精品解析：2025年天津市红桥区中考一模数学试题

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 5 C. D. 1 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 开 B. 卷 C. 有 D. 益 4. 据2025年3月17日《天津日报》报道，网络平台数据显示，3月15日，国产动画片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售及海外）超元，跻身全球影史票房榜第五位．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 7. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（ ） A. 120 B. 130 C. 156 D. 169 12. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、2个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 14. 计算的结果等于______． 15. 计算的结果等于______． 16. 若一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是_____．（写出一个即可）． 17. 如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接． （1）线段的长为______； （2）若F为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 为了解某校八年级学生在乒乓球正手攻球体育项目的情况，随机抽取了该校八年级a名学生该项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有八年级学生人，估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是多少？ 21. 已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，与相交于点F． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求的长． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度． 如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为． （1）求山坡的高度； （2）求建筑物的高度（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 23. 已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小明离开教室的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 （2）填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______； （3）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （4）当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，顶点A在x轴的正半轴上，D为边上一点，，，． （1）填空：如图①，点D的坐标为______；点B的坐标为______； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，C的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当与重叠部分为四边形时，，与分别相交于点E，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法法则．根据绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知从正面看得到的图形是主视图．根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看底层是三个正方形，上层左边是一个正方形，则立体图形的主视图是， 故选：A． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 开 B. 卷 C. 有 D. 益 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 4. 据2025年3月17日《天津日报》报道，网络平台数据显示，3月15日，国产动画片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售及海外）超元，跻身全球影史票房榜第五位．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：B． 5. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】先估算出无理数的值，再进行辨别、求解． 【详解】解：， ， ， 故选． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，解题的关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数运算，先把的正弦值和余弦值代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 7. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．由可得出，把代入①即可得出x的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点分别代入反比例函数，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，即； ，即； ，即； ∵， ∴； 故选：B． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法．通分把异分母分式变为同分母分式进行计算即可． 【详解】解： 故选：A 10. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，得出是等边三角形，得到，即可证明；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C， ，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选项D正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：D 11. 如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（ ） A. 120 B. 130 C. 156 D. 169 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由作图可得，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，由等角对等边得出，进而求出，过D作于M，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由作图知：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 过D作于M， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 12. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．化为顶点式，利用二次函数的性质可判断①错误，分别求出和时，h的值即可判断②正确，分别求出和时，h的值即可判断③正确，由此即可得． 【详解】解：， 则小球飞行的最大高度为，结论①错误； 当时，， 当时，， ， 小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度，结论②正确； 当时，， 当时，， 当时，小球的飞行高度不低于，结论③正确． 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、2个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用红球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有7个球，其中红球有3个，且每个球被摸到的概率相同， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 14. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式的计算，直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解；， 故答案为：． 15. 计算的结果等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： = =13-9 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 16. 若一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是_____．（写出一个即可）． 【答案】2 【解析】 【分析】由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，﹣1＜0，在范围内确定k的值即可． 【详解】解：因为一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，﹣1＜0，所以k可以取2． 故答案为2． 【点睛】根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 17. 如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接． （1）线段的长为______； （2）若F为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质，推出，即可求出的长． （2）过作于，由相似三角形的判定与性质得到，求出，由三角形中位线定理得到，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解（1）， ， ， ， ． 故答案为：； （2）过作于， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质及勾股定理，关键是由相似三角形的判定与性质推出；由勾股定理求出的长． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取点所在竖向格线与圆的交点，连接交于点，则，点为圆心，取与中间竖向格线的交点，取与竖向格线的交点，作直线交竖向格线的交点，连接交圆于点，过点作直径，连接交直径于点，点P即为所作． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所作， ． 由作图知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 由垂径定理知和关于直径对称， ∴， ∴， ∴点P即为所作． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示． （1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ． 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 为了解某校八年级学生在乒乓球正手攻球体育项目的情况，随机抽取了该校八年级a名学生该项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有八年级学生人，估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是多少？ 【答案】（1） （2）26． （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据26次的人数和百分比可以求得a，再由总人数和25次的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）利用总人数乘以测试成绩为27次的人数的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， 故m的值为， 统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数为27，中位数为第20和21个数据的平均数即为， 故答案为： 【小问2详解】 这组数据的平均数是26． 即统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数是26； 【小问3详解】 （人） 即估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是人 21. 已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，与相交于点F． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，等边三角形的性质和判定，余弦，正确理解题意是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可； （2）根据圆周角、弧、弦的关系得到，根据等边三角形的性质得到，根据余弦的定义分别求出，进而求出． 【小问1详解】 解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度． 如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为． （1）求山坡的高度； （2）求建筑物的高度（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 【答案】（1）山坡的高度的长为； （2）建筑物的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，解直角三角形即可求解； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，过点作，垂足为．得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，，， ∴，． 即山坡的高度的长为； 【小问2详解】 解：设， 在中，由，，， 则， 由（1）得， ∴， 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：建筑物的高度约为． 23. 已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小明离开教室的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 （2）填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______； （3）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （4）当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）填表见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （2）根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （3）利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （4）根据题意，利用待定系数法求出小华和小明返回时离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【小问1详解】 解：①小明从教室到篮球场过程中的速度为：， 当小明离开教室时，离宿舍的距离为：， 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． 如图填表： 小明离开教室的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 2 【小问2详解】 小明从餐厅到宿舍的骑行速度为． 故答案为：； 【小问3详解】 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（，，为常数，） 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为．， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（、、b均为常数）， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 【小问4详解】 解：∵小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍， ∴小华从第时回宿舍， ∵小华比小明晚到达宿舍， ∴小华第时到达宿舍， 设小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为，（均为常数） 将和代入，得， 解得， ∴， 设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（均为常数） 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小华杰在回宿舍前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，顶点A在x轴的正半轴上，D为边上一点，，，． （1）填空：如图①，点D的坐标为______；点B的坐标为______； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，C的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当与重叠部分为四边形时，，与分别相交于点E，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）在中，根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，在中，根据余弦的定义求出，即可求解； （2）①在中，根据余弦定义求出，根据正弦定义求出，在中，根据正切定义求出，然后根据求解即可； ②当时，由（1）知∶ ，然后根据二次函数的性质求解；当时，在中，，根据正切的定义求出，然后根据，求出S关于t的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴，， ∵平移， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴当与重叠部分为四边形时， ， 当和D重合时，； 当和A重合时，， ∴； ②当时， 由①知 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ∴； 当当时，如图， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵，，， ∴当时， 有最小值为， ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，矩形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或或；②或 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为，， ， ， ， 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则，解得， 综上可知，点P的坐标为或或； ②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角， 如图，连接 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上可知，点P的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $