1.4.2充要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑 1.4.2充要条件 学科:数学 年级:高一 前情回顾 命题 充分条件与必要条件的判断 教学目标 充要条件 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 目录 01 充要条件 02 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 03 新知应用 04 总结与课后作业 充要条件 下面若“若,则”命题中,哪些命题与它的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根,则; (4)若是空集,则与均是空集. 上述命题中, (1)(4)和它们的逆命题都是真命题; 命题(2)是真命题,但逆命题是假命题; 命题(3)是假命题,但逆命题是真命题. 将条件和结论互换位置,就得到了新的命题, 此命题,为原命题的逆命题. 充要条件 思考 我们已经知道, 因为 所以是 的充分条件 又因为 所以不是 的必要条件 综合一下,是 的充分不必要条件 原命题是真命题. 逆命题是假命题. 充要条件 练习下列各题中,是的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)? (1),; 是的充分不必要条件. (2),且; 是的充要条件. (3); 是的必要不充分条件. (4)是自然数;是正数. 是的既不充分也不必要条件. 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 例3 下列各题中,哪些是的充要条件? (1):四边形是正方形,:四边形的对角线互相垂直且平分; (2):两个三角形相似,:两个三角形三边成比例; (3):,:; (4)是一元二次方程的一个根,: 判断原命题和逆命题的真假 即可判断是否为充要条件. 解: (1)原命题是真命题,逆命题是假命题,不是 的充要条件; (2)原命题是真命题,逆命题是真命题,是 的充要条件; (3)原命题是假命题,逆命题是假命题,不是 的充要条件; (4)原命题是真命题,逆命题是真命题,是 的充要条件. 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 练习1 下列各题中,哪些是的充要条件? (1):三角形为等腰三角形,:三角形存在两个角相等; (2):内两条弦相等,:内两条弦所对的圆周角相等; (3):,:之一为空集; 解: (1)原命题是真命题,逆命题是真命题,是 的充要条件; (2)原命题是假命题,逆命题是真命题,不是 的充要条件; (3)原命题是假命题,逆命题是真命题,不是 的充要条件; 单击此处添加标题 新知应用 练习2 下列各题中,是的什么条件(“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”)? (1):,:; (2):,:有意义; (3):,:. 解: (1)因为不能推出;由能推出;所以是的必要不充分条件; (2)因为时,有意义;有意义时,也能得到;所以是的充要条件 (3)因为得到,所以能推出,推不出,所以是的充分不必要条件 小范围大范围 大范围小范围 单击此处添加标题 新知应用 例4 已知:的半径,圆心到直线的距离为.求证:是直线与相切的充要条件. 解:如图,作于点,则. (1)充分性() 若,则点在上.在直线上任取一点(异于点),连接.在中,所以,除点外直线上的点都在的外部,即直线与仅有一个公共点,所以直线与相切. 分析:设:,:直线 相切,要证是否为充要条件,只需要分别证明充分性和必要性即可. (2)必要性() 若直线 相切,不妨设切点为,则,因此 由(1)(2)可知:是直线与相切的充要条件. 单击此处添加标题 新知应用 练习3 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解: 两个三角形全等的充要条件有: ①三边对应相等;②两边及其夹角相等; ③两角及其夹边相等;④两角及其一角的对边对应相等. 两个三角形相似的充要条件有: ①三个内角对应相等(两个内角对应相等); ②三边对应成比例; ③两边对饮构成比例且夹角相等. 单击此处添加标题 新知应用 练习4 下列各题中,是的什么条件(“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”)? (1):,:; (2)在平行四边形中,:,:四边形是正方形; (3):,:. 解: (1)是的既不充分也不必要条件; (2)是的必要不充分条件; (3)是的充要条件. (3)先解出题干中或结果,再观察相互的推出情况 单击此处添加标题 新知应用 练习5 若“”是“”的充要条件,则实数的取值是 . 解: 由于是充要条件,则“”与“”是等价的. 所以得到. 则. 故答案为:3 单击此处添加标题 新知应用 练习6 已知集合,,若的充分条件是,那么实数的取值范围是 . 解: 由于的充分条件是,则是的子集. 子集有两种情况: 当为空集时,,即,满足题意; 当为非空集时,,即时, 由题意得,解得. 综上:实数的取值范围是或. 出现子集关系时 必须讨论是否为空集 单击此处添加标题 新知应用 练习7 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解:,. 是的必要不充分条件, 因为不是空集. 即且, 解得.又, 所以实数的取值范围为. 小范围大范围 变式 若本例中“是的必要不充分条件”改为“是的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:,. 是的充分不必要条件,不可能是空集. 所以且 解得, 即实数的取值范围为. 新知应用 小范围大范围 变式本例中,不变,是否存在实数m使是的充要条件?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 解: 若是的充要条件, 则且 所以,且 故不存在实数,使得是的充要条件. 新知应用 新知应用 小结 利用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤: (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 单击此处添加标题 新知应用 练习7 证明:如图,是梯形为等腰梯形的充要条件. 证明: (必要性)在等腰梯形中,, 又因为BC=CB,所以,所以. (充分性)如图,过点作,交延长线于点 因为 所以四边形ABED是平行四边形, 又因为,, 所以在ABC和中,,所以, B C D E 单击此处添加标题 新知应用 练习8 求证:一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 证明:假设一元二次方程有一正根和一负根, (充分性):若成立,则关于的方程的判别式,且两根之积,所以关于的方程有一正根和一负根成立. (必要性):若关于的方程有一正根和一负根成立,则两根之积, 所以成立. 综上,“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 新知应用 小结 证明充要条件的原则: (1)既要证明充分性; (2)也要证明必要性. 单击此处添加标题 总结与课后作业 充要条件的判断依据 利用原命题和逆命题的真假,判断充要条件 单击此处添加标题 总结与课后作业 如果且,则称是的充分不必要条件 如果且,则称是q的必要不充分条件 如果且,则称是q的即不充分也不必要条件 如果且,则称是q的即充分也必要条件 单击此处添加标题 总结与课后作业 练习3 习题1.4 复习巩固2 THANK YOU $$