第17章 一元二次方程 单元检测卷 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程 单元检测卷 姓名：__________班级：__________考号：__________ 1. 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 形如的方程，它的根是（ ） A． 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ） A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0 解方程（x-2）2=3（x-2）最适当的方法应是（ ） A．因式分解法 B．配方法 C．直接开方法 D．公式法 已知x=-1是方程2x2+ax-5=0的一个根，则a的值为（ ） A．-3 B．-4 C．3 D．7 有一人患了流感，如果每轮传染中平均一个人传染了个人，那么经过两轮传染后，患流感的总人数为．根据题意，所列方程为（ ） A． C． 若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A．m≠1 B．m≠0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 若关于的一元二次方程 的解是，则的值是( ) A．2022 B．2013 C．2018 D．2012 已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A．或 已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（　　） A．6 B．9 C．14 D．﹣6 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( ) A． a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B． a2+(a+4)2=10a+a-4-4 C. a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D． a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4 已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（　　） A． ﹣10 B．4 C．﹣4 D．10　 若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（ ） 1. 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 方程x(2x－1)=5(x+3)的一般形式是_______________，其中二次项系数、一次项系数、常数项的和是__________. 若2（x2+3）的值与3（1- x2）的值互为相反数，则x值为_________ 若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是______． 已知两个连续奇数的积是，则这两个数的和是________． 已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值______． 已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是　　　　　　． 1. 、解答题（本大题共8小题，共66分） 已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣5）2＝16 （2）x2＝5x （3）x2﹣4x+1＝0 （4）x2+3x﹣4＝0 已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0． （1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根； （2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由． 某小区将原来400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3∶2.如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？并说明理由． 某地区2023年投入教育经费2500万元，2025年投入教育经费3025万元． (1)求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元． 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，求m的值及这个方程的另一根． 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料，解决下面问题： 写出的两种不同形式的配方； 若，求的值； 若关于的代数式是完全平方式，求的值； 用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立． 如图所示,△ABC中,∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm. (1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发. ①经过几秒,使△PBQ的面积等于8? ②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能，求出运动时间；若不能说明理由. (2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1? 答案解析 1. 、选择题 【考点】解一元二次方程-直接开方 【分析】因为方程的左边是一个完全平方式，且被开方数n≥0，所以可以利用数的开方直接求解． 解：因为n≥0，开方得x＋m＝±， 移项得：x＝−m±． 故选D． 【点睛】本题需要运用整体思想，会把被开方数看成整体，且要注意n为正数，以使方程有解． 【考点】根的判别式． 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 解：A．这里a=1，b=0，c=1， ∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0， ∴方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里a=1，b=1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0， ∴方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里a=1，b=﹣1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0， ∴方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1， ∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0， ∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选D 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】观察方程有公因式（x-2），故用因式分解法. 解：（x-2）2=3（x-2）方程中都有（x-2），故可用直接提取公因式法进行因式分解法解一元二次方程. 【点睛】此题主要考察一元二次方程方程的解法. 【考点】一元二次方程的解 【分析】把x=-1代入方程计算即可求出a的值． 解：把x=-1代入方程得：2-a-5=0， 解得：a=-3． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【考点】一元二次方程的实际应用 【分析】先根据传染规律得到第二轮传染的人数，进而根据等量关系1+第一轮传染人数+第二轮传染人数=400，把相关数值代入即可求解． 解：第一轮传染后，共有（1+x）人患病， ∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第二轮传染人数为（1+x）×x， ∵经过两轮传染后，患流感的总人数400， ∴可列方程为1+x+x（1+x）=400， 即． 故选A． 【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程解决相关问题，解题关键是得到传染的总人数的等量关系． 【考点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得． 解：根据题意得： 解得：m≥0且m≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了． 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据题意，一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为1，即x=1时，ax2+bx+5=0成立，将x=1代入可得答案． 解：根据题意，一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为1， 即x=1时，ax2+bx+5=0成立， 即a+b+5=0， 则a+b=-5， 所以2017-a-b=2017-（a+b）=2017+5=2022. 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的意义，即使等号成立的未知数的值． 【考点】方程的解，等腰三角形的性质，三角形三边间的关系，解一元二次方程-因式分解法 【分析】将x=2代入方程求得m的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案． 解：将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2． 当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去； 当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5． 故选C． 【点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键． 【考点】一元二次方程的解 【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 解：∵x=a是方程x2-3x-5=0的根， ∴a2-3a-5=0， ∴a2-3a=5， ∴a2-3a+4=5+4=9． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(x+4)， 这两个数的平方和为：a2+(a+4)2， ∵两数相差4， ∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a−4. 故选：C. 【点睛】本题考查了数的表示方法，要会用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解. 【考点】根与系数的关系． 【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值． 解：根据题意得：m+n=3，mn=a， ∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6， ∴a﹣3+1=﹣6， 解得：a=﹣4． 故选C 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【考点】根的判别式；一次函数的图象．. 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可． 解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确； 故选：B． [dp 本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根． 1. 、填空题 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解． 解：原方程可化为 移项合并同类项得： 故二次项系数是2，一次项系数是−6，常数项是−15. 它们的和为： 故答案为： 【点睛】考查一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【考点】解一元二次方程-直接开平方 【分析】 根据相反数对应得到2（x2+3）+3（1-x2）=0，整理得x2=9，再利用直接开平方法解方程即可． 解：由题意得：2（x2+3）+3（1- x2）=0， 整理得：－x2+9=0， ∴ ， ∴x=±3． 故答案为：±3． 【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形的三边关系 【分析】先求出方程x2-9x+20=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 解：∵（x﹣4）（x﹣5）=0，x﹣4=0或x﹣5=0， ∴x1=4，x2=5． ∵△ABC的两边长分别为2和3， ∴第三边为4， ∴△ABC的周长为2+3+4=9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题 【分析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可． 解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2）， 由题意得，x（x+2）=15， 解得，x=3或x=-5， 这两个数是3和5或-3和-5， 则这两个数的和是8或-8. 故答案是：8或-8. 【点睛】本题属于列一元二次解应用题中的数字类问题，此类题目易根据等量关系列出方程，解决此类题目的关键是设未知数一定准确，答案不能漏解． 【考点】配方法的应用 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答． 解：x2+y2+2x-4y+7 =x2+2x+1+y2-4y+4+2 =（x+1）2+（y-2）2+2， ∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0， ∴（x+1）2+（y-2）2+2的最小值是2，即代数式x2+y2+2x-4y+7的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【分析】根据根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，此题选择两根和即可求得． 解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根， ∴2+x1=﹣4， ∴x1=﹣6， ∴该方程的另一个根是﹣6． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系． 1. 、解答题 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 解：由关于的方程是一元二次方程，得 ．解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【考点】解一元二次方程 【分析】根据直接开平方法，公式法以及因式分解法，进行求解，即可得到x的值． 解：（1）∵（x﹣5）2＝16 ∴x﹣5＝±4， 解得，x1＝9，x2＝1； （2）∵x2＝5x ∴x2﹣5x＝0 ∴x（x﹣5）＝0， 解得，x1＝0，x2＝5； （3）∵x2﹣4x+1＝0 ∴x2﹣4x＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝3 ∴x﹣2＝±， 解得，x1＝2+，x2＝2﹣； （4）∵x2+3x﹣4＝0 ∴（x+4）（x﹣1）＝0 ∴x+4＝0或x﹣1＝0 解得，x1＝﹣4，x2＝1． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-因式分解法，解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-因式分解法，解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法. 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根； （2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论． （1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0， ∴对于任意实数t，方程都有实数根； （2）解：设方程的两根分别为m、n， ∵方程的两个根互为相反数， ∴m+n=t﹣1=0， 解得：t=1． ∴当t=1时，方程的两个根互为相反数． 【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出t-1=0．　 【考点】一元二次方程的应用 【分析】先设长方形场地的长为3x米，宽为2x米，根据新场地的面积为300平方米，列方程求出长方形的长和宽，再求出周长；再设正方形的边长为y米，根据正方形的面积为400平方米，列方程求出正方形的边长，再求出正方形的周长，与长方形的周长做比较即可得出结论. 解：设长方形场地的长为3x米，宽为2x米，根据题意，得; 3x·2x＝300, ＝50, ∴x＝±. ∵长方形的长度为正数， ∴x＝，即长方形的长为15，宽为，周长为50； 再设正方形的边长为y米，则： ＝400, y＝±20, ∵正方形的边长为正数， ∴y＝20； ∴正方形的周长＝4×20＝80米； ∵80＞50， ∴这些铁栅栏够用. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系. 【考点】一元二次方程的应用-增长率 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2024年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2024年的基础上再增长x，就是2025年的教育经费数额，即可列出方程求解． （2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费． 解：(1)设2023年至2025 年该地区投入教育经费的年平均增长率为x， 由题意得2 2500(1＋x)2＝3025 解得，x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去) 所以，增长率为0.1＝10% 答：2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%． (2)由题意得2 2500(1＋10%)2＝3327.5(万元) 答：2026年该地区将投入教育经费3327.5万元． 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不等的实数根，得出4﹣4k≥0，即可求出k的取值范围； （2）先求出k的值，再代入方程x2﹣2x+k=0，求出x的值，再把x的值的相反数代入（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0，即可求出m的值． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0， 解得：k≤1． ∴k的取值范围是k≤1； （2）当k≤1时的最大整数值是1， 则关于x的方程x2﹣2x+k=0是x2﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1， ∵方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根， ∴当x=1时，（m﹣1）﹣3m﹣7=0， 解得：m=﹣4． 答：m的值是﹣4． 【点评】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，求出k的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 【考点】配方法的应用 【分析】（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答. 解：(1)①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：； ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 根据题意得， 解得或； 证明：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键． 【考点】一元二次方程的应用，三角形的面积公式 【分析】（1）①经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解；②根据 列出方程，解方程即可解答；（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；列方程进行讨论求解即可． 解：（1）①设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2 （6-x）•2x=8 解得x1=2，x2=4 ∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2； ② ， ， ， ∵b2-4ac=36-4×12=-12＜0， ∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分； （2）设经过x秒， ①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，即当时， （6-x）（8-2x）=1， x2-10x+23=0， 解得,(舍) ②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，即当4＜x≤6时， （6-x）（2x-8）=1， x2-10x+25=0， x1=x2=5 ③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，即当x6时， （x-6）（2x-8）=1， x2-10x+23=0， ，（舍） 综上所述，经过（）秒或5秒或（）秒后，△PBQ的面积为1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出等量关系，列出方程，再求解．解决第（2）问时，注意分三种情况进行求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$