精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一下学期第二阶段测试数学试题

北京师范大学附属实验中学 2027届高一下学期数学阶段测试二 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 已知，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得点均位于函数的图象C上．则下列结论 ①可能为； ②可能为； ③； ④ 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 已知向量，，若，则___________． 10. 函数的定义域为__________________ . 11. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________. 12. 若函数（）和图象的对称轴完全重合，则_________，__________. 13. 长方形中，，，且，则______，______． 14. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中． （1）的值为___________； （2）向量，的夹角的取值范围是___________． 三、解答题（共44分） 15. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点． （1）求，及的值； （2）求和的值． 16. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． （1）求的解析式； （2）求的零点； （3）求的单调递增区间． 17. 已知点，，满足． （1）求m的值； （2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在上的最大值； （3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求值并讨论在上的值域． 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系． （1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论； ①，；，； ②，；，； （2）若与具有关系，求m的取值范围； （3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师范大学附属实验中学 2027届高一下学期数学阶段测试二 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据所在区域及象限角的定义判断得解. 【详解】显然，所以是第三象限角. 故选：C 2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得. 【详解】观察图形知，，所以. 故选：A 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律结合已知求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】由，得，由，，得，即， 即，解得，于是，而， 所以. 故选：D 4. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的图象和直线的全部交点，然后根据已知条件得到，再确定的表达式，最后确定图象的全部对称轴，即可选出答案. 【详解】由于，故方程等价于，即. 故的图象和直线的全部交点为，由于相邻两个交点间的距离等于，故，即. 所以，其图象的全部最值点满足，即. 所以图象的全部对称轴为，取即知A正确. 而，故B，C，D错误. 故选：A. 5. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得. 【详解】在中，，，则， 所以. 故选：A 6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，由的图象变换规律，得出结论. 【详解】根据函数（其中，，）的部分图象， 可得，，解得， 再根据五点法作图可得，解得，故， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 经检验，其他选项都不正确. 故选：D 7. 已知，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】若，则， 所以，且， 则，即， 当为奇数时，，为奇函数， 当为偶数时，，为奇函数， 故充分性满足； 若是奇函数，则，即， 即，故必要性也满足； 所以“”是“是奇函数”的充要条件. 故选：C 8. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论 ①可能为； ②可能； ③； ④ 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得，从而求得值，代入解析式即可求得取值. 【详解】由题意点向左平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上， 可得，向右平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，可得，即， 可得,解得， 当时，，不可能为，故①正确，②不正确， ，当k为偶数时，函数值为， 当k为奇数时，函数值为，故③正确，④不正确， 故选：A 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 已知向量，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】依据向量垂直的充要条件，列出关于k的方程，即可求得k的值 【详解】由，，， 可得，解之得 故答案为： 10. 函数的定义域为__________________ . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由 ，解得 ，所以定义域为 考点：本题考查定义域 点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域 11. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用且和不共线，求出的值的范围即可. 【详解】由和的夹角为钝角，得且和不共线，则， 由，得，解得， 整理得， 当时，，，而，则， 因此当和的夹角为钝角时，且， 所以和的夹角为钝角的的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 12. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 或1 【解析】 【分析】化简函数并求出其周期，由两个函数周期相同求出，再求出对称轴进而确定即可求出. 【详解】依题意，，函数的周期为， 由函数和的图象对称轴完全重合，得的周期，所以； 函数，由，得， 函数中，由，得， 依题意，， 则当时，， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，，所以或. 故答案为：2；或1 13. 在长方形中，，，且，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 设，以B为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则， 则， 由可得，解得，所以， 且，所以. 故答案为：；. 14. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中． （1）的值为___________； （2）向量，的夹角的取值范围是___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）由，根据数量积法则运算即可； （2）由，又，求出模的取值范围，从而得出的取值范围． 【详解】（1） ； （2）由 又因为 所以，又因为 所以 故答案为：2； 三、解答题（共44分） 15. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点． （1）求，及的值； （2）求和的值． 【答案】（1）， ，； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可； （2）利用正余弦的二倍角公式求解与，结合正弦和公式求解即可． 【小问1详解】 角的终边经过点，所以， ； 【小问2详解】 由，， ． 16. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． （1）求的解析式； （2）求的零点； （3）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法去求的解析式； （2）利用解三角方程去求的零点； （3）利用正弦函数的单调增区间去求的单调递增区间． 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，可得 又函数的图象经过点，则，又，则 则的解析式为 【小问2详解】 由，可得，解之得 则的零点为 【小问3详解】 由，可得 则的单调递增区间为 17. 已知点，，满足． （1）求m的值； （2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的运算律得到，再根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先表示出，再根据向量模坐标计算及二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 【小问1详解】 解：因为，，， 所以，， 因为，所以， 即，即， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 因为 所以 所以当时，此时，即； 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在上的最大值； （3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域． 【答案】（1）最小正周期，对称轴方程； （2）3； （3），值域见解析 【解析】 【分析】（1）由恒等变换得，即可利用函数的性质求解； （2）先求的范围，即可结合函数单调性求得最值； （3）由上单调递减，在上单调递增得且为的极小值点，结合的范围与函数单调性，即可求得的值； 由，可得，结合函数单调性，即可对的值分类讨论（分界点为的情形），即可判断最值 小问1详解】 ，所以最小正周期，由得，对称轴方程为； 【小问2详解】 由，得，所以当时，取得最大值，为3； 【小问3详解】 由题， ，为的极小值点， 又，故，所以，即， 由，得，，即，当时，可解得， i.当，即，此时在上的值域为，即； ii. 当，即,此时在上的值域为，即 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系． （1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论； ①，；，； ②，；，； （2）若与具有关系，求m的取值范围； （3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有关系． 【答案】（1）①具有关系；②不具有关系 （2） （3）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）根据具有关系的定义判断即可； （2）求解的值域即可得出结果； （3）根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域得出的范围，即可证明结论． 【小问1详解】 ①具有关系；②不具有关系． 【小问2详解】 ， 所以，则； 【小问3详解】 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值， 由对任意，有v，所以关于点对称， 又，所以的周期为 故的值域为；， 当时，；时， 若，则，时有； 当时，；时， 若，则，时有； 由于，所以 故不存在，，使得， 所以与不具有关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$