精品解析：重庆市第二外国语学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试题

重庆市第二外国语学校2024－2025学年春季学期半期考试 八年级数学试题 （全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑． 1. 下列图片中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 取任意实数 3. 若，下列各式一定正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（ ） A B. C D. 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果，那么，都是正数 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 9 B. 6 C. 2 D. 10. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为0，则的值是______． 12. 因式分解： ________． 13. 如图，将绕点逆时针按一定的角度旋转到，使点落在的延长线上．已知，则旋转角大小为______． 14. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 15. 计算：______． 16. 如图，是等边三角形，是角平分线上的一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为______． 17. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 18. 阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为______；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19 计算： （1）因式分解：； （2）解不等式组： 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将绕点沿逆时针方向旋转度得到，画出，并求旋转过程中点经过的路线长度为______； （2）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，画出，若将看成是由经过一次平移得到的，则平移距离为______； （3）直接写出经过一次平移到的过程中，边扫过的面积． 21. （1）计算： （2）解方程： 22. 如图，在中，，，是上的一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； （2）求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． （1），两款的进货单价分别是每盒多少元？ （2）小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 24. 如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 25. “暖心小包”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元／个，豆浆2元／杯，肉包的总金额（单位：元）随购买个数（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数． 新店开张，为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场八五折（运费不打折） 方案二：①每买5个肉包赠送2杯豆浆 ②每买3个菜包赠送1杯豆浆 （1）求购买肉包的总价（单位：元）与购买肉包个数（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． （2）家住距离早餐店的某客户想要在“暖心小包”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆杯数，并列举此时该客户的购买方案． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； （2）如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第二外国语学校2024－2025学年春季学期半期考试 八年级数学试题 （全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑． 1. 下列图片中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 取任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键； 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故选：B． 3. 若，下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、当时，；当时，，故选项错误，不符合题意； 故选B 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项B：，原分解错误； 选项C：属于整式乘法，不是因式分解． 选项D：符合因式分解定义． 故选：D． 5. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售， ∴， 故选：C 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果，那么，都是正数 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了逆命题的概念，真命题的判断，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先得到各选项的逆命题，然后根据相应知识点逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：若两个三角形的对应角相等，则这个三角形全等， ∴逆命题假命题，符合题意； B．逆命题为：若，都是正数，则， ∴逆命题是真命题，不符合题意； C．逆命题为：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， ∴逆命题是真命题，不符合题意； D．逆命题为：一个三角形中，若两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形， ∴逆命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到与的关系，再整体代入化简后的分式求值． 先对已知通分变形，得出与的关系， 再将所求分式变形为含的形式 最后把与的关系代入变形后的分式计算结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简 ∴． 故选：A． 8. 如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点坐标的平移变换，要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 由于线段是由线段平移得到的，根据题意得出由平移到D点的横坐标减少4，纵坐标减少1，即可求解． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， ∵点的对应点的坐标为， ∴由平移到D点的横坐标减少4，纵坐标减少1， ∴点的对应点的坐标为． 故选：C． 9. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 9 B. 6 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集为，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为：， ∴， ， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，y为整数且， ∴，且， ∴符合条件的所有整数a的值为：，7， ∴符合条件的所有整数a的和为：6， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2） 过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2） 连接BE交x轴与D点 过A’作A’C∥DE交x轴于点C， ∴四边形CDEA’为平行四边形， 此时AC+BD最短等于BE的长， 即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE== 故选B． 【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为0，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟悉分式的概念：形如其中B中含有字母且，这样的式子叫做分式． 根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ∴x的值为， 故答案为：． 12. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，找出多项式中的公因式是，再进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，将绕点逆时针按一定的角度旋转到，使点落在的延长线上．已知，则旋转角大小为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算，解决本题的关键是由旋转得到． 由绕点C按逆时针方向旋转至，得到，证明，利用平角为即可解答． 【详解】解：∵绕点C按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角大小为， 故答案为：． 14. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 【答案】x＜1． 【解析】 【分析】根据y=x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x=1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集． 【详解】∵直线l1：y=x+1过点P（a，2）， ∴2=a+1， 解得：a=1， 则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1， 故答案为：x＜1． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值． 15. