圆锥曲线：离心率问题、渐近线问题、轨迹方程问题 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线：离心率问题、渐近线问题、轨迹方程问题专项训练 圆锥曲线：离心率问题、渐近线问题、轨迹方程问题专项训练 考点一 离心率问题 1．（2025·山东泰安·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 2．（2025·河北廊坊·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合椭圆结构性质求出，进而求出点P，再代入椭圆方程结合离心率定义即可计算求解. 【详解】由题意可得， 因为和是全等的三角形，所以，即， 又由椭圆结构性质可知，所以， 所以，， 则，所以由， 令，则或（舍去）. 所以的离心率的平方为. 故选：A 3．（2025·甘肃·模拟预测）已知椭圆 的焦点在圆 上，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，即，， 所以，所以 ，则椭圆的离心率 . 故选：D 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，则. 由椭圆定义可得：，， 则. 因，则 . 则，又， 则. 故选：C 5．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 6．（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为主体部分高，上底直径为，下底直径约， 设点， 所以且， 解得，即， 故 故， 故选：B.    7．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设， 由双曲线定义可得， 因为，则， 又因为∥，则，即， 由余弦定理可得， 整理可得， 即，整理可得， 则，，， 即，则，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 8．（2025·四川达州·二模）已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即． 已知圆，其圆心坐标为，半径． 则圆心到渐近线的距离． 因为在双曲线中有，所以． 因为动点在圆上，所以动点到双曲线渐近线的距离最小值为圆心到 渐近线的距离减去圆的半径，即． 已知动点到双曲线渐近线的距离最小值为，所以，移项可得． 且，把代入可得： ，两边同时开方得． 所以离心率． 该双曲线的离心率为． 故选：A． 9．（2025·云南玉溪·二模·多选）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如图，作出椭圆，， 对于A，当时，，则为等腰三角形， 此时，则离心率，故A正确； 对于B，当时，，则为等腰三角形， 此时离心率，故B正确； 对于C，当点在线段的中垂线上时，，则为等腰三角形， 由，得，解得， 则，所以，所以离心率，故C正确； 对于D，要使，则只能，此时， 由，得，解得， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以不可能为等腰三角形，故D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试·多选）已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【详解】因为，则恒成立， 所以由C的离心率为，得，解得或． 故选：BD 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【详解】设直线与圆切于点，则， 由，则， 所以，，， 由勾股定理得， 即，解得， 则，． 故答案为： 12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【详解】直线交轴于点，交轴于点， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的离心率为， 所以该椭圆的离心率为或. 故选：或． 13．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】3 【详解】由双曲线，得，所以 双曲线C的离心率为， 所以，解得 故答案为：. 15．（2025·陕西咸阳·二模）已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】解：如图所示，设双曲线的右焦点为，的中点为，连接， 因为，且为的中点，所以， 又因为，可得，即，所以， 则为等腰三角形，所以， 因为，所以，可得， 由双曲线的定义，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 16．（2025·河南·二模）已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 【答案】/ 【详解】 由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，， ，，， 在中利用正弦定理得， ， ， 由双曲线定义知，， 即，化简得， . 故答案为：. 17．（2025·河北保定·一模）已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【详解】 如图，设为与渐近线的交点， 由题意：，， 所以Q是线段的中点， 所以. 又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故答案为：2 18．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 考点二 渐近线问题 1．（2025·广西·三模）已知抛物线：的焦点为，双曲线：经过点，且双曲线与抛物线交于，两点，若为等腰直角三角形，其中为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 双曲线：经过点，即点为双曲线的上顶点， 可得，即. 双曲线与抛物线交于，两点，且为等腰直角三角形， 设点，代入抛物线方程，得. 将点代入双曲线方程，，化简得. 则，所以渐近线方程为. 故选：C. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 4．（2025·湖南·二模）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由得渐近线方程为，故A错误； 对于B，由得渐近线方程为，故B正确； 对于C，由得渐近线方程为，故C错误； 对于D，由得渐近线方程为，故D错误. 故选：B. 5．（2025·贵州铜仁·三模）已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若，且，则的渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，，，在中，，所以，，则 由双曲线定义可得，，又， 即，， 联立可解得：，． 由勾股定理可知：，即， 由平方关系可知：，双曲线渐近线方程为， 设的倾斜角为，则， 渐近线夹角（指锐角）的正切值为：. 故选：C． 6．（2025·河南新乡·二模）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，即， 则，则，故的渐近线方程为. 故选：C 7．（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 的两条渐近线之间的夹角为 ，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于双曲线 ，其渐近线方程为， 由题意可得渐近线的倾斜角为，所以， 又，联立解得， 双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点和渐近线， 则双曲线的顶点到渐近线的距离为. 故选：B. 8．（2025·四川南充·三模）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则由题：， 又的离心率为，所以， 即，，即， 令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点， 又O是的中点，则，所以， 又，所以， 所以，则，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B. 9．（2025·河北沧州·模拟预测）双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】根据题意，双曲线的渐近线方程为. 10．（2025·北京顺义·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】因为双曲线：过点，所以，解得， 所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 11．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为 . 【答案】 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，得， 因为实轴长为4，，即，所以， 又，则，则双曲线C的焦距为， 故答案为： 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 13．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为： 14．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 【答案】/ 【详解】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 考点三 轨迹方程问题 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由圆的性质可知， 当时，直线斜率不存在， 此时直线斜率为，所以，，， 当时，有，即， 整理得：， 经检验在直线上， 所以的轨迹方程为：. 故选：B. 3．（2024·四川宜宾·三模）已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（    ） A．一条抛物线 B．一个圆 C．一条直线 D．一段线段 【答案】C 【详解】 设，显然抛物线C：的切线斜率不为0， 而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点， 设切点为， 或， 当时，，当时，， 所以无论如何都有， 所以，同理，注意到， 所以是关于的方程的两根，， 一方面：因为垂直，所以， 另一方面：由韦达定理有， 综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意. 故选：C. 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 【答案】A 【详解】由题意知,设直线l的方程为,设, 联立消去得, 所以 ， 所以 所以的中点， 因为, 所以 ， 即, 整理得, 所以E在定直线上， 故选:A. 5．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动点 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：D 6．（2025·辽宁·一模·多选）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：    则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD. 7．（2025·辽宁大连·一模·多选）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【详解】当点A与圆M的圆心重合时，线段PA的中垂线与直线PM的交点Q， 即Q为PM的中点，因此点Q的轨迹为圆，故A选项正确； 当点A在圆M上时，PA的中垂线恒过圆心M，即点Q的轨迹为一个点M，故B选项错误； 当点A在圆M内且非圆心时，，则（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的椭圆，故C选项正确；    当点A在圆M外时，，则或（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的双曲线，故D正确.    故选：ACD． 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为 ，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线： ． 【答案】 （答出一种特殊情况即可） 【详解】 （1）设直线交的准线于点，据已知有，故. 而点都在线段外，故重合，从而在的准线上，所以的准线是. 这就得到，所以的方程是. 设上的三个不同点，，构成等边三角形，设该三角形的重心为，则. 所以的坐标分别是. 故，. 得， . 两式分别相加，相减，得，. 故可得方程组. 展开即得. 将第一式减去第二式的倍，得，从而. 再由第二式得，两式作差即有. 所以，即. 所以或. 若，则由知，所以重合，这不可能. 故一定有，即. 另一方面，若，则取方程的一根后，根据上面类似的计算知. 取的坐标为，则等边三角形的顶点在上，且中心为. 综上，上的等边三角形的中心的轨迹方程为. （2）我们设圆的方程为. 则对上的点，设过该点的与圆相切，则根据距离公式有. 从而，即. 设满足条件的分别为，则，. 同时，该直线与的另一个交点满足，从而由韦达定理知. 设，，则，. 而直线的方程为，即，从而圆心到直线的距离. 而，故， 所以，得. 且 . 故，得. 从而， 这就得到. 所以直线到圆的距离恰等于其半径，故是其切线. 故答案为：，. 9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 10．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 11．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 【答案】. 【详解】设，则由可得，化简得. 故答案为：. 12．（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆锥曲线：离心率问题、渐近线问题、轨迹方程问题专项训练 圆锥曲线：离心率问题、渐近线问题、轨迹方程问题专项训练 考点一 离心率问题 1．（2025·山东泰安·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北廊坊·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·模拟预测）已知椭圆 的焦点在圆 上，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 7．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 8．（2025·四川达州·二模）已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 9．（2025·云南玉溪·二模·多选）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试·多选）已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 13．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 14．（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ． 15．（2025·陕西咸阳·二模）已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为 . 16．（2025·河南·二模）已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 17．（2025·河北保定·一模）已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ． 18．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 考点二 渐近线问题 1．（2025·广西·三模）已知抛物线：的焦点为，双曲线：经过点，且双曲线与抛物线交于，两点，若为等腰直角三角形，其中为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·二模）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州铜仁·三模）已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若，且，则的渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 6．（2025·河南新乡·二模）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 的两条渐近线之间的夹角为 ，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·三模）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）双曲线的渐近线方程为 . 10．（2025·北京顺义·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为 . 11．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为 . 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 13．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 考点三 轨迹方程问题 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（    ） A．一条抛物线 B．一个圆 C．一条直线 D．一段线段 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 5．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·一模·多选）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 7．（2025·辽宁大连·一模·多选）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为 ，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线： ． 9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 10．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 11．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 12．（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$