数学几何模型研究大讲堂 专题三 ”三线八角“模型 2024-2025学年人教版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题三：“三线八角”模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 直 接 考 查 三 线八角 求角度、多结论判断、证明线段的平行关系等 1.常在选择或填空题的简单题中考查： (1)求角度或进行结论判断； (2)结合尺规作图 2.在解答题中涉及考查： (1)根据平行线性质求角度； (2)以过程学习的形式考查平行线的证明 两直线平行：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 考 法 2 结 合 情 境 考 查平行线 求角度 常在选择题中考查： (1)以跨学科为背景的试题； (2)以真实问题为背景的试题，如倾斜杯中水面与桌面平行 若为跨学科反射光线问题，要注意反射角=入射角 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型.主要运用的是平行线的相关知识，在各地中考容易出选填题，争取在此类题目上不能丢分. 常见辅助线作法：延长构造“三线八角”.即延长直线，使两直线相交.（如第8题） PART 3——模型练习. 1. （2024·四川资阳） 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2.（2022·吉林）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 3.（2023·重庆B）如图，直线，被直线所截，若，，则度数为( )． A. B. C. D.       4.（2022·青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ） A. 同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、对顶角 C. 对顶角、同位角、同旁内角 D. 同位角、内错角、同旁内角 5.（2022·山东济南） 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ） A.45° B. 50° C. 57.5° D. 65° 6.（2024·黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 7.（2020·湖南张家界）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度． 8.（2023·河北）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（       ）. A.42° B.43° C.44° D.45°     9.（2020·湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 10.（2025·山东济南期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 11.（2023·重庆一外期中）如图，在中，点，，分别为边，，上的点，点在的延长线上．已知，，，求证：．    证明：∵， ∴（ ① ）． ∴ ② （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴ ③ （同位角相等，两直线平行）． ∴（ ④ ）． ∵，∴．∴（垂直的定义）． 12.（2024·安徽合肥阶段练习）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 13. （2024·安徽安庆练习）如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，_____________． 14.（2025·浙江衢州入学）如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有_____次射线与射线互相平行，时间分别是_____． 15.（2022·浙江金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为． （1）点F的高度为______m． （2）设，则与的数量关系是_______． PART 4——模型变式. 【变式1】（2023·陕西A）如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【变式2】（2023·云南）如图，直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【变式3】（2023·山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）. A. B. C. D. 【变式4】（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）. A. B. C. D. 【变式5】（2024·内蒙古呼伦贝尔、兴安盟） 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题三：“三线八角”模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 直 接 考 查 三 线八角 求角度、多结论判断、证明线段的平行关系等 1.常在选择或填空题的简单题中考查： (1)求角度或进行结论判断； (2)结合尺规作图 2.在解答题中涉及考查： (1)根据平行线性质求角度； (2)以过程学习的形式考查平行线的证明 两直线平行：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 考 法 2 结 合 情 境 考 查平行线 求角度 常在选择题中考查： (1)以跨学科为背景的试题； (2)以真实问题为背景的试题，如倾斜杯中水面与桌面平行 若为跨学科反射光线问题，要注意反射角=入射角 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型.主要运用的是平行线的相关知识，在各地中考容易出选填题，争取在此类题目上不能丢分. 常见辅助线作法：延长构造“三线八角”.即延长直线，使两直线相交.（如第8题） PART 5——模型解析. 1. （2024·四川资阳） 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 2.（2022·吉林）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 3.（2023·重庆B）如图，直线，被直线所截，若，，则度数为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求的度数，根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质．       4.（2022·青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ） A. 同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、对顶角 C. 对顶角、同位角、同旁内角 D. 同位角、内错角、同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角； 两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 5.（2022·山东济南） 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ） A45° B. 50° C. 57.5° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵EC平分∠AED， ∴∠AEC=∠CED=∠1， ∵∠1=65°， ∴∠CED =∠1=65°， ∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案． 6.（2024·黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【解析】 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 7. （2020·湖南张家界）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度． 【答案】76° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵DC∥OB， ∴∠ADC=∠AOB=38°， 由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°， ∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 8.（2023·河北）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（       ）. A.42° B.43° C.44° D.45°     【答案】C 【解析】 【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．. 【详解】如图，∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 9.（2020·湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 【答案】26°． 【解析】 【分析】 设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可． 【详解】解：设∠BAC=x ∵是平行四边形的对角线， ∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x ∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x ∴∠BEC=2x ∵ ∴BE=BC ∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x ∵AD//BC， ∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°． 故答案为26°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键． 10.（2025·山东济南期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 11.（2023·重庆一外期中）如图，在中，点，，分别为边，，上的点，点在的延长线上．已知，，，求证：．    证明：∵， ∴（ ① ）． ∴ ② （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴ ③ （同位角相等，两直线平行）． ∴（ ④ ）． ∵，∴．∴（垂直的定义）． 【分析】根据平行线的判定与性质判定与性质，根据所给过程，分别分析即可填写． 【详解】解：证明：∵， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （垂直的定义）． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 12.（2024·安徽合肥阶段练习）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 【答案】156 【解析】 【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可． 【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角， 则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对， 则总数是对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键． 13.（2024·安徽安庆练习）如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质． 根据点与点，点的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可． 【详解】解：①当点N在点P的右侧时， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②当点N在点A的左侧时， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即：， ， ∴， ∴， 将代入上式解得：， ③当点在之间时， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 由已知得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或5°. 试卷第1页，共3页 14.（2025·浙江衢州入学）如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有_____次射线与射线互相平行，时间分别是_____． 【答案】 ①. 2 ②. 36或108 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间． 详解】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：2；36或108． 15.（2022·浙江金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为． （1） 点F的高度为______m． （2）设，则与的数量关系是_______． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG的长度即可． （2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可． 【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G． ∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°， ∴四边形ABEG是矩形， ∴EG=AB=1m，AG=EB=8m， ∵∠AFG=45°， ∴FG=AG=EB=8m， ∴EF=FG+EG=9(m)． 故答案为：9； （2）．理由如下： ∵∠E=∠EG=∠EG=90°， ∴四边形EG是矩形， ∴EG==1m，G=E=， ∴tan∠FG=， ∴∠FG=60°，∠FG=30°， 根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FM=2n， ∵ 光线是平行的， ∴AN∥M， ∴∠GAN=∠GM， ∴45°+2m=30°+2n， 解得n-m=7.5°， 根据光路图，得， ∴， 故， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键． 【变式1】（2023·陕西A）如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【变式2】（2023·云南）如图，直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式3】（2023·山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4】（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角， ∴，， ∴， 则， ∵光线是平行的， 即， ∴， 故选：B． 【变式5】（2024·内蒙古呼伦贝尔、兴安盟） 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ： （1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$