精品解析：甘肃省白银市靖远县第一中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数分段处理的办法，代入求值即可. 【详解】由已知，当时，， 所以． 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可． 【详解】， ． 故选：A 3. 已知一组从小到大排列的数据：1，3，m，17，19．若其极差等于平均数的2倍，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件求出极差和平均数，再利用极差和平均数的关系即可求得的值. 【详解】极差为，平均数为， 极差等于平均数的2倍，，解得. 故选：B. 4. 已知“”是“”的必要不充分条件，是虚数单位，，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义及存在命题的性质结合非的定义判断即可. 【详解】因为解得，所以“”是“”的充分不必要条件，是假命题，是真命题； 当时，，是真命题，是假命题． 综上可知，和都是真命题． 故选：B. 5. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】圆台的高为， 圆台的体积． 故选：D 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量模长公式求出的数量积，再通过投影向量的公式计算向量在向量上的投影向量即可得解. 【详解】， ， 又，， ，， ， 在向量上的投影向量为． 故选：D. 7. 如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件先求出点的坐标，再借助直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，， 双曲线的方程为，，，解得， 双曲线的方程为，， ，为直线的斜率， 当直线与半圆相切时，最小， 此时设直线的方程为，即，， 解得或（舍去），. 故选：A. 8. 若为方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定满足方程，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】为方程的根，， ，． ，， 令，则， 在上单调递增． ， ， ． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 对任意，函数的最大值与最小值的差为2 B. 存在，使得对任意， C. 当时，存在非零实数，使得 D. 当时，存在，，使得对任意，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，取特殊值；对于B选项，取特殊值；对于C选项，取特殊值；对于D选项，取特殊值，，即可判断. 【详解】对于A选项，当时，，其最大值为1，最小值为0， 的最大值与最小值的差为1，故A错误； 对于B选项，当时，， ， 因此对任意，，故B正确； 对于C选项，， ， 当时，，故C正确； 对于D选项，当时，，取，， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由周期函数可知，对任意，都有，故D正确． 故选：BCD 10. 已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当为偶数时， C. 当为奇数时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，求出，判断A；当时，求得，分为偶数和为奇数讨论求，判断B和C；由代入求值，判断D. 【详解】由， 当时，，解得，故A错误； 当时，， 当为偶数时，，， ，为正奇数，故C正确； 当为奇数时，，即， ，为正偶数，故B正确； ，故D错误． 故选：BC 11. 如图所示，这是曲线，设和为曲线上的任意两点，且满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 满足且的点共有4个 C. 曲线关于直线对称 D. 任取一点，该点满足且的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用基本不等式的推论即可证明； 对于B，根据A可判断，再代入整数计算即可判断； 对于C，代入，即可判断； 对于D，求出所有横坐标或者纵坐标为整数的点的个数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】， ，当且仅当时取等号，A项正确； ，满足且的点共有，，，，这5个，B项错误； 将点代入曲线， 可得，所以对称，点代入曲线， 可得，所以对称，C项正确； 曲线具有对称性，只研究曲线在第一象限上的点的横坐标或纵坐标为整数的情况， 令，则，不妨设，则有， 令，，则， ，解得或， 有两个正根1和， 结合曲线的对称性可知在第一象限横坐标或纵坐标为整数的点共有3个： ，，，四个象限一共个，再加上， 整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个， 任取一点，该点满足且的概率为，D项正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式直接求解即可 【详解】由椭圆得， 故答案为： 13. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为_____；若为线段的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由于三棱锥三条侧棱两两垂直，所以把三棱锥的外接球问题转化成长方体的外接球问题来处理即可；分析出当截面与垂直时，截面面积最小，再去解由球半径，截面圆半径和球心到截面圆的距离组成的直角三角形即可求出，进而求出截面圆的面积. 【详解】 如图，将三棱锥补形为成长方体， 则三棱锥的外接球的半径即长方体对角线长的一半， 即； 当截面与垂直时，截面面积最小，设截面半径为， 又，所以， 所以截面面积的最小值为. 故答案为：；. 14. 若正实数，满足，则的最小值是_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． （1）求角． （2）已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，再由二倍角公式可得，由，可得； （2）（ⅰ）由，利用面积公式及已知条件，即可求得，的值； （ⅱ）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可求得的值． 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又，则， ，， 又，则，所以， ， 因为，则，． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，是角的角平分线， ， ， 又， 则得，又， ，解得，即． （ⅱ）， ． 16. 如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由焦点到准线的距离求解出的值，则得抛物线的方程；（ （2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用弦长公式解出，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为2， ，抛物线的方程为． 【小问2详解】 由题意得，且直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点，，由，消去，得， ，，， ，解得． 点到直线的距离， ， 所以的面积为． 17. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 在直棱柱中，， 则是的中点，又是的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，可得，由线面平行的判定定理可得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，写出平面的一个法向量，计算出平面的一个法向量，利用坐标运算求得平面与平面的夹角的余弦值； （3）根据点到平面距离的向量公式求解点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据直三棱柱中， 以为原点，建如图所示的空间直角坐标系， 所以平面的一个法向量为， 因为，是的中点， 则，， 所以，． 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量， ，则， 则点到平面的距离为． 18. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3）13分 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女学生人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （3）根据一名女学生和一名男学生参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件， ，，． 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 的分布列为 0 1 2 ． 【小问3详解】 设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9， ，， ，， 有名女学生参加活动，有名男学生参加活动， ， ， 两个学生的得分之和的期望为13分． 19. 定义：，其中． （1）求证：当时，（当且仅当时取等号）． （2）对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若正项数列满足，，，求证：． 【答案】（1） 设，， 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，，当且仅当时取等号． （2）存在，3 （3） ， 当时，有 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）构造新函数，利用导数求单调性并求解最值，证明不等式即可. （2）利用（1）的结论以及对数运算性质，放缩证出，再化简即可求解. （3）利用题给条件以及裂项相消求和，即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，当且仅当时取等号， 当，时，， ， ，， 当时，， 当时，， 存在正整数，对于任意正整数，使得不等式恒成立， 的最小值为3． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组从小到大排列的数据：1，3，m，17，19．若其极差等于平均数的2倍，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知“”是“”的必要不充分条件，是虚数单位，，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若为方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 对任意，函数的最大值与最小值的差为2 B. 存在，使得对任意， C. 当时，存在非零实数，使得 D. 当时，存在，，使得对任意，都有 10. 已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当为偶数时， C. 当为奇数时， D. 11. 如图所示，这是曲线，设和为曲线上的任意两点，且满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 满足且的点共有4个 C. 曲线关于直线对称 D. 任取一点，该点满足且的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为_____． 13. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为_____；若为线段的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_____． 14. 若正实数，满足，则的最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． （1）求角． （2）已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 16. 如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 19. 定义：，其中． （1）求证：当时，（当且仅当时取等号）． （2）对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若正项数列满足，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $