精品解析：江苏省苏州市（昆太常张）四市2024-2025学年下学期八年级数学期中统考卷

昆太常张四市初二数学期中统考卷 2024~2025学年第二学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2025.04 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件的是（　　） A. 任意买一张电影票，座位号是偶数 B. 打开电视，正在播放广告 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 个人中至少有人的出生月份相同 3. 为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A. 名八年级学生的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D. 样本容量是 4. 如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A. 图象关于轴对称 B. 当时，随的增大而减少 C. 图象位于第二、四象限 D. 当时，则 6. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树棵由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务原计划每天种树多少棵？设原计划每天种树棵，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上） 9. 当x＝____时，分式的值为零． 10. 某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，则采用的调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”）． 11. 如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 12. 平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是______． 13. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点，，于点，连接，则的长度为______． 14. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为______． 15. 如图，矩形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F．若，则线段的长为_______． 16. 如图，中，，．点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程： 20. 已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 21. 为了丰富学生的课外社团活动，某校计划从．“剪纸”，．“沙画”，．“陶艺”，．“航模”四门手工类主题社团课程中选择部分课程开设，学校为了解这四种社团课程在学生中受欢迎情况，现随机抽取部分学生开展了“最喜欢的社团课程”的调查，要求每一位学生必须从四门课程中选择，且只能选择其中一门最喜欢的课程．现对调查所得的数据进行整理、描述与分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是_______； （2）条形统计图中的值为_______，的值为_______；扇形统计图中课程所对应的圆心角是_______． （3）若该校共有名学生，请估计全校最喜欢“沙画”课程的学生人数． 22. 如图，一次函数（，是常数，）的图象与反比例函数（是常数，）的图象交于点，，轴上一点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 23. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点成中心对称的，其中点的对应点分别为； （2）画出平移后的，使得点的对应点的坐标为，其中点，的对应点分别为； （3）在（）和（）的条件下，可绕某一点旋转后得到，则旋转中心的坐标为______． 24. 如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求的长． 25. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与反比例函数的图象交于点，连接，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点为反比例函数的图象上位于直线下方一点，点在轴正半轴上，连接，且平分，求点的坐标． 26. 如图1，矩形中，，点E是上一点，连接，过点E作射线，交于点． （1）若．则的长为________； （2）如图2，将沿翻折得到．连接． ①若点在同一直线上，求的长度． ②若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 27. 【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆太常张四市初二数学期中统考卷 2024~2025学年第二学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2025.04 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列事件中，必然事件的是（　　） A. 任意买一张电影票，座位号是偶数 B. 打开电视，正在播放广告 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 个人中至少有人的出生月份相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、打开电视，正在播放广告是随机事件，此选项不符合题意； 、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，此选项不符合题意； 、个人中至少有人的出生月份相同是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 3. 为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A. 名八年级学生的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D. 样本容量是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查个体、总体、样本、样本容量，理解个体、总体、样本、样本容量的定义是解题的关键． 根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行判断即可． 【详解】解：、名八年级全体学生的体质健康状况是总体，原选项说法错误，不符合题意； 、每个八年级学生的体质健康状况是个体，原选项说法错误，不符合题意； 、名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，原选项说法正确，符合题意； 、样本容量是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4. 如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分，不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项一定成立，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分，不一定垂直，原选项不一定成立，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴与不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意； 故选：． 5. 下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A. 图象关于轴对称 B. 当时，随的增大而减少 C. 图象位于第二、四象限 D. 当时，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树棵由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务原计划每天种树多少棵？设原计划每天种树棵，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，由题意得实际每天种树棵．根据提前天完成任务即可列方程． 【详解】解：实际每天种树的棵数是原计划的倍，且原计划每天种树棵， 实际每天种树棵． 根据题意得：． 故选：D． 7. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质得到，，进而得到，再根据折叠的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：A． 8. 如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接，取中点，连接，并延长交于点，可得为的中位线，则，再由勾股定理求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，并延长交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上） 9. 当x＝____时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得x=3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． 10. 