几何模型研究大讲堂 专题四 平行线间的拐点模型 2024-2025学年人教版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题四：平行线间的拐点模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AB∥CD，点E是平行线间一点. 拐点向平行线内部形成“M”模型*. ∠A+∠C=∠AEC. *本套题集所涉及的一些模型名称可能不一样，本模型也有猪蹄模型之称，题集会尽量选取更普遍的名称. AB∥CD，点E是平行线间一点. 拐点向平行线外部形成铅笔模型. ∠A+∠C+∠AEC=360°. AB∥CD，点E、F是平行线间一点. 至少有两个拐点向平行线内部交错形成锯齿模型. ∠B+∠F＝∠E+∠C. 注：左边角之和=右边角之和. AB∥CD，点E、F是平行线间一点. 至少有两个拐点向平行线内部交错形成多拐点铅笔模型. ∠B+∠CFE+∠BEF+∠C=540°. 注：所有角=[180（n+1）]°，n为拐点数量. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 考察“M”系列的模型 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查： （1）平行线中结合三角形 （1）在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解； （2）延长拐点所在线段交一平行线，根据三角形外角求解. 考 法 2 考察“铅笔头”系列的模型 利用模型求角度 常在选择题中考查： (1)求角度； (2)在结论判断题中涉及. （1）在拐点处作平行线，根据两直线平行，同旁内角互补求解； （2）延长拐点所在线段交一平行线的延长线，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. （3）连接两平行线中与拐点连接的点，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.题目往往给出两直线平行，并以此求出角的度数，题目不常考多个拐点，但有必要熟记结论. 常见辅助线作法：如下表： 类型 图示 辅助线作法 “M”模型. 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “铅笔头”模型. 在拐点处作平行线，根据两直线平行，同旁内角互补求解. “M”模型. 延长拐点所在线段交一平行线，根据三角形外角求解. “铅笔头”模型. 延长拐点所在线段交一平行线的延长线，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. “铅笔头”模型. 连接两平行线中与拐点连接的点，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. PART 3——模型练习. 1.（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2.（2023·重庆育才定时）如图，，，则，和的数量关系是___________．     3.（2024·甘肃兰州校级期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明.   4.（2021·湖北十堰）如图，直线，则（ ）. A. B. C. D. 5.（2022·江苏南京）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________． 6.（2023·陕西西安校级期中） 如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 7.（2024·山西太原校级月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为_________． 8.（2025·湖北武汉期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 9.（2024·河北石家庄期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为______； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，则度数为______； ②若反射光线恰好与平行，则的度数为______． 10.（2025·辽宁沈阳阶段练习）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则______. 11.（2025·辽宁沈阳七中月考） 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则______． 12.（2025·北京海淀校级期中） 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． （1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为______； （2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为______（填序号）． 13.（2025·黑龙江哈尔滨期中）如图，，，，，，则n的值为______． 14.（2023·辽宁沈阳七中月考）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，． （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 15.（2024·辽宁抚顺一模）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·辽宁铁岭、葫芦岛）如图，直线mn，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）. A．140° B．130° C．120° D．110° 【变式2】（2021·山东东营）如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式3】（2023·湖北鄂州）如图，直线，于点E．若，则度数是（　　） A B. C. D. 【变式4】（原创）如图，这是一个“介”字，若∠BAD=120°，求∠ABC+∠ADE=_____°. 【变式5】（2024·重庆江北期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为________°． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题四：平行线间的拐点模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AB∥CD，点E是平行线间一点. 拐点向平行线内部形成“M”模型*. ∠A+∠C=∠AEC. *本套题集所涉及的一些模型名称可能不一样，本模型也有猪蹄模型之称，题集会尽量选取更普遍的名称. AB∥CD，点E是平行线间一点. 拐点向平行线外部形成铅笔模型. ∠A+∠C+∠AEC=360°. AB∥CD，点E、F是平行线间一点. 至少有两个拐点向平行线内部交错形成锯齿模型. ∠B+∠F＝∠E+∠C. 注：左边角之和=右边角之和. AB∥CD，点E、F是平行线间一点. 至少有两个拐点向平行线内部交错形成多拐点铅笔模型. ∠B+∠CFE+∠BEF+∠C=540°. 注：所有角=[180（n+1）]°，n为拐点数量. