精品解析：西藏自治区拉萨市2024届高三第二次模拟考试文科数学试题

拉萨市2024届高三第二次模拟考试 文科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集，并集的定义求解即得. 【详解】依题意， ，因为，所以. 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】运用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断函数奇偶性排除A,B两项，再通过特殊值代入得到点的位置排除D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B. 因为，排除D. 故选：C. 4. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，将一个零件的三视图绘制在网格纸上，则该零件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得到的空间几何体的结构特征求解其体积即可. 【详解】由三视图，知该零件上半部分是一个长方体，其长､宽､高分别为， 下半部分是一个半球，球的半径为5， 所以该零件的体积. 故选：B. 5. 若满足约束条件，则的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数，由几何意义得到直线至经过点A时，取得最大值，求出A点坐标，从而得到最大值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中所示的阴影部分， 作直线，平移直线至经过点A时，取得最大值. 由，解得，即，所以的最大值为. 故选：A. 6. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质求解． 【详解】依题意，得，解得， 又离心率， 整理，得， 解得（舍去）或. 故选：D. 7. 已知均为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同角三角函数关系和二倍角公式求解即可. 【详解】由已知，两个角都是钝角，得， 所以. 故选:C. 8. 从这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据概率公式计算即可. 【详解】从这5个数字中任取3个，有10种不同的结果： ， 其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个：， 所以所求概率. 故选：D. 9. 某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（ ） A. 172 B. 183 C. 286 D. 311 【答案】B 【解析】 【分析】设每排停车位的个数构成数列，则，构造新数列，可以证明为等比数列，求出，再分组求和即可. 【详解】设每排停车位的个数构成数列，则，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，所以设计的停车位总数为. 故选：B. 10. 已知是定义在上的奇函数，且满足.若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】推导出函数为周期函数，并求出周期，根据是定义在上的奇函数，可求得，再根据已知条件推出的值，结合周期性即可求解. 【详解】由是定义在上的奇函数，知. 又，所以. 由，得，又，所以， 所以，所以8是函数的一个周期， 所以，所以. 故选：C 11. 已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出，得到最小正周期，求出，再将代入，求出，得到解析式，再代值计算即可. 【详解】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得， 所以 因为点是图象一个最高点，所以，结合，解得， 所以，所以. 故选：D. 12. 已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可. 【详解】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选： 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由，得切线斜率，切点为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】抓住共渐近线即渐近线斜率一样，焦点与有关，结合可解. 【详解】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为， 所以.因为的渐近线方程为，所以. 结合，解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 15. 如图，在平面四边形中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求得的长，再根据向量积运算即可求解. 【详解】由题意知，全等,且， 可知， 根据余弦定理可知 代入可解得或 根据正弦定理得，可得， 如图可知，所以， 根据大边对大角，所以(舍)，， 所以. 故答案为： 16. 如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出草图辅助分析，设的中点分别为，连接，先证明平面平面.得到动点在线段上运动. 再作辅助线，将长度的取值范围转化为求出点与线段上的点的距离的取值范围.后抽出等腰梯形，借助等腰梯形的性质解题即可. 【详解】如图（1），设的中点分别为，连接，则.因为平面平面，所以平面. 又平面平面，所以平面. 又，所以平面平面，所以动点在线段上运动. 设的中点分别为，连接， 则在等腰梯形中，只需求出点与线段上的点的距离的取值范围. 易知，如图（2），作，则，所以长度的取值范围是. 故答案为：. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 （1）求样本的相关系数（精确到0.01； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 【答案】（1）0.98 （2），4.92万元 【解析】 分析】（1）依次求出和，将相关数据代入相关系数公式，计算即得； （2）利用公式依次求出，即得回归方程，代入，即得销售额估计值. 【小问1详解】 由题意，得， 所以， 所以样本的相关系数约为0.98. 【小问2详解】 因为，所以. 又， 所以， 所以回归方程为， 当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元. 18. 在中，内角的对边分别是，若，且满足. （1）求的值； （2）设，求外接圆的半径. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再用余弦定理构造方程，求解即可； （2）先用（1）的结论，解出，得到是边长为1的正三角形.后借助三点共线，余弦定理求出，再借助正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，结合正弦定理，得. 因为，所以. 由余弦定理的推论，得， 所以，所以， 整理，得， 解得（舍去）. 【小问2详解】 由（1），知，解得. 又，所以是边长为1的正三角形. 由，知三点共线，且. 由，知三点共线，且. 在中，由余弦定理， 得，解得. 设外接圆的半径为，由正弦定理，得， 所以，即外接圆的半径为. 19. 如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形可得.，即可由线面平行的判定求证， （2）利用等体积法即可求解，或者利用线面垂直可得平面，即可利用等面积法求解. 【小问1详解】 如图，连接与交于点，连接. 因为四边形是正方形，，所以. 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以，所以. 又，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面. 【小问2详解】 解法一：因为在四棱台中，两底面均为正方形，所以， 所以，所以， 所以. 又， 设点到平面的距离为，由等体积法，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 解法二：过点作，垂足为. 因为平面平面，所以. 又四边形为正方形，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 又平面，所以平面. ,, 所以, 故， 根据等面积，得. 20. 已知抛物线上的两点的横坐标分别为. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，定点为原点 【解析】 【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可； （2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明. 【小问1详解】 因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. 21. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，没有最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性进行求解； （2） 在上有解，整理，得.因为，所以.令，求导，求出单调性求解． 【小问1详解】 当时，，求导，得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以函数的最小值为，没有最大值. 【小问2详解】 方程在上有解， 即在上有解，整理，得. 因为，所以. 令，求导，得. 因，所以当时，， 所以当时，单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围是. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），为直线的倾斜角，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点. （1）求曲线的直角坐标方程，并求当时，直线的普通方程； （2）若直线的斜率为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用极坐标方程与普通方程转化公式求解即可； （2）求出直线的标准参数方程，后与曲线联立，借助的几何意义可解. 【小问1详解】 将代入， 得，即， 所以曲线的直角坐标方程为. 当时，， 所以直线的普通方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率时，直线的参数方程为（为参数）， 代入，整理，得， 由根与系数的关系，得. 由参数的几何意义，得，所以. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）证明：当时，恒成立. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，再分段去绝对值符号解不等式. （2）探讨函数单调性，求出函数的最小值，结合推理得证. 【小问1详解】 当时，，不等式， 当时，不等式化为，解得，因此； 当时，不等式化为，解得，因此， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，，函数在上单调递增， 则当时，取得最小值，而，则， 所以当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拉萨市2024届高三第二次模拟考试 文科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸中小正方形边长为1，将一个零件的三视图绘制在网格纸上，则该零件的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若满足约束条件，则最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2 6. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知均为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 从这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（ ） A. 172 B. 183 C. 286 D. 311 10. 已知是定义在上奇函数，且满足.若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 11. 已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 14. 已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为__________. 15. 如图，在平面四边形中，，则__________. 16. 如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是__________. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 46 （1）求样本的相关系数（精确到0.01； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 18. 在中，内角的对边分别是，若，且满足. （1）求的值； （2）设，求外接圆的半径. 19. 如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 20. 已知抛物线上的两点的横坐标分别为. （1）求抛物线的方程； （2）若过点直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 21. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），为直线的倾斜角，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点. （1）求曲线的直角坐标方程，并求当时，直线的普通方程； （2）若直线的斜率为，求. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）证明：当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$