如图所示，开口向上竖直放置在水平地面的圆柱形导热汽缸（汽缸与地面接触处有缝隙），用质量为的活塞密封一定质量的理想气体，活塞通过轻绳与固定在吊顶上的力传感器P相连接，活塞可以在汽缸内无摩擦移动；初始时，活塞与缸底的距离为，缸内气体温度为，轻绳恰好处于伸直状态，且力传感器的示数为零。已知汽缸的质量，活塞横截面积，大气压强（大气压不随温度而变化），重力加速度g取。现使缸内气体温度缓慢下降，求： (1)当汽缸恰好对地面无压力时，汽缸内气体的温度； (2)当汽缸内气体温度降至时，汽缸底部到水平地面的高度h及此时力传感器的示数。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）汽缸内气体的初始状态：气体的温度为 气体的压强 汽缸恰好对地面无压力时，气体的压强为 汽缸内气体从初始状态到汽缸恰好对地面无压力时的过程属等容变化，则 代入数据解得 （2）从汽缸恰好对地面无压力到汽缸内气体温度降至，汽缸内气体做等压变化，设温度降至时活塞与缸底的距离为，则 解得 此时汽缸底部到水平地面的高度 对活塞由力的平衡条件有 代入数据解得 3．如图甲，上端开口的导热汽缸放置在水平面上，质量为m、横截面积为S的活塞密封了一定质量的理想气体。当环境温度为时，活塞静止的位置与气缸底部距离为h，离缸口的距离为。已知重力加速度为g，活塞厚度及活塞与汽缸壁之间的摩擦不计，大气压强为。求： （1）若缓慢升高环境温度，使活塞刚好能移到缸口，求升高后的环境温度T； （2）若先在缸内壁紧贴活塞上表面固定一卡环（与活塞接触但没有作用力），如图乙，再缓慢升高环境温度到T，则升温后卡环对活塞的压力多大。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）缓慢升高环境温度，使活塞刚好能移到缸口的过程中，气体经历等压变化，设活塞刚好能移到缸口时气体的温度为T2，根据盖—吕萨克定律得 其中 联立解得 （2）根据题意可知气体在升温过程中体积不变，根据查理定律可得 其中 联立解得升温后卡环对活塞的压力为 4．如图，容积均为、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为、温度为的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为和、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。 （1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度； （2）将环境温度缓慢改变至，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因两活塞的质量不计，则当环境温度升高时，Ⅳ内的气体压强总等于大气压强，则该气体进行等压变化，则当B中的活塞刚到达汽缸底部时，由盖吕萨克定律可得 解得 （2）设当A中的活塞到达汽缸底部时Ⅲ中气体的压强为p，则此时Ⅳ内的气体压强也等于p，设此时Ⅳ内的气体的体积为V，则Ⅱ、Ⅲ两部分气体被压缩的体积为V0-V，则对气体Ⅳ 对Ⅱ、Ⅲ两部分气体 联立解得 5．如图所示，一竖直放置、缸壁光滑且导热良好的柱形汽缸内盛有一定量的理想气体，活塞将气体分隔成体积相同的A、B两部分；已知活塞的面积为S，此时A中气体的压强为P0．现将汽缸缓慢平放在水平桌面上，稳定后A、B两部分气体的体积之比为1：2．在整个过程中，没有气体从一部分通过活塞逸入另一部分，外界气体温度不变．求： I.汽缸平放时两部分气体的压强； II.活塞的质量m． 【答案】(1)1.5P0；(2) 【分析】找出汽缸竖直放置和水平放置时，AB两部分气体的状态参量，结合玻意耳定律列方程求解. 【详解】（1）对A部分气体，汽缸竖直放置时：气体的压强：pA=p0，体积VA=V 水平放置时气体的压强pA′，体积为VA′=V 由玻意耳定律pAVA=pA′VA′ 解得pA′=1.5p0 （2）对B部分气体，汽缸竖直放置时：气体的压强：pB=pA+mg/S，体积VB=V 水平放置时气体的压强pB′=pA′，体积为VB′=V 由玻意耳定律pBVB=pB′VB′ 解得m=p0S/g 题型二 管类问题（单管U形管） 6．如图所示，一根长度为L = 120 cm、横截面积为S、两端封闭、粗细均匀且导热良好的玻璃管竖直放置。在玻璃管顶部开一小孔。堵住小孔，管内有一段高h = 30 cm的水银柱，上方为真空，下方则封闭着长为a = 60 cm的空气柱。已知玻璃管所处地理位置的大气压强p0 = 60 cmHg，热力学温度T1 = 300 K，空气可视为理想气体。 (1)若只缓慢加热玻璃管，当水银刚到达玻璃管顶部时，求封闭气体的热力学温度T2； (2)若松开孔，空气从外界进入，最终稳定时，水银柱下降距离Δh（整个过程外界温度为T1保持不变）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）题意可知水银刚到达玻璃管顶部时，空气柱的长度为 由等压过程规律知 代入数据得 （2）据题意，原封闭空气柱压强 稳定后空气柱压强 代入数据得 由等温过程规律知 代入数据解得 7．如图所示，竖直放置的“L”形细玻璃管截面均匀，左管上端开口，底管右端封闭，竖直管足够长，底管长，用长的水银柱封闭一段理想气体，最初气体温度时，气体的长度．取大气压强，求： （1）缓慢升高理想气体的温度，使它的长度变为，此时气体的温度； （2）继续升高温度，当有的水银柱上升到左管，此时气体的温度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）初始时，封闭气体的压强为，长度为，当气柱的长度变化，水银柱仍全部在底部，则根据盖吕萨克定律可得 代入解得 （2）当有的水银柱上升到左管，有1cm 水银柱在低管内，此时封闭气体的压强为 长度为 温度为，由理想气体状态方程 解得 8．如图所示，一足够长、两侧粗细均匀的U型管竖直放置。管内盛有水银，右端开口，左端封闭一定质量的理想气体，封闭气体的长度，右管水银液面比左管水银液面高。大气压强。 （1）求左管内封闭气体的压强； （2）现从右管口逐渐取出水银，直到右管中水银液面下降25cm为止，求此时左管内封闭气体的压强。设整个过程温度不变。 【答案】（1）100cmHg；（2）80cmHg 【详解】（1）以封闭气体为研究对象，设初始时气体的压强为，有 （2）设最终左侧封闭气体的液面下降高度为，管的横截面积为S，初始时气体的体积为 最终阶段气体的体积为 最终阶段气体的压强为 由于该过程气体的温度不变，即发生等温变化，有 解得 9．如图所示，一根上细下粗、上下分别均匀且上端开口、足够长的薄壁玻璃管，管内有一段长度为h1+h2的水银柱封住了长度为l的可视为理想气体的空气柱。下方较粗玻璃管横截面积为S1，上方较细玻璃管横截面积为S2，且S1=2S2，h1=h2=2cm，l=10cm，大气压强76cmHg，气体初始温度为300K。缓慢升高空气柱温度，求： （i）当水银刚被全部挤出粗管时，封闭空气的温度； （ii）当封闭空气温度为492K时，水银柱下端距粗管上端的距离。 【答案】（i）；（ii） 【详解】（i）对封闭空气，升温前，设温度为，压强为，体积为，则 当水银刚被全部挤出粗管时，设封闭空气的温度为，压强为，体积为，水银柱长度为，则 解得 解得 （ii）当封闭气体温度时，设水银最低端到粗管上端距离为，则封闭空气压强为，体积为，则 由于 所以有 解得 10．如图所示，粗细均匀、一端封闭的U形导热玻璃管中用水银和活塞封闭了两段温度相同、长度分别为25cm和10cm的理想气体，活塞下方气体压强为70cmHg，U形管中水银面高度差h=30cm。现缓慢向上移动活塞使两管水银面相平，整个过程中温度不变，求活塞向上移动的距离。 【答案】33cm 【详解】设初始状态时U形管左侧封闭气体的压强为p1，由题意可知右侧封闭气体的压强为p2=70cmHg，则根据平衡条件可得 设U形管中水银面相平时左侧封闭气体的压强为，由题意可知此时左侧封闭气体的长度将变为 根据玻意耳定律可有 解得，则此时右侧封闭气体的压强为 设此时右侧封闭气体的长度为，根据玻意耳定律有 解得，所以活塞向上移动的距离为 11．如图所示，一内径均匀的导热U形管竖直放置，右侧管口封闭，左侧上端与大气相通，一段水银柱D和一个光滑轻质活塞C将A、B两部分空气封在管内。初始稳定状态下，A气柱长度为lA=9cm，B气柱长度为lB=6cm，两管内水银面的高度差h=10cm。已知大气压强恒为p0=76cmHg，环境温度恒为T0=297K。回答下列问题： （1）求初始稳定状态下B气体的压强pB； （2）为使左右两管内液面等高，现仅对B气体缓慢加热，求两液面等高时，气体的温度TB。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）初始稳定状态下B气体的压强 （2）B部分气体初状态压强 初状态体积 初状态温度 B部分气体末状态压强 末状态体积 根据理想气体状态方程 解得 题型三 变质量理想气体的相关计算 12．如图所示为一款车载气垫床。未充气时，气垫床内有压强为的气体体积为V，用气筒给气垫床充气，充好气后，气垫床内气体体积为3V，压强为，充气过程气体温度保持不变，且等于环境温度。 （1）若气筒每次充入压强为的气体0.1V，则充好气垫床充气多少次？ （2）若夜间温度降低为，降温后气垫床内气体压强多大（体积仍为3V）？要使气垫床内气体压强仍为，则还需要充气几次（每次充入压强为的气体0.1V，充气过程气体温度保持不变）？ 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）气体发生等温变化，根据题意有 解得 （2）降温过程，气体发生等容变化，则 解得 根据题意，气体发生等温变化 解得 13．篮球是中学生喜欢的一项体育运动，打篮球前需要将篮球内部气体的气压调至，才能让篮球发挥最佳性能。如图所示，某同学使用简易充气筒给篮球充气，该充气筒每次可以将压强，体积的空气打进篮球。已知篮球的容积，初始内部气压等于标准大气压。（忽略所有过程温度的变化与篮球容积的变化） （1）该同学利用充气筒向篮球打了19次气，求此时篮球内部的气压； （2）若篮球内部的气压为，可以采取缓慢放气的办法使篮球内部的气压恢复到，求放出气体的质量与放气后球内气体的质量的比值。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）同学利用充气筒向篮球打气，气体做等温变化，有 解得此时篮球内部的气压 （2）采取缓慢放气的办法使篮球内部的气压恢复到时，放出的气体压强为，设若放出的气体压强也为，此时放出的气体体积为，根据玻意耳定律得 带入数据解得 放出气体的压强与放气后球内的压强一样时，温度一样故密度相同。则放出气体的质量与放气后球内气体的质量的比值 14．如图，刚性容器内壁光滑、盛有一定量的气体，被隔板分成A、B两部分，隔板与容器右侧用一根轻质弹簧相连（忽略隔板厚度和弹簧体积）。容器横截面积为S、长为2l。开始时系统处于平衡态，A、B体积均为Sl，压强均为，弹簧为原长。现将B中气体抽出一半，B的体积变为原来的。整个过程系统温度保持不变，气体视为理想气体。求： （1）抽气之后A、B的压强。 （2）弹簧的劲度系数k。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）设抽气前两体积为，对气体A分析：抽气后 根据玻意耳定律得 解得 对气体B分析，若体积不变的情况下抽去一半的气体，则压强变为原来的一半即，则根据玻意耳定律得 解得 （2）由题意可知，弹簧的压缩量为，对活塞受力分析有 根据胡克定律得 联立得 15．现用一限压阀控制储气瓶内的压强，原定出厂的10L储气瓶中压强为8，现利用一400L、压强为、储气质量为的储气罐及灌气装置给储气瓶灌气。此时储气瓶内可看作真空，且当储气罐内气体压强低于0.5时，灌气装置无法进行工作，不考虑温度变化。 （1）最多可灌满几个储气瓶。 （2）某厂家在给储气瓶灌气时，为节省成本，将原定于8的储气瓶改为6，由此每个灌满的储气瓶少了多少kg的气体。 【答案】（1）17；（2）6.5kg 【详解】（1）对储气罐中气体分析，设储气罐中的气体压缩至压强为0.5时体积变为，由玻意耳定律有 得 设最多可灌满个储气瓶（，）。由玻意耳定律得 解得 即最多可灌满17个瓶子。 （2）设原来8的储气瓶每瓶满装气体，的储气瓶每瓶满装气体，则由理想气体方程 得 即 同理 即 则每罐少装了 质量的气体。 16．如图，厚度不计的活塞C将圆柱形导热汽缸分为A、B两室，A、B中各封有一定质量的理想气体，A室左侧连通一竖直放置的U形玻璃细管（管内气体的体积可忽略）；当关闭B室右侧的阀门K且缸内气体温度为时，A、B两室容积恰好相等，U形管左、右水银面高度差为。外界大气压，不计一切摩擦。 （1）打开阀门K，使B室缓慢漏气，保持缸内气体温度恒为，当活塞C不再移动时，求A室和B室的体积之比； （2）保持阀门K打开，再对A室气体缓慢加热，当温度达到时，求U形管左、右水银面的高度差。 【答案】（1）；（2）9.5cm，且左管液面高于右管 【详解】（1）阀门K关闭时，设A室的体积为，此时A室气体的压强为 打开K，当C不再移动时，U形管左、右水银面齐平，A室气体压强为p0，体积设为,A室气体经历等温变化，由玻意耳定律有 代入数据解得 故B室气体的体积为 所以，A室和B室的体积之比为 （2）保持K打开，再对A室气体加热，假设A室气体先发生等压变化直到C到达汽缸右壁，设此时气体的温度为T，由盖—吕萨克定律有 代入数据解得 T=480K 因，故假设成立。此后A室气体发生等容变化，设为540K时，气体的压强为由查理定律有 设U形管左、右水银面的高度整为H，则有 解得 H=9.5cm 且左管液面高于右管。 17．重型卡车运行过程中轮胎的胎压超过或者低于值都会使得爆胎概率达到60％，卡车运行速度越大，胎内温度就越高，影响胎压值；轮胎出现缓慢漏气，也影响胎压值。冬季，某重型卡车行程前安全检查得到每个轮胎内气体压强为，温度为℃。将轮胎内气体视为理想气体，以及忽略运行过程中轮胎体积的变化。，热力学温度和摄氏温度关系为 （1）卡车运行速度在区间内时胎内气体温度与速度关系如图所示，则该卡车运行速度超过多少时，爆胎概率达到60％； （2）卡车以速度匀速运行时，其中一个轮胎因为缓慢漏气使得胎压值恰好为，则其漏掉气体质量占轮胎内原有气体质量的比值k为多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据等容变化有 解得 ℃ 根据 ℃ 解得 （2）速度为时，轮胎温度为 假设轮胎没有漏气，根据等容变化 解得 假设漏到外界的气体的温度和压强与漏气后轮胎中气体的温度和压强是一样的，设定轮胎的体积为V，漏到外界的气体体积是，根据等温膨胀过程，有 解得 比值 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$ 理想气体状态方程的应用 基础知识梳理 知识点一 解决恒定质量理想气体计算的一般思路 （1）明确研究对象 热学对象：确定所研究的一定质量的理想气体，明确其初、末状态及变化过程； 力学对象：若涉及汽缸、活塞等力学系统，需对它们进行受力分析。 （2）分析物理过程 理想气体状态分析 确定初末状态的压强（P）、体积（V）、温度（T）。 根据气体实验定律（玻意耳定律、查理定律、盖-吕萨克定律）或理想气体状态方程（pV = nRT）建立方程。 力学分析 对活塞、液柱等进行受力分析，结合平衡条件罗列等量关系式带入运算； 注意气体压力、外界大气压、摩擦力、重力等力的作用。 （3）挖掘隐含条件 几何关系：如液柱高度变化、活塞移动距离等； 体积关系：气体体积变化与液柱升降、活塞位移的关系； 压强关系：利用连通器原理（同种液体同一水平面压强相等）。 （4）联立方程求解 将气体状态方程、力学平衡方程、几何关系等联立求解； 注意单位统一，必要时使用cmHg等简化计算。 知识点二 管类模型（液柱封闭气体）的特殊注意事项 （1）液柱压强计算 液体因重力产生的压强：p = ρgh（h为液面竖直高度差）： 对于水银柱，可直接用cmHg作为压强单位。 （2）注意大气压的影响 不要遗漏大气压强（p₀），通常取1atm≈76cmHg≈1.01×10⁵ Pa； 某些情况下，大气压力可能被平衡（如两端开口的U形管）。 （3）连通器原理 同种液体在连通器内静止时，同一水平面上各点压强相等。 （4）计算技巧 优先选择压强单位一致（如全部用cmHg或Pa）； 对于复杂系统，可分段分析气体状态（如U形管两侧气体）。 知识点3 解决变质量问题的理想气体计算的一般思路 在理想气体问题中，当气体质量发生变化时（如充气、抽气、灌气、漏气等），可以通过“化变为定”的方法，将变质量问题转化为定质量问题进行处理。核心思路是合理选择研究对象，确保总质量不变，再应用气体实验定律或理想气体状态方程求解。 基本方法：将“变质量”转化为“定质量” 通过选择合适的研究对象，将变化的气体质量包含在初、末状态中，使整体质量守恒。 （1）充气问题：向容器内充入气体，容器内气体质量增加。 处理方法：将充入的气体 + 容器内原有气体视为一个整体，总质量不变。 初状态：充入前的气体（可能在外界或容器内） + 容器内原有气体； 末状态：充入后容器内的气体； 列方程：p₁V₁ + p₂V₂ = p₃V₃（假设等温）。 （2）抽气问题：从容器中抽出气体，容器内气体质量减少。 处理方法：将每次抽出的气体 + 剩余气体视为整体，总质量不变。 初状态：抽气前容器内的气体； 末状态：抽气后剩余气体 + 被抽出的气体（可假设暂存于另一容器）； 列方程：p₁V = p₂V + p₃ΔV（ΔV 为抽气体积，假设等温）。 （3）灌气问题（分装气体）：将大容器中的气体分装到多个小容器中。 处理方法：将大容器 + 所有小容器中的气体视为整体，总质量不变。 初状态：大容器中的气体（p₁, V₁）； 末状态：各小容器中的气体（p₂, V₂; p₃, V₃; ...）； 列方程：p₁V₁ = p₂V₂ + p₃V₃ + ...（假设等温）。 （4）漏气问题：容器漏气，气体质量逐渐减少。 处理方法：将漏出的气体 + 容器内剩余气体视为整体，总质量不变。 初状态：漏气前容器内的气体（p₁, V）； 末状态：漏气后剩余气体（p₂, V） + 漏出的气体（p₃, ΔV）； 列方程：p₁V = p₂V + p₃ΔV（ΔV 为漏出气体在环境压强下的体积，假设等温）。 （5）利用理想气体状态方程 pV = nRT 处理变质量问题。 若题目中涉及物质的量（n）的变化，可直接利用 pV = nRT 进行计算。 对于同种理想气体，物质的量（n）之比即为理想气体质量之比。 分类题型练习 题型一 气缸类问题（单缸双缸） 1．如图所示，一导热性能良好的圆柱形汽缸开口向上竖直固定，将一质量为m、密封良好且厚度不计的活塞从汽缸顶部水平缓慢释放，活塞静止时下降了L。然后将一质量为m的物块轻放在活塞上，活塞静止时又下降了0.5L。缸内气体可视为理想气体，外界大气压和环境温度保持不变，重力加速度为g，不计活塞与汽缸壁间的摩擦。 (1)求汽缸内的深度h； (2)现用外力将物块和活塞缓慢下压L后，再由静止释放，求释放瞬时活塞与物块之间的作用力大小。 2．如图所示，开口向上竖直放置在水平地面的圆柱形导热汽缸（汽缸与地面接触处有缝隙），用质量为的活塞密封一定质量的理想气体，活塞通过轻绳与固定在吊顶上的力传感器P相连接，活塞可以在汽缸内无摩擦移动；初始时，活塞与缸底的距离为，缸内气体温度为，轻绳恰好处于伸直状态，且力传感器的示数为零。已知汽缸的质量，活塞横截面积，大气压强（大气压不随温度而变化），重力加速度g取。现使缸内气体温度缓慢下降，求： (1)当汽缸恰好对地面无压力时，汽缸内气体的温度； (2)当汽缸内气体温度降至时，汽缸底部到水平地面的高度h及此时力传感器的示数。 3．如图甲，上端开口的导热汽缸放置在水平面上，质量为m、横截面积为S的活塞密封了一定质量的理想气体。当环境温度为时，活塞静止的位置与气缸底部距离为h，离缸口的距离为。已知重力加速度为g，活塞厚度及活塞与汽缸壁之间的摩擦不计，大气压强为。求： （1）若缓慢升高环境温度，使活塞刚好能移到缸口，求升高后的环境温度T； （2）若先在缸内壁紧贴活塞上表面固定一卡环（与活塞接触但没有作用力），如图乙，再缓慢升高环境温度到T，则升温后卡环对活塞的压力多大。 4．如图，容积均为、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为、温度为的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为和、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。 （1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度； （2）将环境温度缓慢改变至，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。 5．如图所示，一竖直放置、缸壁光滑且导热良好的柱形汽缸内盛有一定量的理想气体，活塞将气体分隔成体积相同的A、B两部分；已知活塞的面积为S，此时A中气体的压强为P0．现将汽缸缓慢平放在水平桌面上，稳定后A、B两部分气体的体积之比为1：2．在整个过程中，没有气体从一部分通过活塞逸入另一部分，外界气体温度不变．求： I.汽缸平放时两部分气体的压强； II.活塞的质量m． 题型二 管类问题（单管U形管） 6．如图所示，一根长度为L = 120 cm、横截面积为S、两端封闭、粗细均匀且导热良好的玻璃管竖直放置。在玻璃管顶部开一小孔。堵住小孔，管内有一段高h = 30 cm的水银柱，上方为真空，下方则封闭着长为a = 60 cm的空气柱。已知玻璃管所处地理位置的大气压强p0 = 60 cmHg，热力学温度T1 = 300 K，空气可视为理想气体。 (1)若只缓慢加热玻璃管，当水银刚到达玻璃管顶部时，求封闭气体的热力学温度T2； (2)若松开孔，空气从外界进入，最终稳定时，水银柱下降距离Δh（整个过程外界温度为T1保持不变）。 7．如图所示，竖直放置的“L”形细玻璃管截面均匀，左管上端开口，底管右端封闭，竖直管足够长，底管长，用长的水银柱封闭一段理想气体，最初气体温度时，气体的长度．取大气压强，求： （1）缓慢升高理想气体的温度，使它的长度变为，此时气体的温度； （2）继续升高温度，当有的水银柱上升到左管，此时气体的温度。 8．如图所示，一足够长、两侧粗细均匀的U型管竖直放置。管内盛有水银，右端开口，左端封闭一定质量的理想气体，封闭气体的长度，右管水银液面比左管水银液面高。大气压强。 （1）求左管内封闭气体的压强； （2）现从右管口逐渐取出水银，直到右管中水银液面下降25cm为止，求此时左管内封闭气体的压强。设整个过程温度不变。 9．如图所示，一根上细下粗、上下分别均匀且上端开口、足够长的薄壁玻璃管，管内有一段长度为h1+h2的水银柱封住了长度为l的可视为理想气体的空气柱。下方较粗玻璃管横截面积为S1，上方较细玻璃管横截面积为S2，且S1=2S2，h1=h2=2cm，l=10cm，大气压强76cmHg，气体初始温度为300K。缓慢升高空气柱温度，求： （i）当水银刚被全部挤出粗管时，封闭空气的温度； （ii）当封闭空气温度为492K时，水银柱下端距粗管上端的距离。 10．如图所示，粗细均匀、一端封闭的U形导热玻璃管中用水银和活塞封闭了两段温度相同、长度分别为25cm和10cm的理想气体，活塞下方气体压强为70cmHg，U形管中水银面高度差h=30cm。现缓慢向上移动活塞使两管水银面相平，整个过程中温度不变，求活塞向上移动的距离。 11．如图所示，一内径均匀的导热U形管竖直放置，右侧管口封闭，左侧上端与大气相通，一段水银柱D和一个光滑轻质活塞C将A、B两部分空气封在管内。初始稳定状态下，A气柱长度为lA=9cm，B气柱长度为lB=6cm，两管内水银面的高度差h=10cm。已知大气压强恒为p0=76cmHg，环境温度恒为T0=297K。回答下列问题： （1）求初始稳定状态下B气体的压强pB； （2）为使左右两管内液面等高，现仅对B气体缓慢加热，求两液面等高时，气体的温度TB。 题型三 变质量理想气体的相关计算 12．如图所示为一款车载气垫床。未充气时，气垫床内有压强为的气体体积为V，用气筒给气垫床充气，充好气后，气垫床内气体体积为3V，压强为，充气过程气体温度保持不变，且等于环境温度。 （1）若气筒每次充入压强为的气体0.1V，则充好气垫床充气多少次？ （2）若夜间温度降低为，降温后气垫床内气体压强多大（体积仍为3V）？要使气垫床内气体压强仍为，则还需要充气几次（每次充入压强为的气体0.1V，充气过程气体温度保持不变）？ 13．篮球是中学生喜欢的一项体育运动，打篮球前需要将篮球内部气体的气压调至，才能让篮球发挥最佳性能。如图所示，某同学使用简易充气筒给篮球充气，该充气筒每次可以将压强，体积的空气打进篮球。已知篮球的容积，初始内部气压等于标准大气压。（忽略所有过程温度的变化与篮球容积的变化） （1）该同学利用充气筒向篮球打了19次气，求此时篮球内部的气压； （2）若篮球内部的气压为，可以采取缓慢放气的办法使篮球内部的气压恢复到，求放出气体的质量与放气后球内气体的质量的比值。    14．如图，刚性容器内壁光滑、盛有一定量的气体，被隔板分成A、B两部分，隔板与容器右侧用一根轻质弹簧相连（忽略隔板厚度和弹簧体积）。容器横截面积为S、长为2l。开始时系统处于平衡态，A、B体积均为Sl，压强均为，弹簧为原长。现将B中气体抽出一半，B的体积变为原来的。整个过程系统温度保持不变，气体视为理想气体。求： （1）抽气之后A、B的压强。 （2）弹簧的劲度系数k。 15．现用一限压阀控制储气瓶内的压强，原定出厂的10L储气瓶中压强为8，现利用一400L、压强为、储气质量为的储气罐及灌气装置给储气瓶灌气。此时储气瓶内可看作真空，且当储气罐内气体压强低于0.5时，灌气装置无法进行工作，不考虑温度变化。 （1）最多可灌满几个储气瓶。 （2）某厂家在给储气瓶灌气时，为节省成本，将原定于8的储气瓶改为6，由此每个灌满的储气瓶少了多少kg的气体。 16．如图，厚度不计的活塞C将圆柱形导热汽缸分为A、B两室，A、B中各封有一定质量的理想气体，A室左侧连通一竖直放置的U形玻璃细管（管内气体的体积可忽略）；当关闭B室右侧的阀门K且缸内气体温度为时，A、B两室容积恰好相等，U形管左、右水银面高度差为。外界大气压，不计一切摩擦。 （1）打开阀门K，使B室缓慢漏气，保持缸内气体温度恒为，当活塞C不再移动时，求A室和B室的体积之比； （2）保持阀门K打开，再对A室气体缓慢加热，当温度达到时，求U形管左、右水银面的高度差。 17．重型卡车运行过程中轮胎的胎压超过或者低于值都会使得爆胎概率达到60％，卡车运行速度越大，胎内温度就越高，影响胎压值；轮胎出现缓慢漏气，也影响胎压值。冬季，某重型卡车行程前安全检查得到每个轮胎内气体压强为，温度为℃。将轮胎内气体视为理想气体，以及忽略运行过程中轮胎体积的变化。，热力学温度和摄氏温度关系为 （1）卡车运行速度在区间内时胎内气体温度与速度关系如图所示，则该卡车运行速度超过多少时，爆胎概率达到60％； （2）卡车以速度匀速运行时，其中一个轮胎因为缓慢漏气使得胎压值恰好为，则其漏掉气体质量占轮胎内原有气体质量的比值k为多少。 学科网（北京）股份有限公司 $$