精品解析：河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中考前模拟数学试题

南阳一中2025年春期高二年级期中考前模拟 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 如果函数在处导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 2. 下列求导运算正确的是　　 A. B. C D. 3. 为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 5. 设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. “，，成等差数列”是“”的充分不必要条件 C. 若，则等比数列 D. 若是等比数列，则，，也成等比数列 6. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列的最大项为 C. 使得取得最小值的n为7 D. 有最小值，无最大值 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 10. 已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是（ ） A. 的值随n的变化而变化 B. C. 若m，n，，，则 D. 为递增数列 11. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论，其中所有正确结论的是（ ） A. 的第2项小于3 B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 中存在小于的项 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为____________. 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________． 14. 已知数列满足，则数列的前20项和_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知函数． （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的方程． 16. 已知数列满足，记． （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和为． 17. 某人工智能公司从2018至2024年利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 52 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 18. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，记的前项和为，证明：． 19. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）． （1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值； （2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式； （3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳一中2025年春期高二年级期中考前模拟 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 如果函数在处的导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 2. 下列求导运算正确的是　　 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 3. 为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】命题①，根据条件，利用古典概率公式，求出概率，即可判断命题①正误；根据表中数据，求出，即可判断出命题②和③的正误，即可求解. 【详解】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为，所以命题②错误，命题③正确， 故选：B. 4. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 【答案】B 【解析】 【分析】根据观察有n条直线交点最多有个，即可得. 【详解】由题设，对于n条直线交点最多有个，则10条直线交点的个数最多是个. 故选：B 5. 设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. “，，成等差数列”是“”的充分不必要条件 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则，，也成等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的定义判断． 【详解】对于A，若，则不是等比数列，A错； 对于B，，，成等差数列，例如，但是，B错； 对于C ,若，则时，，也适合上式，所以，是等比数列，C正确； 对于D，等比数列，若，则，此时不可能是等比数列，D错， 故选：C． 6. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 故选：B. 7. 已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，则，即因为，则，即. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为，则，有，，即过原点的切线方程为. 最短距离为. 故选A. 考点：导数的几何意义 【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 8. 已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列的最大项为 C. 使得取得最小值的n为7 D. 有最小值，无最大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，可得判定A正确；由等差数列的通项公式，求得，结合且，可判定B错误；由通项公式，得到数列取值的正负，可判定C正确；求得的表达式，得到或时，且，当或时，，进而可判定D正确. 【详解】由数列满足，可得，则， 可得，即， 因为，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以A正确； 由等差数列的通项公式，可得， 所以，因为，而， 所以不是数列的最大项，所以B错误； 当时，；当时，；当时，， 可得在时取得最小值，所以C正确； 由 ， 当或时，且，此时取得最小值； 当或时，，且无最大值，所以D正确. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 10. 已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是（ ） A. 的值随n的变化而变化 B. C. 若m，n，，，则 D. 为递增数列 【答案】BD 【解析】 【分析】令，可得，从而可判断A；根据等差数列的求和公式可判断D；根据等差数列的性质可判断BC. 【详解】数列中，已知，且对于任意的，都有， 令时，， 故,为常数，故A错误； 则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，， ，， 所以为递增数列，故D正确； 因为，（m，n，）， 由等差数列的性质可得，,故B正确，C错误. 故选:BD. 11. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论，其中所有正确结论的是（ ） A. 的第2项小于3 B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 中存在小于的项 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导出，求出，的值，进而即可判断A；利用数列单调性的定义即可判断B；利用反证法即可判断C，D． 【详解】对于A，由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由，则，两式作差可得， 所以，则，整理可得， 又，解得，故A正确； 对于B，结合选项A知，当时，， 可得，所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，假设数列为等比数列，设其公比为， 则，即，则，可得，解得，不合乎题意， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与假设矛盾，即假设不成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题在推断选项C，D的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为____________. 【答案】162 【解析】 【分析】先求出，再由是等比数列，且，可得，进而可求出. 【详解】由已知得， 又是等比数列，且， 则，即， 所以，即. 故答案为：162. 【点睛】本题考查等比数列的概念及通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可. 【详解】有两个零点 有两个根，即图像有两个交点； ①时，设， 若有两个交点，则； ②时，只有一个交点； ③时，设， 若有两个交点， 综上可得，实数a的取值范围为 故答案为： 14. 已知数列满足，则数列的前20项和_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据递推公式可得，令，结合等比数列数列的定义和通项公式可得，进而，利用公式法计算即可求解. 【详解】由数列满足，， 得， 又，所以， 令，可得， 所以，由，可得，所以， 所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 则， 因为，适合上式，所以， 所以数列的前20项的和为 . 故答案：1756 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知函数． （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）切线方程为或． 【解析】 【分析】（1）设切线的切点为，由条件结合导数的几何意义及两直线垂直时它们的斜率的关系列方程求，再求即可求切线方程； （2）设切点的横坐标为，直线的斜率为，结合导数的几何意义列方程求，，利用点斜式求切线方程. 【小问1详解】 设曲线与直线垂直的切线的切点为，则， 切线的斜率为， 所以，， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ，设切点的横坐标为，直线的斜率为， 则直线的方程：， 则， 则，整理得，所以， 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为． 所以切线方程为或． 16. 已知数列满足，记． （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和为． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 数列中，，即，而， 因此， 由，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，． 小问2详解】 由（1）知，，则，设数列的前n项和为， 所以，， 两式相减得， 所以. 17. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 【答案】（1）y与x线性相关，，相关程度很强 （2），6.3亿元 【解析】 【分析】（1）用题目给的、、的值代入算 r ，再依据 r 的值和正负判断变量关系．  （2）把已知的和的值代入计算，得到涉及的系数，进而得到方程．再 把给定 x 值代入回归方程算出 y 值． 【小问1详解】 由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． 【小问2详解】 由题设，，， 所以，因此y关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元． 18. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，记前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可； （2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，所以， 又为，的等比中项，则， 解之得，故； 【小问2详解】 由上可知， 所以 ， 易知， 令，显然定义域上单调递减，， 所以，故. 19. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）． （1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值； （2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式； （3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）r＝9；（2）P（n，r）＝r；（3）n＝3，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得P（3，r），解不等式可得最小r的取值； （2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）＝a1+a2+…+ar，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案． （3）P（n，r+1）+P（n，r）＝（n﹣2）r2+2r+1，n＝3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：P（3，r）＝1+2+…+r 令36 即r2+r﹣72＞0， 解得r＞8 ∴最小的r＝9． （2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1， 则P（n，r）＝a1+a2+…+ar， 从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变， 所以ar+1﹣ar＝n﹣2，a1＝1 所以{ar}是首项为1公差为n﹣2的等差数列， 所以P（n，r）＝r； （3）P（n，r+1）+P（n，r）＝（n﹣2）r2+2r+1， n＝3时，满足题意； 而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0， ∴4﹣4（n﹣2）＝0，∴n＝3， 故满足题意的数列为“三角形数列”． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考查了归纳推理能力以及论证能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$