反比例函数中的动点问题 2026年中考数学三轮冲刺训练

反比例函数中的动点问题--2026年九年级中考数学三轮冲刺训练 一、单选题 1．（2023九年级上·山东潍坊·期末）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（    ） A．不变 B．越来越大 C．越来越小 D．先变大后变小 2．（2023·安徽·三模）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数图像上，轴.当点A的横坐标逐渐增大时，的面积将会（    ）    A．不变 B．越来越大 C．越来越小 D．先变大后变小 3．（22-23浙江杭州·期末）如图，已知动点P在反比例函数的图象上，轴于点A，动点B在y轴正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会（    ）    A．越来越小 B．越来越大 C．不变 D．先变大后变小 4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·江苏扬州·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一动点，连接并延长交图象另一支于点B，点C为函数图象上的一动点，当点A运动时始终保持，则的正切值为（　　） A．2 B．3 C． D． 6．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 二、填空题 7．（23-24九年级上·陕西西安·月考）如图，动点分别在轴，轴的正半轴上，动点在反比例函数的图象上，若轴，是以为底边的等腰三角形，则的面积为 ． 8．（22-23山西晋城·期中）在平面直角坐标系中，长方形的位置如图所示，，，P为线段上的一个动点，若，且点P在曲线上，则k的值为 ． 9．（23-24浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 10．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在直线上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，则面积的最大值是 ． 11．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是 ． 12．（2024·福建泉州·二模）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为 ． 三、解答题 13．（23-24重庆北碚·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 14．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 15．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·四川·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 17．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形； (3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标． 18．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】设点P(x，)，作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S△PAB=PA•BC=••x=k可得答案． 【详解】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，则四边形OACB是矩形，则BC=OA， 设点P(x，)， 则S△PAB=PA•BC=••x=k， 当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于k， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键． 2．A 【分析】过点B作与点C，表示出的面积即可求出答案． 【详解】解：过点B作与点C，如图所示，    则， 设点， 则， ∴的面积一直不变； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握概念是解题关键． 3．C 【分析】如图所示，连接，证明轴，则有，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，由此可得结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会不变， 故选C．    【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点．即， 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故选： C． 5．C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，如图所示：根据轴对称的性质得到．根据等腰三角形的性质得到．根据相似三角形的性质得到，得到，，即可得到结论． 【详解】解：连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，如图所示： 由直线与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作于点，过作于点，根据点B 的纵坐标为，结合矩形的性质，得到，将代入，求出，得到，利用勾股定理求出，证明，求出，由矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，得到，代入即可解答． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵点B 的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，， 将代入，则，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则． 故选：B． 7．4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键．过点B作于点C，设，则可求，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点B作于点C， 设， ∵轴． ∴，， ∴． 故答案为：4． 8．3 【分析】求解，，设，由勾股定理可得，可得P的坐标，再利用待定系数法即可得到答案． 【详解】解：∵长方形，，， ∴，， 设， ∴，而， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵点P在曲线上， ∴； 故答案为：3 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解反比例函数的解析式，熟练的利用勾股定理求解P的坐标是解本题的关键． 9．或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【详解】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 10．3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可． 【详解】解：设，则， 线段， ， ，二次函数开口向下，有最大值， 当时，有最大值，最大值：3． 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置． 先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交x轴于，当P在点时，，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：将代入得：， ， 设直线AB的解析式是， ，解得：， 直线AB的解析式是， 如图：在中，，延长AB交x轴于，当P在点时，，此时线段与线段之差达到最大． 当时，，解得：， 当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是． 故答案为：． 12．4 【分析】连接AC、BD，则．设，，则．根据两点的距离公式可分别求出AD、AB、OA、OD的长．再根据菱形的性质即得出，即可求出a和m的关系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值． 【详解】如图，连接AC、BD，则． 根据题意可设，，则． ∴，，，． ∵， ∴． 整理得：，即 在中，，即， 整理得：， 将代入上式得：． ∵， ∴． ∴该菱形边长的最小值为4． 故答案为4． 【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键． 13．(1)， (2)或 (3) 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 【详解】（1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，进一步求出点D的纵坐标即可得到点D的坐标； （3）取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点D在第二象限， ∴， 在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，取，连接， ∴轴， ∵，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 15．(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ② ， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 16．(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 17．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）分是以为斜边和以为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可． （3）根据四边形为平行四边形，得到，，列式计算即可． 【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴一次函数表达式为：； 把点C的坐标代入上式得：， 故点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当是以为斜边的等腰直角三角形， ∴为直角， 过点D作于点H，如下图所示：    设点E的坐标为，则点， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 经检验是原方程的解； ②当是以为直角边的等腰直角三角形时，如图，    ∵点E的坐标为，则点， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 经检验是原方程的解； 综上：当或时，是等腰直角三角形． （3）∵四边形为平行四边形，    ∴， ∵点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 经检验：是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 18．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用计算m即可； （2）设，则，再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可． （3）设，可得，，，结合为等腰三角形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数为， ∵，， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． （3）解：∵点是轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴，解得：， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $