几何模型研究大讲堂 专题五 平行线外的拐点模型2024-2025学年人教版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂 专题五：平行线外的拐点模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AB∥CD，点E为AB外部一点.形成“鹰嘴”模型. 1.∠E=∠1-∠3 AB∥CD，点E为AB外部一点.形成“铁钩”模型. 1.∠E=∠3-∠1 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 考察“平行线外的拐点”模型 求角度 常在选择题或填空题中考查： 根据平行线的性质，三角形内外角计算角度 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.题目往往给出两直线平行，并以此求出角的度数，有必要熟记结论. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论(性质) “鹰嘴”模型 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “铁钩”模型 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “鹰嘴”模型 延长直线，相交产生同位角（可延长ED） “铁钩”模型 双延长，相交产生三角形，利用外角的性质求解. “铁钩”模型 在交点处作平行线，产生同位角与内错角. 注：本模型可由多种方法证明，考试时建议使用1、2证明，同学们可以自由探讨其它证明方法. PART 5——模型解析. 1.（2022·山东淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（       ）. A.23° B.25° C.27° D.30° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 第1题图 第2题图 第3题图 2.（2022·湖南岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是（       ）. A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在中，，， 则， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 3.（2025·重庆巴蜀月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（     ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过C 作CF//AB, 根据平行线的传递性可得, 根据平行线的性质得出∠B=∠BCF,∠DCF=180°－∠D, 最后结合∠BCD=∠BCF+∠DC即可得出结论. 【详解】解：过C 作C F//AB, ∵， ∴， ∴∠B=∠BCF,∠D+∠DCF=180°, ∴∠DCF=180°－∠D; 又∠ BCD=∠BCF+∠DCF, ∴∠BCD=∠B+180°－∠D, ∴∠BCD+∠D－∠B=180°, 故选：D.        4.（2023·贵州贵阳校级一模）如图，直线，点是平行线外一点，连接，，若，，则的度数是（       ）. A.22° B.24° C.26° D.28° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠C=50°;再根据三角形的外角的性质即可得出∠E 的度数 . 【详解】解：如图，直线，∴∠1=∠C=50°, ∵， ∴∠E=∠1-∠A=28°. 故选：D 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，属于基础题，熟练掌握相应知识点是解题的关键. 第4题图 第5题图 5.（2025·海南海口校级月考）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（     ）. A.28° B.30° C.32° D.34° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质.首先过点C 作FM∥AE根据两直线平行内错角相等可得：∠ECF=∠E,根据两直线平行同位角相等可得∠BMC=∠BAE=88°,∠DCF=∠BME=88°, 根 据 角 之 间 的关系 可 得：∠ECF=∠DCE-∠DCF=34°,等 量 代 换 可 得 ：∠E=34° 【详解】解：如下图所示，过点C 作FM∥AE, ∴∠ECF=∠E,∠BMC=∠BAE=88°, ∵， ∴∠DCF=∠BME=88°, 又∵， ∴∠ECF=∠DCE－∠DCF=122°－88°=34° ∴∠E=34°. 故选：D. 6. （2024·山西大同校级月考）如图，，是等腰三角形，，，．则的度数为________． 【答案】44° 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等，先根据等边对等角、三角形内角和定理，求出∠A=28°,再根据平行线的性质得出最后根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD+∠CFD即可求解. 