1.1 等腰三角形 同步练习 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下 1.1 等腰三角形 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC，AC=BC C．AB=BC，∠B=60° D．AB=BC，∠A=∠C 2．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，且AD=BD，CD=AC，则∠ADC的度数是（　　） A．60° B．64° C．70° D．72° 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则下列结论正确的是（　　） A．∠A=60° B．∠B=90° C．AC=2BC D．AB=2BC 4．如图所示，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2的度数（　　） A．140° B．240° C．280° D．360° 5．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=16，则DE的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，在△ABC中，BC=6，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，连接BD，BD=BC，E为BC上方一点，且∠CBE=124°，连接CE，若BA平分∠EBD，则∠A的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 8．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE=CD，若EF=2，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF=3，则BP=（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AE=BG；③AD+CF=BD；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 二．填空题（共5小题） 11．△ABC中，∠A=80°，当∠B=______°时，AB=AC． 12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，∠B=25°，则∠DAC=______°． 13．在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于D，若BC=14，则BD=______． 14．如图，AC平分∠BAD，AB∥CD，BC=4，∠BAD=30°，∠B=90°，则CD的长为 ______． 15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点G，EF⊥BC于点F，若CD=3AE，CF=9，则AC的长为 ______． 三．解答题（共5小题） 16．如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D． （1）求证：△BDE为等腰三角形； （2）若点D为AB的中点，AB=6，求线段BC的长． 17．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD=2，求△AED的面积． 18．如图，将△ABC沿BE平移，得到△DEF，连接CD，CD=BE． （1）若DE⊥AC，垂足为G，求证：AG=CG； （2）若∠ACD=15°，∠EBC=20°，求∠ACB的度数． 19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BD，AO=CO，E为AD边上一点，且BE=BA，∠ABD=2∠ADB=2α． （1）求证：BE=BC； （2）求∠CBE的度数（用含α的代数式表示）； （3）若AC=2，DE=2，求OD的长． 20．已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h. 若点P在边BC上，如图①，此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h. 请直接应用上述信息解决下列问题： （1）当点P在△ABC内，如图②，上述结论是否成立？请说明理由． （2）当点P在△ABC外，如图③，结论是否仍然成立？请说明理由． 北师大版八年级下 1.1 等腰三角形 同步练习 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、D 2、D 3、D 4、B 5、C 6、B 7、A 8、C 9、A 10、B  二．填空题（共5小题） 11、50； 12、65； 13、7； 14、8； 15、15；  三．解答题（共5小题） 16、（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠CBE， ∵∠ABE=∠DEB， ∴BD=DE， ∴△BDE为等腰三角形； （2）解：∵点D为AB的中点，AB=6， ∴BD=3， 由（1）可知：∴BD=DE， ∴DE=3， ∵点D为AB的中点，DE∥BC， ∴DE为△ABC的中位线， ∴BC=2DE=6． 17、（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC=BC， ∵AD为中线， ∴AD⊥CD，， ∵AD=AE， ∴， ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=15°； （2）解：过D作DH⊥AC于H， ∴∠AHD=90°， ∵∠CAD=30°， ∴， ∵AD=AE=2， ∴． 18、（1）证明：连接AD， ∵将△ABC沿BE平移，得到△DEF， ∴AD=BE， ∵CD=BE， ∴AD=CD， ∵DE⊥AC， ∴AG=CG； （2）解：∵△ABC沿BE平移，得到△DEF， ∴AD=BE，AD∥BE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴∠ABE=∠ADG， ∵DE⊥AC，CD=BE， ∴△ADC为等腰三角形，∠ACD=∠DAC， ∵∠ACD=15°， ∴∠ABE=∠ADG=90°-∠ACD=90°-15°=75°， ∵∠EBC=20°，AD∥BE， ∴∠ABC=55°，∠BAD=105°， ∴∠BAC=105°-15°=90°， ∴∠ACB=180°-55°-90°=35°． 19、（1）证明：∵AC⊥BD，AO=CO， ∴BD垂直平分线段AC， ∴AB=BC， 又∵AB=BE， ∴BE=BC； （2）解：∵BD垂直平分线段AC， ∴∠CBD=∠ABD， ∵∠ABD=2∠ADB=2α， ∴∠CBD=∠ABD=2α，∠ADB=α， ∴∠BAO=90°-2α，∠OAD=90°-α， ∴∠AEB=∠BAE=180°-3α， ∴∠ABE=180°-2（180°-3α）=6α-180°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=4α-（6α-180°）=180°-2α； （3）解：如图，连接CE、过点C作CF⊥AD于点F， ∵BD垂直平分线段AC， ∴CD=AD，∠CDA=2α， 设AE=x,则CD=AD=x+2， ∵CB=BE，∠CBE=180°-2α， ∴∠CBE=∠BEC=α， ∴∠CED=180°-（180°-3α+α）=2α=∠CDA， ∴CE=CD， 又∵CF⊥DE， ∴DF=EF=1， ∴AF=x+1， ∵AC2-AF2=CD2-DF2， ∴（2）2-（x+1）2=（x+2）2-12， 解得：x1=2，x2=-5（舍去）， ∴AE=2， ∴AD=4， 又∵OA=AC=， ∴OD===． 20、解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立． 理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N， 则可得结论h1+h2=AN． ∵易得四边形MNPF是矩形， ∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h, 即h1+h2+h3=h. （2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h. 理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N， 则可得结论h1+h2=AN． ∵易得四边形MNPF是矩形， ∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2-h3=AN-MN=AM=h, 即h1+h2-h3=h. 学科网（北京）股份有限公司 $$