精品解析：西藏自治区拉萨市2025届高三下学期第二次联考（二模）数学试题

拉萨市2025届高三第二次联考 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象下移1个单位长度，所得函数图象的对称中心为（ ） A. B. C D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：，，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差为24 B. 平均数为28 C. 众数为25 D. 中位数为25 10. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 11. 已知定义在上的函数，满足，，且．则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边过点，则_____． 13. 若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则_____． 14. 已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，长为4的正三角形，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求单调区间； （2）若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均相等，其中为线段的中点，点在线段上，且四点共面. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列等比数列； （2）求数列的前n项和． 19. 已知椭圆，直线经过上顶点及右焦点． （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 拉萨市2025届高三第二次联考 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的补集、并集运算即可求解. 【详解】由条件： ． 故选：A． 2. 复数的实部为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算并结合实部定义即可求解. 【详解】由题意可得，故的实部为． 故选：A． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】必要性可利用不等式的传递性证明，充分性举反例即可. 【详解】若，因为，所以成立.即必要性成立. 若，取，，则不成立.即充分性不成立. 故选:. 4. 若首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】依题意，. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象下移1个单位长度，所得函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象中的性质来求解析式，再利用相位整体思想结合余弦函数的对称中心来求解即可. 【详解】 由图可知得， 由图可知，即，由，即， 则，代入最高点， 则，得，又，故， 所以， 将的图象下移1个单位长度，得到函数的图象， 令，得， 所以对称中心为. 故选：A. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 7. 如图，四边形中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则， 由余弦定理可得， 所以，解得． 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得点为的中点，即可得的坐标，即可得，即可得解出即可. 【详解】由两圆的圆心分别为，.且圆的半径为，， 可得点在以为直径的圆内，且两圆内切， 所以点为的中点，所以，，所以圆的半径为3， 即，所以，解得，，所以的离心率为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：，，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差为24 B. 平均数为28 C. 众数为25 D. 中位数为25 【答案】ABC 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，分别求出数据的极差，众数，平均数和中位数. 【详解】此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为， 则极差为，众数为25， 平均数为， 由题意，所以这组数据的中位数为，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假. 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误. ，当且仅当时取等号，故正确. 由则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数，满足，，且．则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A变式得，即可得出；B利用对称中心和对称轴即可得出周期；C利用的周期性和对称性计算， 再计算得；D先计算，再利用周期性即可. 【详解】在①中，用代替，得， 因，则②， ①②两式相加可得， 因此的图象关于点对称，故A正确； 由A选项可知， 又为偶函数，则，所以， 可得，则， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，则， 又，所以， 则，故C错误； 对于D，因， 则 ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由任意角正弦的定义及两角差的正弦公式求解即可 【详解】因为角终边过点，所以，， 所以． 故答案为： 13. 若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则_____． 【答案】或1 【解析】 【分析】由赋值法求得系数和，构造等式求解即可. 【详解】由题知二项式系数之和为， 令，系数之和为． 取，得， 所以，解得或1． 故答案为：或1 14. 已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，长为4的正三角形，则三棱锥的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用三棱锥的外接球计算得出，再应用面积公式及三棱锥的体积计算求解. 【详解】如图，因为点在上，三棱锥的所有顶点都在球的表面上. 所以为球的直径，，则 由球的体积为，得. 因为.过点作于. 连接，又与全等. 则，，. 所以的面积. 因为，，，且平面，则平面， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性即可； （2）求导后构造函数，将问题转化为在区间上有两个不等的变号零点，结合二次函数的性质分析即可. 【小问1详解】 依题意，，， ， 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 依题意，， 令，得， 令，故问题转化为在区间上有两个不等的变号零点， 故 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均相等，其中为线段的中点，点在线段上，且四点共面. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行性质得到，再结合线面平行判断证明平面. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和平面法向量，利用直线方向向量与平面法向量的夹角公式计算即可.. 小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面，平面平面， 故. 而平面平面， 故平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，易知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设， 由于，所以，由为中点，故为中点，故， . 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则. 17. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 【答案】（1），有价值 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./ （2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2， 根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 【小问2详解】 X的取值依次为0，1，2， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 19. 已知椭圆，直线经过的上顶点及右焦点． （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）存在，定点为 【解析】 【分析】（1）由直线方程易得，即可求解； （2）（ⅰ）设直线方程，设，， 得到，联立椭圆方程，结合弦长公式即可求解；（ⅱ）直线的方程为，由对称性易知该定点在轴上，再令求解即可. 【小问1详解】 因为直线经过的上顶点及右焦点， 所以上顶点坐标为，， 令得，所以，， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得，直线斜率一定存在，设其方程为， 设，，则， 由得， 所以，， 所以 ， 解得，， 所以直线的方程为或． （ⅱ）直线的方程为， 由对称性易知若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $