精品解析：2025年重庆市巴蜀中学九年级一诊数学试题卷

初2025届初三（下）学月调研 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数3的绝对值是（　　） A 3 B. C. D. 2. 下列中国古代传统图案中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 对多项式因式分解的结果是（ ） A B. C. D. 4. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点 A. 54 B. 63 C. 84 D. 90 8. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知有序单项式串x，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串x，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串x，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（ ） ①第四个单项式串中，次数最高的单项式为； ②不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式； ③第七个单项式串中所有单项式的乘积为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 2025年，人工智能（AI）领域持续升温；成为全球科技和经济的核心驱动力．刘老师和张老师准备从当下比较热门的Himi，豆包，DeepSeek三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到DeepSeek的概率为______． 13. 如图，正方形中，点E在边上，，将绕点E顺时针旋转至，点F恰好在上，过点F作交于点G，垂足为H，连接，则的长度为_______． 14. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 15. 如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则______，_______． 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“乙巳数”，如：，，是“乙巳数”，已知“乙已数”（为整数，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数，记，．已知能被整除且（为整数），则_______，所有满足条件的“乙巳数”中，最大值与最小值的差是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：79，90，80，69，68，68，91，67，98，77，76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 八年级抽取学生成绩扇形统计表 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 19. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 20. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 21. 如图1，菱形中，，，动点P以的速度从点B出发，沿折线方向运动，同时，动点Q也以的速度从点A出发沿射线运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点P作于点H，设点P的运动时间为x，记的长度为，记点P运动的总路径长与的长度之比为，请回答下列问题： （1）请直接写出、分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围： ．（近似值保留一位小数，误差不超过） 22. “梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，） 23. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 24. 如图，在等边中，、分别为、上动点，满足． （1）如图1，连接，过作于点，交于点，若，，求的长； （2）如图2，连接，P为中点，连接，G为边上一点，连接交于点F，F恰为中点，将绕点G逆时针旋转到，连接，．求证：； （3）如图3，点M是平面内直线上方一点，，Q为直线右方一动点，满足，，连接，N为上一点，连接、，当取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初2025届初三（下）学月调研 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数3的绝对值是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：有理数3的绝对值是， 故选：A． 2. 下列中国古代传统图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义，找出对称中心是关键． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 对多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是关键． 先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故选：B ． 4. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据对顶角性质求出，再根据平行线的性质，求出，再求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答．解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 已知实数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，关键是能准确理解并运用算术平方根知识求解． 先化简的值，再运算算术平方根知识进行估算求解． 【详解】解：， ． ， ， ， 即， ． 故选：B 7. 观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点 A. 54 B. 63 C. 84 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了探索图形规律问题．根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第6个图形中小黑点的个数． 【详解】解：由图形1、2、3可以看出， 第1个图形小黑点的个数：； 第2个图形小黑点个数：； 第3个图形小黑点的个数：； ∴第个图形小黑点的个数：； ∴第6个图形小黑点的个数：． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出，，根据菱形性质求出，根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 由勾股定理得：， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴阴影部分的面积： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算，勾股定理，等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 9. 如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点Q，根据勾股定理求出，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点B作于点Q，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10. 已知有序单项式串x，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串x，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串x，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（ ） ①第四个单项式串中，次数最高的单项式为； ②不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式； ③第七个单项式串中所有单项式的乘积为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，由规律得出每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，第次操作后单项式的个数为个，可判断②，每次操作后所有单项式的乘积的次数为上一次操作后的次数，可判断③，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第次操作：x，，（最高次数为） 第次操作：x，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，，，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，，，，，，，，，，，，（最高次数为） ， 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和， 第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：， ∴第四个单项式串中，次数最高的单项式为，故①符合题意， 每次操作后单项式的个数为： 第次操作：2个， 第次操作：个， 第次操作：个， 第次操作：个， 第次操作：个， ， 由上可知，第次操作后单项式的个数为：个， 若存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式，则： ， 解得：， ∴存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式，故②不符合题意， 每次操作后所有单项式的乘积的次数为： 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， ， 由上可知，每次操作后所有单项式的乘积的次数为上一次操作后的次数， ∴第五次操作：， 第六次操作：， 第七次操作：， ∴第七个单项式串中所有单项式乘积为，故③符合题意， 综上，符合题意的有①③，共个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，零次幂的计算，掌握其计算方法是关键． 先计算立方根，零次幂的结果，再根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 2025年，人工智能（AI）领域持续升温；成为全球科技和经济的核心驱动力．刘老师和张老师准备从当下比较热门的Himi，豆包，DeepSeek三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到DeepSeek的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设Himi，豆包，DeepSeek分别为A、B、C， 列表如下： A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中他们恰好都选到DeepSeek的结果有1种， ∴P（他们恰好都选到DeepSeek）． 