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 考察“M”系列的模型 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查： （1）平行线中结合三角形 （1）在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解； （2）延长拐点所在线段交一平行线，根据三角形外角求解. 考 法 2 考察“铅笔头”系列的模型 利用模型求角度 常在选择题中考查： (1)求角度； (2)在结论判断题中涉及. （1）在拐点处作平行线，根据两直线平行，同旁内角互补求解； （2）延长拐点所在线段交一平行线的延长线，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. （3）连接两平行线中与拐点连接的点，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.题目往往给出两直线平行，并以此求出角的度数，题目不常考多个拐点，但有必要熟记结论. 常见辅助线作法：如下表： 类型 图示 辅助线作法 “M”模型. 在拐点处作平行线，根据两直线平行，内错角相等求解. “铅笔头”模型. 在拐点处作平行线，根据两直线平行，同旁内角互补求解. “M”模型. 延长拐点所在线段交一平行线，根据三角形外角求解. “铅笔头”模型. 延长拐点所在线段交一平行线的延长线，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. “铅笔头”模型. 连接两平行线中与拐点连接的点，根据三角形内角与两直线平行，同旁内角互补求解. 该模型还有其他证明方法，同学们可以自主探究. PART 5——模型解析. 1.（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2.（2023·重庆育才定时）如图，，，则，和的数量关系是___________．     【答案】∠+ ∠－∠=90° 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.分别过点C,D作 CM∥AB,DN∥EF,可得CM∥AB∥DN∥EF, 根 据 平 行 线 的 性 质 可得∠BCM=∠,∠DCM= ∠CDN,∠EDN=∠γ,从 而 得 到∠=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠①,∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠+∠DCM②, 由 ① －② , 即 可 求 解 . 【详 解】 解 ： 如 图 ，分别过点C,D作 CM∥AB,DN∥EF . ∵, ∴CM∥AB∥DN∥EF， ∴∠BCM=∠,∠DCM= ∠CDN,∠EDN=∠γ, ∴∠=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠①,∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠+∠DCM②由①-②得：∠－∠BCD=∠－∠, ∵∠BCD=90°, ∴∠+ ∠－∠=90°. 故 答 案 为：∠+ ∠－∠=90°. 3.（2024·甘肃兰州校级期中）探究题： 如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明. 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. (1) 过点E 作EF∥AB,由平行线的性质可得∠B=∠BEF和∠D=∠DEF,再利用角的和差即可解答；(2)过点E 作EF∥AB,由平行线的性质可得∠B+∠BEF=180°和∠D+∠DEF=180°,再利用角的和差即可解答. 【详解】(1)解：能，理由如下： 如图，过点E 作EF∥AB, 图1 ∵EF∥AB, ∴∠B=∠BEF, ∵EF∥AB,AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠D=∠DEF ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D. (1) 解：∠B+∠D+∠E=360° 证明如下：如图，过点E 作EF∥AB 图2 ∵EF∥AB, ∴∠B+∠BEF=180°, ∵EF∥AB,AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠D+∠DEF=180°, ∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°, 又∵∠ BEF+∠DEF=∠BED, ∴∠B+∠D+∠BDE=360°.   4.（2021·湖北十堰）如图，直线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 5.（2022·江苏南京）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6.（2023·陕西西安校级期中） 如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 7.（2024·山西太原校级月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为_________． 【答案】130° 【解析】 【分析】利用模型结论即可. 【详解】解：∵. ∴∠EDC=360°-90°-140°=130°. 8.（2025·湖北武汉期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之 间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 9.（2024·河北石家庄期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为______； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，则度数为______； ②若反射光线恰好与平行，则的度数为______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，根据，得出，求出，根据，得出即可； （2） ①过点G作，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据三角形内角和定理求出； （3） ②根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）①过点G作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，若反射光线恰好与平行， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合． 10.（2025·辽宁沈阳阶段练习）.已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的值为或， 故答案为：或． 11.（2025·辽宁沈阳七中月考）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∵为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12.