【详解】解：如图，延长ED交AC于点F. ∵是等腰三角形，，， ∴ ∵， ∴∠CFD=∠A=28°. ∵ ∠CDE=∠ACD+∠CFD, ∴. 故答案为：44° . 7.（2025·重庆渝北校级月考节选）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数． 第6题图 第7题图 【答案】15° 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键.(1)过点 C作，可得∠ BCM=∠ABC,再由平行线的性质得∠DCM=∠EDC,则可求得 ∠BCD=∠BCM－∠DCM=15°. 【详解】解：(1)过点C作,如图1所示， 图 1 ∴∠BCM=∠ABC=150°, ∵AB//DE, ∴， ∴∠DCM=∠EDC=135°, ∵∠BCM=∠BCD+∠DCM, ∴∠BCD=∠BCM－∠DCM=150°－135°=15°. 8. （2023·湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（       ）． A.110° B.70° C.40° D.30° 【答案】C 【解析】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．    第8题图 第9题图 9.（原创）如图，KL∥MF且MF平分∠EFH.∠BDE=∠EFH.则下列说法错误的有（ ）个. ①若∠BDE=120°，那么∠DEF=120°． ②若∠ADJ=20°，∠DJK=35°，∠JKL=80°，此时∠DEF=100°. ③设∠FGI=α°，∠GIF＝β°，那么∠IEF=（360-α-2β）°. ④若∠BDE=120°且△FGI为等边三角形，则IE∥HG． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用模型结论逐条分析即可. 【详解】解：若∠BDE=120°，则∠BDE+∠EFH+∠DEF=360°，∵∠BDE=∠EFH.，∴∠DEF=120°故①正确； 若∠ADJ=20°，∠DJK=35°，∠JKL=80°，∠KLH=∠JKL-(∠DJK-∠ADJ）=65°，∵KL∥MF且MF平分∠EFH.∴∠EFI=130°，同（1）问，可得∠DEF=100°∴故②正确； ∠EFH=∠FGI+∠GIF，同（1）问，可得∠DEF=（360°-2α-2β）°故③错误； ∵∠BDE=120°．∴∠EFH=∠FGI+∠GIF=120°.∵△FGI为等边三角形.∴∠FGI=60°.同（1）问，可得∠DEF=120°.∴IE∥HG故④正确； 错误的是③，共1个， 故选：A. 10.（原创）如图，.若∠ABE=70°，∠DCF=40°，∠CFE=55°，则∠BEF=_____． 第10题图 第11题图 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作FM∥AB，交BE于点M，利用平行线的传递性得到FM∥CD，构造模型即可. 【详解】解：过点F作FM∥AB，交BE于点M. ∵，FM∥AB. ∴FM∥CD. ∴∠BMF=70°，∠CFM=40°. ∵∠CFE=55°. ∴∠MFE=15°. ∵∠BEF是△MEF的外角. ∴∠BEF=∠BMF－∠MFE=55°. 11.（原创）某校八年级在物理课上进行了对光学的探究，简化的光路图如图所示，凸透镜EF⊥CD，光线AB过焦平行（即AB∥CD，AB经过凸透镜EF焦点），光线JI过心不变（即JI过凸透镜EF中心O后依然沿直线传播），JI在玻璃GH发生了反射现象，入射角等于反射角（即∠GJI=∠HJM），还发生了折射现象，反射光线为JK，BK与JK的交点于点K，BG的法线是JL（此处未标虚线，即JI⊥GH）.测得∠HJM=20°，∠HJK=80°. (1）.若△JKQ为等腰三角形，求∠JKQ的度数. (2）.若△BPO为等腰三角形，求∠JKQ的度数. 1）S△ABO=12.5 （2）∠B=100°. （3）∠CEG=120°. 设A（a,a） 由题意得：2a=10 a=5 ∴A（5,5），B（0,5）. ∴AB=5，BO=5. ∴S△ABO=×5×5=12.5 ∵∠BC=∠DE. ∴∠BC-∠ABC=∠DE-∠ADE ∠BA=∠DA ∵BC∥DE. ∴∠BC+∠DE+∠BD=∠ABC+∠ADE+∠BAD=360° 2∠BA+∠BD=∠BAD ∵∠BAD-∠BD=40°. ∴∠BA=∠DA=20°. ∵ABC=∠ADE=∠BAD. ∴ABC=∠ADE=∠BAD=120°. ∵B是∠的角平分线. ∴∠BD=2∠BA=40°，即∠BD=∠DE=160°. ∴∠B=100°. 设∠GIH=x°. ∵∠FHI=20°且l1∥l3∥x轴. ∴∠DGH=∠CDI=（20+x）°. ∴∠DGF=（160-x）°. ∵CE∥DI. ∴∠ECJ=∠CDI=（20+x）°. ∵EG平分∠DGF. ∴∠EGF=（80-x）°. ∵∠BAC=60°. ∴∠ACJ=∠BAC=60°. ∴∠ACE=∠ECJ+∠ACJ=（80+x）°. ∵x轴平分∠ACE. ∴∠ECJ=（40+x）°. ∴∠CEG=∠EGF+∠ECJ=120°. 过点K作KR∥AB.利用∠ABK、∠JKQ、∠HJK的关系求解. 解：（1）∵∠GJI=∠HJM=20°. ∴∠QJH=180°-∠GJI=160° ∴∠KJQ=360°-∠QJH-∠HJK=360°-160°-80°=120° ∵△JKQ为等腰三角形. ∴∠JKQ=30°. （2）过点K作KR∥AB. ∵EF⊥CD. ∴∠BOC=90° ∵AB∥CD. ∴∠ABO=90°. ∵△BPO为等腰三角形. ∴∠OBP=45°. ∴∠BKR=∠ABO+∠OBP=135°. ∴∠PKR=∠BKR=135°. ∴∠JKR=180°-80°=100°. ∴∠JKQ=135°-100°=35°. 12. （2024·山东日照校级月考）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 13.（原创）在平面直角坐标系xOy中. 图一 图二 图三 ①.如图一，点A在第一象限的角平分线上运动，点B为纵坐标上一定点连接AB，AB∥x轴，当AB⊥y轴时，点A横纵坐标恰为10，求此时S△ABO. ②.如图二，BC∥DE.是的角平分线，若∠BC=∠DE，同时，∠BC=∠DE=∠BAD，∠BAD-∠BD=40°，求∠B的度数. ③.l1∥l3∥x轴，CE∥DI.l2在x轴上.∠FHI=20°.∠BAC=60°.x轴，EG分别平分∠ACE，∠DGF.求∠CEG的度数. 【答案】（1）S△ABO=12.5（2）∠B=100°.（3）∠CEG=120°. 【解析】 【分析】（1）设，则B（0，a）,利用直角三角形面积公式即可.（2）由∠BC=∠DE推出∠BA=∠DA，再由BC∥DE推出 2∠BA+∠BD=∠BAD，最后通过.是的角平分线求得∠B；（3）设∠GAH=x°，通过转化消元求得∠CEG. 解：（1）设 由题意得：2a=10 a=5 ∴，B（0,5）. ∴AB=5，BO=5. ∴S△ABO=×5×5=12.5 （2）∵∠BC=∠DE. ∴∠BC-∠ABC=∠DE-∠ADE ∠BA=∠DA ∵BC∥DE. ∴∠BC+∠DE+∠BD=∠ABC+∠ADE+∠BAD=360° 2∠BA+∠BD=∠BAD ∵∠BAD-∠BD=40°. ∴∠BA=∠DA=20°. ∵ABC=∠ADE=∠BAD. ∴ABC=∠ADE=∠BAD=120°. ∵是的角平分线. ∴∠BD=2∠BA=40°，即∠BD=∠DE=160°. ∴∠B=100°. （3）设∠GIH=x°. ∵∠FHI=20°且l1∥l3∥x轴. ∴∠DGH=∠CDI=（20+x）°. ∴∠DGF=（160-x）°. ∵CE∥DI. ∴∠ECJ=∠CDI=（20+x）°. ∵EG平分∠DGF. ∴∠EGF=（80-x）°. ∵∠BAC=60°. ∴∠ACJ=∠BAC=60°. ∴∠ACE=∠ECJ+∠ACJ=（80+x）°. ∵x轴平分∠ACE. ∴∠ECJ=（40+x）°. ∴∠CEG=∠EGF+∠ECJ=120°. 14. （2023·重庆一外期中）如图1，在平面直角坐标系内，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点是轴负半轴上一点，点是直线上位于第四象限内的一点，直线经过原点，且平分，的平分线与直线交于点，的平分线与直线交于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)在，，中，如果有一个角是另一个角的4倍，直接写出的度数：__________； (3)如图2，当取（2）结论中的最大值时，过点作交直线于点，点是直线上一点且，现将绕点逆时针旋转度，得到，射线交直线于点，的平分线交直线于点，在旋转过程中，是否存在，使得，若存在，请直线写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）或 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质可求解； （2）由外角的性质可求，分四种情况讨论，由三角形内角和定理可求解； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）平分， ， ，， ， ， 当， ， ； 当， ， ， （舍去）； 当， ， ， ； 当， ， ， ， （舍去）； 综上所述：的度数为或， 故答案为：或； （3）当时， ，，， ， ； 当时， ，，， ， ； 当时， ，，， ， （舍去）． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 15. （2025·辽宁沈阳校级期末） 已知平分，，点E、F分别在射线上运动，满足，连接．        (1)如图1，当点F在点G左侧时，求证：； (2)如图2，当点F在点G右侧时，设，请直接用含α，β的代数式表示的度数   　　； (3)在射线下方有一点H，连接，满足，平分，若，请直接写出的度数   　　． 【答案】（1）见解析（2）α+β（3）70°或130° 【解析】 【分析】(1)利用同旁内角互补得到∠B+∠BAD=180，再等量代换从而得证(2)设∠BAG=∠BGA=α°，注意AB始终平行于EF；（3）分类讨论H的位置，画图求解即可. （1）.