故答案为：． 13. 如图，正方形中，点E在边上，，将绕点E顺时针旋转至，点F恰好在上，过点F作交于点G，垂足为H，连接，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明垂直平分，得出，求出，最后根据直角三角形性质求出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将绕点E顺时针旋转至， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 14. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组无解， ， 解得， 解方程得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 15. 如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，由直径交于点F，点E是的中点，得到垂直平分，，，，设，则，，，，，得到，推出，求出；设半径，则，，在中根据勾股定理列方程得到，在中利用勾股定理得到，再根据，求出即可． 【详解】解：连接，， ∵直径交于点F，点E是的中点， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴设，则，，， ∵平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设半径，则，， ∵中， ∴，整理得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识点是解题关键． 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“乙巳数”，如：，，是“乙巳数”，已知“乙已数”（为整数，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数，记，．已知能被整除且（为整数），则_______，所有满足条件的“乙巳数”中，最大值与最小值的差是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字规律，整式的混合运算，理解题目中的计算关系，找出的取值是关键． 根据题意，，，则，根据能被整除，得到，则，结合题意得到，，，由此分类讨论，根据，（为整数）确定的值，由此即可求解． 【详解】解：已知“乙已数”（为整数，，）， ∴， 将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被整除， ∴当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，，，且，（为整数）， 当时， ∵（为整数）， ∴， 当时， ∴均不符合题意； 当时， ∴均不符合题意； 当时， ∵（为整数）， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：①；② ． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，理解相关运算法则是解答关键． （1）利用完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则来进行计算求解； （2）先将小括号里面的通分，再利用分式乘除法的运算法则计算求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：79，90，80，69，68，68，91，67，98，77，76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 八年级抽取的学生成绩扇形统计表 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）； （2）八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高． （3）七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数和众数的定义，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出； （2）根据中位数和众数的大小可得答案； （3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高． 【小问3详解】 解：七年级测试成绩为优秀（）的学生占比为： ， ∴七年级测试成绩为优秀（）的学生有： （人）， 七年级测试成绩为优秀（）学生有： （人）， ∴七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有： （人）． 19. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 【答案】（1）作图见解析 （2），，，四边形是菱形 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据平行四边形的性质，得到两组对边分别平行，利用内错角及角平分线，得出，进而证明四边形是平行四边形；通过角平分线及平行四边形的性质，可证，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形是菱形．理由如下： 由上可知，四边形是平行四边形， 又平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，四边形是菱形． 20. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】（1）每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； 【小问2详解】 降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 21. 如图1，菱形中，，，动点P以的速度从点B出发，沿折线方向运动，同时，动点Q也以的速度从点A出发沿射线运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点P作于点H，设点P的运动时间为x，记的长度为，记点P运动的总路径长与的长度之比为，请回答下列问题： （1）请直接写出、分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围： ．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1），（） （2）图象见解析，当时，函数的图象关于直线轴对称 （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据菱形的性质及解直角三角形的知识可求得、与x的函数关系式，根据“动点P从点B出发，沿折线方向运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．”可分别求得自变量x的取值范围； （2）根据、与x的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质； （3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，由题意得，， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 即（）； 【小问2详解】 解：如图所示，为函数、的图象；当时，函数的图象关于直线轴对称； 【小问3详解】 解：结合函数图象，当时x的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，一次函数和反比例函数的图象与性质，画一次函数和反比例函数的图象，函数与不等式等知识，熟练掌握菱形的性质及解直角三角形的知识是解题的关键． 22. “梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）小巴先到停车场，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点，过点作于点，解直角三角形求得小巴和小蜀走过的路程，再计算时间即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ， 由题意可得,，，， 在直角三角形中，，， ， 在直角三角形中，， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，过点作于点H， 在直角三角形中，，， ， ， ， ， 在直角三角形中，，， ，， ， 则小巴走过的路程为， 时间约为； 则小蜀走过的路程为， 时间约为， ， 小巴先到停车场． 23. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 24. 如图，在等边中，、分别为、上动点，满足． （1）如图1，连接，过作于点，交于点，若，，求的长； （2）如图2，连接，P为中点，连接，G为边上一点，连接交于点F，F恰为中点，将绕点G逆时针旋转到，连接，．求证：； （3）如图3，点M是平面内直线上方一点，，Q为直线右方一动点，满足，，连接，N为上一点，连接、，当取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）作于，由正切的定义可得，由等边三角形的性质可得，，从而得出，设，则，，求出，，从而可得，，由等边三角形的性质可得，结合勾股定理得出，求出，解直角三角形得出，即可得解； （2）作于，由等边三角形的性质可得，，，，得出，由平行线分线段成比例定理可得，从而可得，，，，，由旋转的性质可得，，得出，结合，，得出，由相似三角形的性质可得，，，求出，延长交于，连接，证明，得出，从而可得为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得解； （3）延长，得到射线，延长至，使得，连接、， 由等边三角形的性质可得，，求出，由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，从而求出，求出，由题意可得，证明，得出，，，求出，结合三角形内角和定理得出，从而可得，当、、在同一直线上时，最大，此时最大，再分两种情况：当时，作交的延长线于；当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作于， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，作于， ∵为等边三角形，P为中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵F恰为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 延长交于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长，得到射线，延长至，使得，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点M是平面内直线上方一点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最大，此时最大， ∵为直角三角形， ∴当时，作交的延长线于， 由角平分线的性质定理可得， 设， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$