某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，则采用的调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据抽样调查和全面调查的适用范围作答即可，熟练掌握抽样调查和全面调查的适用范围是解题的关键． 【详解】解：某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，宜采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查． 11. 如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 12. 平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点，，于点，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，由菱形的性质和菱形的周长求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵菱形的周长为20， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F．若，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，由矩形的性质得到，，进而得到，结合，可得，推出，再根据勾股定理求出即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，，．点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，正确掌握旋转的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 将绕点逆时针旋转后得到，连接，过作于点，则，由旋转性质可知：，，，证明，所以，当时，最小，与重合，即时最小，再由所对直角边是斜边斜边的一半得出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到，连接，过作于点，则， 由旋转性质可知：，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，当时，最小，与重合，即时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴线段的长度的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算和乘法运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）利用提公因式法和完全平方公式先分解因式，再根据分式的乘法运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式化简，再把代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解方程： 【答案】分式方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程方法及步骤是解题的关键． 先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 20. 已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，根据平行线的性质得到，再得到，推出，即可得出答案，掌握平行四边形的判定法则是解题的关键． 【详解】略 21. 为了丰富学生的课外社团活动，某校计划从．“剪纸”，．“沙画”，．“陶艺”，．“航模”四门手工类主题社团课程中选择部分课程开设，学校为了解这四种社团课程在学生中受欢迎情况，现随机抽取部分学生开展了“最喜欢的社团课程”的调查，要求每一位学生必须从四门课程中选择，且只能选择其中一门最喜欢的课程．现对调查所得的数据进行整理、描述与分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是_______； （2）条形统计图中的值为_______，的值为_______；扇形统计图中课程所对应的圆心角是_______． （3）若该校共有名学生，请估计全校最喜欢“沙画”课程的学生人数． 【答案】（1）； （2），，； （3）估计全校最喜欢“沙画”课程的学生人数为． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识，求解扇形统计图中扇形圆心角，用样本估计总体的知识，掌握知识点的应用，数形结合的思想是解题的关键． （）利用．“剪纸”的人数除以所占比即可求解； （）先根据“航模”所占比乘以求出的值，再用减去人数求出的值，根据“陶艺”所占比乘以即可求出圆心角； （）根据最喜欢“沙画”课程的学生所占比乘以即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴（人）， 扇形统计图中课程所对应的圆心角是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：估计全校最喜欢“沙画”课程的学生人数（人）， 答：估计全校最喜欢“沙画”课程的学生人数为． 22. 如图，一次函数（，是常数，）的图象与反比例函数（是常数，）的图象交于点，，轴上一点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式，反比例函数的表达式为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象与一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）反比例函数图象经过点，，可求出，然后再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （）设一次函数与轴交于点，则，从而有，在根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：设一次函数与轴交于点， 当时，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 23. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点成中心对称的，其中点的对应点分别为； （2）画出平移后的，使得点的对应点的坐标为，其中点，的对应点分别为； （3）在（）和（）的条件下，可绕某一点旋转后得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题的关键． （）直接利用关于点中心对称的性质得出的对应点进而求出即可； （）利用平移的性质得出平移规律进而得出答案； （）利用旋转对称图形得出对应点的连线的交点进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴向下平移个单位， 【小问3详解】 解：根据上图可得可绕点旋转后得到， 故答案为：． 24. 如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键是． （）由平行四边形的性质得出，，再由得出，从而证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可求证； （）由（）得：四边形是矩形，则，，再由平行线的性质及等腰三角形的判定得出，然后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与反比例函数的图象交于点，连接，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点为反比例函数的图象上位于直线下方一点，点在轴正半轴上，连接，且平分，求点的坐标． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，一次函数与反比例函数图象的交点，两点间距离公式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出，则，而，则，即可求出，再代入求出k即可； （2）点作轴交延长线于点，得出，那么，求出直线解析式，和反比例函数解析式联立求出点P． 【小问1详解】 解：对于， 当， 当， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 联立和得， 解得：或（舍） ∴． 26. 如图1，矩形中，，点E是上一点，连接，过点E作射线，交于点． （1）若．则的长为________； （2）如图2，将沿翻折得到．连接． ①若点在同一直线上，求的长度． ②若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）； （2）①的长度为；②的长度为或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，证明，得到，，即可求解； （2）①根据矩形的性质和翻折的性质证明，设，则，根据勾股定理即可求解； ②分两种情况讨论：当时， 当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由（1）知，，，， 由翻折可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长度为； ②设，则， 由翻折可得：， 当时，， 在中，， ∴， 解得：， 当时， 如图，于点， ∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 27. 【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 【答案】（）四边形的周长为；（）；（）． 【解析】 【分析】（）根据中位线定理即可求解； （）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解； （）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； （）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $