8.6.3 平面与平面垂直（第1课时)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 8.6.3 平面与平面垂直（第1课时） 第八章 立体几何初步 学习目标 1 2 3 掌握基本事实4的内容及应用 了解相关定理的内容及应用，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 通过实例，解决直线与直线平行的相关问题 复习回顾 1. 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直. 2. 直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 垂直于同一个平面的两条直线平行． a⊥α b⊥α a//b 3. 直线与平面垂直的性质定理 新课导入 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义. 那么，该如何定义呢？ 我们在研究直线与直线垂直时，是先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这一特殊位置关系. 类似地，我们要研究平面与平面互相垂直，那就需要先引入两个平面所成的角(二面角)的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. 接下来我们就来看看二面角及相关概念是如何定义的？ 新知讲解 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面. 射线 射线 半平面 半平面 新知讲解 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱． 这两个半平面叫做二面角的面 记作： A B P Q 新知探究 问题1 如图,在日常生活中,我们常说把门开大一些,是指哪个角大一些? 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? A B O l A′ B′ O′ α β 概念生成 二面角的平面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB 射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角 二面角的平面角必须满足： ③角的边都要垂直于二面角的棱 ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 新知探究 问题2 在棱上选多个点,画出多个所折二面角的一个平面角,这些角相等吗？ α β B 。 O A B1 。 O1 A1 依据等角定理 追问 哪个定理能解释为什么这些角都是相等的吗？ 二面角的大小是用它的平面角来度量的. 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 问题3 二面角的平面角的取值范围是什么？ 二面角的范围 概念生成 因此，二面角的平面角的取值范围为__________. α(β) l A(B) O 当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面. 当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面. α β l A B O 注意区分各种角的取值范围： 异面直线所成角：___________，线面角：____________. [ 0, π] 当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角. α β l A B O 新知探究 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 问题4 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 二面角C-AO-B 二面角A-BO-C 二面角A-CO-B 概念生成 两平面垂直 定义：一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 若平面α与β垂直，记作α⊥β 如下图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行 四边形的一组边画成垂直． 在明确两个平面互相垂直的定义的基础上，我们来研究两个平面垂直的判定和性质。 新知探究 问题6 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 猜想：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 新知探究 已知：AB⊥β，AB α. 求证：α⊥β. ∪ 证明： 在平面β内过B点作直线BE⊥l， 设α∩β=l, ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∵AB⊥β，l β， ∴AB⊥l. ∪ 则∠ABE就是二面角α-l-β的平面角， ∴二面角α-l-β是直二面角， ∴α⊥β. α β l A B E 概念生成 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示： b 线面垂直面面垂直 这个定理说明了，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 典例分析 例7 已知：如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD平面ABCD，∴AA'⊥BD. 又AC⊥BD，AC∩AA'=A， ∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面A'BD， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 证明： 学以致用 教材P159 ∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC. 又BD平面ABC，∴AA'⊥BD. ∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点， ∴ AC⊥BD， 又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'. 证明： B D C A′ B′ C′ A 4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′. 典例分析 例8 已知：如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ AB是圆O直径 PA⊥面ABC BC⊂面ABC BC⊥AC BC⊥PA BC⊥面PAC 平面PAC⊥平面PBC 分析： 典例分析 例8 已知：如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. ∵点C是圆周上不同于A, B的任意一点，AB是圆O的直径， ∴∠BCA=90°，即BC ⊥AC. 又∵PA∩AC=A， ∴BC ⊥平面PAC. 又∵BC 平面PBC， ∴平面PAC ⊥平面PBC. 证明：设圆O所在的平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC  α，∴PA ⊥BC. 新知探究 例8 已知：如右图, AB是圆O的直径, PA垂直于圆O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. 1.你还能发现哪些面互相垂直？ 2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？ 3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？ 面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC 都是直角三角形 ∠PCA 反思： 学以致用 教材P159 1. 如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了. 这是为什么? 解：转动时，如果尺边与这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，根据平面与平面垂直的判定定理可得，工件相邻两个面互相垂直. 2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( ). (A) α⊥γ，β⊥γ (B) α∩β＝a，b⊥a，b⸦β (C) a//β，a//α (D) a//α，a⊥β D 学以致用 教材P159 3. 如下页图，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? 解：平面ABC⊥平面BCD， 平面ABD⊥平面BCD 平面ABC⊥平面ACD 理由如下： 能力提升 题型一 二面角 例题 1. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平 面角的关系是( ) A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 无法确定 [解析] 如图，过二面角内的一点作, ，设，分别为，所在平面与，的交线， 则平面，从而,， 所以为二面角的平面角. 又， 所以 ， 即两垂线的夹角与二面角的平面角互补. B 能力提升 题型一 二面角 例题 2. 如图，在正方体中，求二面角的正切值. 由题意知 ， ， ， 是二面角的平面角. 平面，且平面， . 设正方体的棱长为，则 ， 在中，， 二面角的正切值为. [解析] 如图，取的中点，连接， 方法总结 求二面角的平面角的方法 能力提升 （1）定义法：在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图1， 即为二面角的平面角. （2）垂线法：过一个平面内一点 作另一个平面的垂线，垂足为 ，过垂足 作二面角的棱的垂线，垂足为 ，连接 ，如图2， 即为二面角的平面角. （3）垂面法：过棱上一点 作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，得到两条交线 ， ，如图3， 即为二面角的平面角. 图1 图2 图3 能力提升 题型二 平面与平面垂直的判定定理 例题 3. 如图，在四棱锥中，平面，过点作直 线的平行线交于点为线段上一点,求证：平面平面. 证明 因为平面，平面，所以， 因为 ，所以， 因为 ，，平面， 所以 平面， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面， 所以平面平面 . 能力提升 题型二 平面与平面垂直的判定定理 例题 4. 在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，， ，求证：平面平面. 证明 在直角梯形 中，， 所以 . 因为 ，所以 . 因为 ，，平面， 所以 平面，所以平面. 因为 平面， 所以 平面平面. 方法总结 判断面面垂直的三种方法 能力提升 （1）证明两个半平面所成的二面角是直二面角. （2）两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. （3）平面与平面垂直的判定定理. 课堂小结 类比 度量 特 殊 平面角 二面角 二面角的平面角 面面垂直的判定定理 直二面角 文字 语言 图形 语言 符号 语言 用 定义面面垂直 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$