专题8.4 正态分布（六个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.4 正态分布 一、正态密度函数 四、标准正态分布问题 二、正态密度曲线的性质 五、正态分布的实际应用 三、求区间的概率 六、3σ原则的应用 知识点1正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点2正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点3三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难点一、正态密度函数 【例1】在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是 ．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 【答案】①③ 【详解】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 故答案为：①③. 【例2】设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【变式1-1】如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 【答案】 5 1 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式1-3】设随机变量，X的正态密度函数为，则 . 【答案】0 【详解】由正态密度函数结构特征可知，. 故答案为：0 重难点二、正态密度曲线的性质 【例3】某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，因为， 所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以，所以C错误； 因为，所以D错误. 故选：B. 【例4】（多选）已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（    ） A． B． C． D．对于任意的正数t，恒有 【答案】AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确； 对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 【变式2-1】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 【变式2-2】如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 【变式2-3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 【答案】 自行车 公交车 【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 根据和的分布密度曲线图可知：，， 可得， 若有可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； 若有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车； 故答案为：骑自行车；坐公交车. 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 重难点三、求区间的概率 【例5】某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【答案】C 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 【例6】为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 【答案】 0.16/ 10 【详解】因为数学成绩服从正态分布， 则， 所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率． 又， 所以数学成绩特别优秀的概率． 又， 则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是人． 故答案为：， 【变式3-1】（多选）现对跑完某次5公里马拉松的名参与者的完成时间t（单位:分钟）进行统计，得到这名参与者的完成时间t近似服从正态分布，则（    ） （参考数据:若，则） A．这跑完全程的名参与者中大约有683人的完成时间在内 B．这跑完全程的名参与者中大约有477人的完成时间在内 C．这跑完全程的名参与者中大约有954人的完成时间在内 D．这跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等 【答案】ABD 【详解】根据时间t近似服从正态分布，可得：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故A正确； 由可知，， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故B正确； 由, 可知：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故C错误； 由正态分布的对称性可知：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等，故D正确； 故选：ABD． 【变式3-2】已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【详解】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 【变式3-3】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（    ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，.） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可设， 由题意可得：，所以A正确，B错误； ， ， ， ，故C错误； ， ， ，故D正确. 故选：AD． 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 重难点四、标准正态分布问题 【例7】（多选）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（    ） A． B．服从标准正态分布 C． D． 【答案】AD 【详解】，故，，， 对选项A：根据正态分布的对称性得到，正确； 对选项B：服从标准正态分布，错误； 对选项C：，则，故，错误； 对选项D：，正确. 故选：AD 【例8】某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【答案】(1) (2)68 【详解】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 【变式4-1】《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A．23 B．29 C．36 D．43 【答案】B 【详解】由题意知：～则有， 设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40 ∴有原始分 而，由对称性知 ∴有，即 故选：B 【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。注意正态分布的对称性应用 【变式4-2】某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 【变式4-3】某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 【答案】(1)0.4207； (2)0.9544. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207， （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 若数据服从正态分布，则有 重难点五、正态分布的实际应用 【例9】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】ACD 【详解】由题意知，坐公交车所花时间，骑自行车所花时间，A正确. 对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，错误； 对于C、D， 由， 且， 应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确； 故选：ACD. 【例10】（多选）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 【变式5-1】为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 【答案】(1) (2)①；②能 【详解】（1）由题表知，抽取的这名学生竞赛成绩的平均分， 所以名学生本次竞赛成绩的方差： ． （2）①由于近似为样本成绩平均分近似为样本成绩方差， 所以，则， 由于竞赛成绩近似地服从正态分布， 因此学生可获得“参赛纪念证书”的概率 ． 又， 所以估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为， ②当时，即时， 参赛学生可获得“参赛先锋证书”， 所以竞赛成绩为分的学生能获得“参赛先锋证书”． 【变式5-2】智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 【变式5-3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)6 【详解】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 重难点六、3σ原则的应用 【例11】假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 【答案】(1) (2)检测员的判断是合理的，理由见解析 【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为，由题意可知. 由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知， . （2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为： ， 几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. 【例12】小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 【变式6-1】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【详解】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 【变式6-2】某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2) 【详解】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为    【变式6-3】某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 【答案】(1)1587名 (2)0.0989；期望为 【详解】（1）解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974． 抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026． 随机变量服从二项分布，即． ． 的数学期望为． 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 一、单选题 1．设随机变量服从正态分布，记，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】因，则， 由和正态曲线的对称性，可得， 故. 故选：B. 2．已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 3．北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（   ） 附：若，则，，． A．120人 B．122人 C．124人 D．127人 【答案】D 【详解】历史成绩的平均分为，故， 则， 又，则， 故该次历史考试及格的人数约为. 故选：D 4．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 5．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 6．王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 二、多选题 7．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（    ） （附：若，则，.) A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意易知，，故A正确，B错误； 由，则，故C正确； 由，则， 即，故D错误. 故选：AC. 8．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于正态分布，方差，则. 已知，这里，那么，而不是，所以选项A错误. 对于正态分布，期望. 已知，这里，所以，选项B正确. 因为正态分布，则，. 根据正态分布的性质，，， ，即， 那么，选项C正确. 对于，；对于，. 对应的，对应的. 根据正态分布的性质，值越大，对应的概率越大， 因为，所以，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 10．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量 次．（若，则） 【答案】48 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量48次. 故答案为：48 四、解答题 11．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 【答案】910小时以上． 【详解】因为，所以． 所以． 所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上． 12．已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. (1)求； (2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； (3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为服从正态分布，且， 所以， . （2）因为，所以恰有3罐的净含量不大于250克的概率为（或0.2734375）. （3）依题意可得， 所以 13．某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：    (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，. (2)估计小华有资格参加复赛. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 样本中位于区间内的人数：， 样本中位于区间内的人数：， 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2 ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率， 数学期望. （2）由频率分布直方图可知： ， 由，得，又， 所以， 所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人， 因为，所以估计小华有资格参加复赛. 14．银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析， 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元， ， 所以，，服从正态分布， ， ， 估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上； ②由①知，，则， 的所有可能取值为， ，， ，； 所以随机变量的分布列为： 均值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4 正态分布 一、正态密度函数 四、标准正态分布问题 二、正态密度曲线的性质 五、正态分布的实际应用 三、求区间的概率 六、3σ原则的应用 知识点1正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点2正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点3三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难点一、正态密度函数 【例1】在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是 ．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 【例2】设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【变式1-3】设随机变量，X的正态密度函数为，则 . 重难点二、正态密度曲线的性质 【例3】某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（    ） A． B． C． D．对于任意的正数t，恒有 【变式2-1】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【变式2-2】如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 重难点三、求区间的概率 【例5】某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【例6】为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 【变式3-1】（多选）现对跑完某次5公里马拉松的名参与者的完成时间t（单位:分钟）进行统计，得到这名参与者的完成时间t近似服从正态分布，则（    ） （参考数据:若，则） A．这跑完全程的名参与者中大约有683人的完成时间在内 B．这跑完全程的名参与者中大约有477人的完成时间在内 C．这跑完全程的名参与者中大约有954人的完成时间在内 D．这跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等 【变式3-2】已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式3-3】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（    ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，.） A． B． C． D． 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 重难点四、标准正态分布问题 【例7】（多选）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（    ） A． B．服从标准正态分布 C． D． 【例8】某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【变式4-1】《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A．23 B．29 C．36 D．43 【变式4-2】某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【变式4-3】某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 若数据服从正态分布，则有 重难点五、正态分布的实际应用 【例9】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【例10】（多选）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【变式5-1】为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 【变式5-2】智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【变式5-3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 重难点六、3σ原则的应用 【例11】假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 【例12】小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【变式6-1】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【变式6-2】某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【变式6-3】某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 一、单选题 1．设随机变量服从正态分布，记，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 2．已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 3．北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（   ） 附：若，则，，． A．120人 B．122人 C．124人 D．127人 4．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 5．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（    ） （附：若，则，.) A． B． C． D． 8．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 10．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量 次．（若，则） 四、解答题 11．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 12．已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. (1)求； (2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； (3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 13．某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：    (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 14．银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$