证明：∵AG平分∠BAD, ∴∠BAG=∠DAG， ∵∠BAG=∠BGA, ∠BGA=∠DAG， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180. ∵∠AEF=∠B, ∴∠AEF+∠BAD=180°， ∴AB∥EF (2)∵AB∥EF, ∠BAG=∠BGA=α°. ∴∠EAG=∠BAG=α°, ∠B=（180-2α）°. ∵∠AEF=∠B=（180-2α）°且∠GEF=β°. ∴∠GEA=（180-2α-β）°. ∵AD∥BC, ∴∠EGF=∠GEA=（180-2α-β）°. ∴∠EGA=180-∠AGB-∠EGF=[180-α-(180-2α-β）]=（α+β）° (3)AG平分∠BAD，∠BAG=∠BGA，∠BAG=60°. ∴∠DAG=∠BGA=∠DAG=∠B=60°. ∵∠AEF=∠B，∠BAH=2∠HAG. ∴∠AEF=∠B=60°，∠HAG=20°. ∵EF平分∠FEG，∠FEG=20°. ∴∠FEH=∠GEH=10°. 当点P在点G左侧时： ∠H=（180-20-60-60-10）°=30°. ∠AGE=（180-60-60-20）°=40°. ∴∠AGE+∠H=70°. 当点P在点G右侧时： ∠H=[180-20-60-(60-10)]°=50°. ∠AGE=[180-60-（60-20)]°=80° ∠AGE+∠H=130°. 综合可知：∠AGE+∠H=70°或130°. 【变式1】（2023·四川宜宾）如图， ，且，，则等于（　　）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可求，再由，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．     【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式2】（2023·山东青岛）如图，直线，，，则的度数为（　　）. A． B. C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键． 【变式3】（原创）如图，，那么（ ）°. A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，根据内角和定理得到，再由平行线的性质即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B 【变式4】（2023·辽宁丹东学业考试）如图，直线，， ，则______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠1=∠A=70°,再由三角形外角的性质，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴∠1=∠A=70°, ∵， ∴∠E=70°－40°=30° . 故答案为：30°. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键. 【变式5】（2022·江苏常州校级期末）如图，已知，，，则__________． 【答案】20° 【解析】 【分析】由，得,结合,即可得到答案 . 【详解】 ∵ ，. ∴. ∵∠1+∠AEC+∠C=180°, ∴∠C=180°-130°-30°=20° . 故答案是：20°. 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和三角形内角和定理，掌握平行线的性质定理和三角形内角和定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题五：平行线外的拐点模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AB∥CD，点E为AB外部一点.形成“鹰嘴”模型. 1.∠E=∠3-∠1 AB∥CD，点E为AB外部一点.形成“铁钩”模型. 1.∠E=∠3-∠1 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 考察“平行线外的拐点”模型 求角度 常在选择题或填空题中考查： 根据平行线的性质，三角形内外角计算角度 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.题目往往给出两直线平行，并以此求出角的度数，有必要熟记结论. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论(性质) “鹰嘴”模型 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “铁钩”模型 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “鹰嘴”模型 延长直线，相交产生同位角（可延长ED） “铁钩”模型 双延长，相交产生三角形，利用外角的性质求解. “铁钩”模型 在交点处作平行线，产生同位角与内错角. 注：本模型可由多种方法证明，考试时建议使用1、2证明，同学们可以自由探讨其它证明方法. PART 3——模型练习. 1. （2022·山东淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（       ）. A.23° B.25° C.27° D.30° 第1题图 第2题图 第3题图 2. （2022·湖南岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是（       ）. A.30° B.40° C.50° D.60° 3.（2025·重庆巴蜀月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（     ）. A. B. C. D. A层——基础模型练       4.（2023·贵州贵阳校级一模）如图，直线，点是平行线外一点，连接，，若，，则的度数是（       ）. 第4题图 第5题图 5.（2025·海南海口校级月考）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（     ）. A.28° B.30° C.32° D.34° 6.（2024·山西大同校级月考）如图，，是等腰三角形，，，．则的度数为________． 7.（2025·重庆渝北校级月考节选）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数． 第6题图 第7题图 8. （2023·湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（       ）． A.110° B.70° C.40° D.30°    第8题图 第9题图 9.（原创）如图，KL∥MF且MF平分∠EFH.∠BDE=∠EFH.则下列说法错误的有（ ）个. ①若∠BDE=120°，那么∠DEF=120°． ②若∠ADJ=20°，∠DJK=35°，∠JKL=80°，此时∠DEF=100°. ③设∠FGI=α°，∠GIF＝β°，那么∠IEF=（360-α-2β）°. ④若∠BDE=120°且△FGI为等边三角形，则IE∥HG． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.（原创）如图，.若∠ABE=70°，∠DCF=40°，∠CFE=55°，则∠BEF=_____． 第10题图 第11题图 11.（原创）某校八年级在物理课上进行了对光学的探究，简化的光路图如图所示，凸透镜EF⊥CD，光线AB过焦平行（即AB∥CD，AB经过凸透镜EF焦点），光线JI过心不变（即JI过凸透镜EF中心O后依然沿直线传播），JI在玻璃GH发生了反射现象，入射角等于反射角（即∠GJI=∠HJM），还发生了折射现象，反射光线为JK，BK与JK的交点于点K，BG的法线是JL（此处未标虚线，即JI⊥GH）.测得∠HJM=20°，∠HJK=80°. (1）.若△JKQ为等腰三角形，求∠JKQ的度数. (2）.若△BPO为等腰三角形，求∠JKQ的度数. 12. （2024·山东日照校级月考）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13.（原创）在平面直角坐标系xOy中. 图一 图二 图三 ①.如图一，点A在第一象限的角平分线上运动，点B为纵坐标上一定点连接AB，AB∥x轴，当AB⊥y轴时，点A横纵坐标恰为10，求此时S△ABO. ②.如图二，BC∥DE.B是∠的角平分线，若∠BC=∠DE，同时，∠BC=∠DE=∠BAD，∠BAD-∠BD=40°，求∠B的度数. ③.l1∥l3∥x轴，CE∥DI.l2在x轴上.∠FHI=20°.∠BAC=60°.x轴，EG分别平分∠ACE，∠DGF.求∠CEG的度数. 14.（2023·重庆一外期中）如图1，在平面直角坐标系内，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点是轴负半轴上一点，点是直线上位于第四象限内的一点，直线经过原点，且平分，的平分线与直线交于点，的平分线与直线交于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)在，，中，如果有一个角是另一个角的4倍，直接写出的度数：__________； (3)如图2，当取（2）结论中的最大值时，过点作交直线于点，点是直线上一点且，现将绕点逆时针旋转度，得到，射线交直线于点，的平分线交直线于点，在旋转过程中，是否存在，使得，若存在，请直线写出的值；若不存在，请说明理由． 15.（2025·辽宁沈阳校级期末） 已知平分，，点E、F分别在射线上运动，满足，连接．        (1)如图1，当点F在点G左侧时，求证：； (2)如图2，当点F在点G右侧时，设，请直接用含α，β的代数式表示的度数   　　； (3)在射线下方有一点H，连接，满足，平分，若，请直接写出的度数   　　． PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（2023·四川宜宾）如图， ，且，，则等于（　　）. A. B. C. D.     【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式2】（2023·山东青岛）如图，直线，，，则的度数为（　　）. A． B. C． D． 【变式3】（原创）如图，，那么（ ）°. A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【变式4】（2023·辽宁丹东学业考试）如图，直线，， ，则______． 【变式5】（2022·江苏常州校级期末）如图，已知，，，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$