（2025·北京海淀校级期中） 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． （1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为______； （2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】 ①. ②. ①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过点作，过点作，所以，因为，可得的度数，因为，，所以，即，可得的度数，因为，可得的度数； （2）分调节角的调节范围在、调节角的调节范围在两段讨论． 【详解】（1）过点作，过点作， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）解：①当调节角的调节范围在时， 由（1）图可得， ， ， ②当调节角的调节范围在时， ， ， 可能取到的度数为：①③④， 故答案为：①③④． 13.（2025·黑龙江哈尔滨期中）如图，，，，，，则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设和交于点，连接，延长交于，设，，则，，，，，根据得，由三角形内角和定理得①，②，由①②即可求出的值． 【详解】解：设和交于点，连接，延长交于，如图所示： 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ①， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， ， 即， ， ， ②， ①②得：， ． 解得：． 故答案为：2.6． 14.（2025·辽宁沈阳七中月考）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，． （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 【答案】（1） （2）①或；②秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果； （2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数； ②根据题意可知，当时，分三种情况， Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案； Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【小问1详解】 解：延长与相交于点G，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①Ⅰ如图2， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间， ∴射线PN旋转的角度， 又∵， ∴； Ⅱ如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间， ∴射线旋转的角度： 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②Ⅰ当从出发，运动如图4时，，与相交于点H， 根据题意可知，经过t秒， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，， 根据题意可知，，，，射线的转动度数为， 则， 又∵， ∴， ∴， 解得； Ⅲ当从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，， 根据题意可知，经过t秒， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键． 15.（2024·辽宁抚顺一模）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 【变式1】（2022·辽宁铁岭、葫芦岛）如图，直线mn，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）. A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】C 【解析】 【分析】解：∵AC⊥BC于点C， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵m∥n， ∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式2】（2021·山东东营）如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作GE∥AB．利用平行线的性质得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定义∠EFD＝90°，进而得出∠GEF＝90°，根据角的和差得到∠BEG＝60°，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点E作GE∥AB， ∵AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠GEF+∠EFD＝180°， ∵EF⊥CD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°， ∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°， ∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°， ∵GE∥AB， ∴∠ABE＝∠BEG＝60°， 故选：D． 【变式3】（2023·湖北鄂州）如图，直线，于点E．若，则度数是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出． 【详解】解：延长，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键． 【变式4】（原创）如图，这是一个“介”字，若BC∥DE，∠BAD=120°，求∠ABC+∠ADE=_____°. 【答案】240° 【解析】 【分析】利用模型求解即可. ∵BC∥DE，∠BAD=120°. ∴∠ABC+∠ADE=360°－120°=240° 【变式5】（2024·重庆江北期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为________°． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点B 作BF//CE,延长 OA交 BF于 点F,由平行线的性质可求得∠AFB=90°,从而可求∠ ABF的度数，再由平行线的性质可得∠BCD+∠ABC=180°,∠BCE+∠CBF=180°, 从而可求∠DCE的度数.解答的关键是作出适当的辅助线. 【详解】解：过点B 作BF//CE,延 长OA交 BF于点F,如图所示： ∵AO⊥MN, ∴∠AON=90°, ∵, ∴CE∥FB∥MN, ∴∠AFB=∠AON=90°,∠BCE+∠CBF=180°, ∵∠BAO=156°, ∴∠ABF=∠BAO－∠AFB=66°, ∵CD//AB, ∴∠BCD+∠ABC=180°, ∴∠BCD+∠CBF+∠ABF=180°, 则∠ BCD+∠CBF=114°, ∵∠CBF+∠BCD+∠DCE=180°, ∴∠DCE=180°－(∠CBF+∠BCD)=66°, 故答案为：66. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$