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过原式约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，是角平分线上的一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等边三角形以及角平分线得到，再由角直角三角形的性质以及勾股定理求出，，在中，再次利用角直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是角平分线上的一点， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，，求出，在线段截取，利用角平分线性质和等腰三角形定义及外角的性质得，然后设，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， 在线段截取，使， ， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中 即， 解得：，（负值舍去）， 故答案为：. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，勾股定理，此题辅助线的连接是解题的关键． 18. 阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为______；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为______． 【答案】 ①. 24 ②. 120 【解析】 【分析】本题考查分式的变形（假分式化为整式与真分式和的形式）以及数的整除相关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将假分式通过对分子变形，化为的形式。 因为假分式值为整数，所以为整数，由此确定是的因数，进而求出的所有可能整数值，最后求和。 设三位数百位数字为（ ），得出，两位数，并计算。 根据能被整除，分析出要能被$12a$整除。 对取值（、、、 ）进行分类讨论，确定满足条件的，最后求和。 【详解】 ， ∵假分式的值为整数， ∴为整数． ∴的值可以为、、、 ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴这些整数的和为 ； 设三位数m的百位数字为，则其十位数字为，设个位数字为， ∴；两位数的十位数字是，个位数字是，则． ． ∵能被整除，，， ∴要能被整除． 当时，，时，能被12整除；时，能被12整除． 当时，，时，能被24整除． 当时，，时，能被36整除． 当时，，时，能被48整除． 满足条件的有12、24、36、48，它们的和为． 故答案为：24；120． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）因式分解：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式和解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式进行分解因式即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将绕点沿逆时针方向旋转度得到，画出，并求旋转过程中点经过的路线长度为______； （2）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，画出，若将看成是由经过一次平移得到的，则平移距离为______； （3）直接写出经过一次平移到的过程中，边扫过的面积． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）9 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，平移作图，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转作图方法、平移作图方法，数形结合是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质即可作图，由勾股定理可得，结合扇形即可得出答案； （2）根据平移的性质即可作图，连接，利用勾股定理即可求解； （3）利用网格的特点，利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由勾股定理可知，， 则旋转过程中点经过的路线长度为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 由勾股定理可得：， 即，若将看成是由经过一次平移得到的，则平移距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 边扫过的面积为． 21. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式加法，解分式方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）根据同分母分式的加法法则计算即可得出答案； （2）将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解． 22. 如图，在中，，，是上的一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； （2）求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，角平分线的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）以点为圆心，线段长度为半径交于点，分别以，为圆心，大于的长度为半径作圆，交于一点，连接和该交点的直线，交于，则直线为所求； （2）根据题意可知，，可知，结合勾股定理可知，可得，即可证明平分． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， ， ，， ， ，， 平分； 故答案为：①；②；③；④；⑤平分． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． （1），两款的进货单价分别是每盒多少元？ （2）小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）共有3种购买方案． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款盒，则购进A款盒， ∵款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ， 解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 共有3种购买方案，即购进A款50盒，则购进B款50盒；购进A款49盒，则购进B款51盒；购进A款48盒，则购进B款52盒． 24. 如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，进而可得，然后利用垂直平分线的性质即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合已知条件即可得出的形状． 【小问1详解】 证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 25. “暖心小包”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元／个，豆浆2元／杯，肉包的总金额（单位：元）随购买个数（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数． 新店开张，为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场八五折（运费不打折） 方案二：①每买5个肉包赠送2杯豆浆 ②每买3个菜包赠送1杯豆浆 （1）求购买肉包的总价（单位：元）与购买肉包个数（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． （2）家住距离早餐店的某客户想要在“暖心小包”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆杯数，并列举此时该客户的购买方案． 【答案】（1） （2）在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案二购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆，赠送8杯豆浆即可． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，根据题意分情况讨论是解题关键 （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意得出肉包买20个，菜包买0个，设购买豆浆碗，依据方案列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：当时， 设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 综上可得：； 【小问2详解】 ∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：27， 选择方案二：①购买20个肉包，赠送了8杯豆浆， ∴， 解得：， ∴的最大值为：20； ∴豆浆共有20+8=28杯； 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案二购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆，赠送8杯豆浆即可． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； （2）如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①首先证明，推出是等腰直角三角形，可得结论； ②如图2中，过点A作于点H，交于点T，证明，推出，证明，推出，再证明，可得结论； （2）如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．证明点M在线段的垂直平分线上，设垂足为Q，当线段的垂直平分线时，的值最小，设交于点J（如图3-2中），求出，，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图1中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，而， ， ， ； ②证明：如图2中，过点作于点，交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，． ， ， ，， ， ， ， ， 点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小， 设交于点J（如图3-2中）， ∵，， ， ∵， ，， ， ，， ∵，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质、勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$