7 解决问题的策略-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（苏教版）

七　 解决问题的策略 第1课时 用转化的策略解决问题(1) 1. 填一填。 (1) 如图,运动会上,学校要在计时台上铺红 毯,至少需要( )m长的红毯。 (2) 如图,每个小方格的边长表示1厘米,涂 色部分的周长是( )厘米,面积是( ) 平方厘米。 (3) (学科融合)成语“凹凸不平”非常形象, 淘淘写的“凹”字的周长是( )cm,“凸”字 的周长是( )cm。 2. 用分数表示下面各图中的涂色部分。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ★ ( ) ( ) 3. 转化是最基本的数学思想之一,通过转化,常 常能使复杂的问题变得简单,从而解决新问 题。结合图中所给的数据,用转化解决问题。 (1) 求图中涂色部分的面积。 (2) 大正方形的面积为25平方厘米,求图中 三个涂色部分的周长总和。 4. 求图中涂色部分的周长和面积。 5. (创新应用)如图,一块麦地被4条3米宽的 公路分成了9块。种麦子的面积是多少平 方米? 6. 把一个长12厘米、宽5厘米的长方形按如图 所示的方式折一折,得到下面的图形。三角 形ABC、CDE、EFG、GHI的周长之和是多 少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 67 第2课时 用转化的策略解决问题(2) 1. 巧算。 (1) 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64 (2) 1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32- 1 64 (3) 3+6+9+12+15+18+21+24 (4) 0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999 2. (五育并举)某足球联赛共有32支球队参赛, 他们先进行小组赛,共分为8组,每组4支球 队。小组赛采用循环赛制,即每1支球队都 要和另外3支球队比赛。小组赛结束后,产 生16强,这16支球队将进行淘汰赛,即每场 比赛淘汰1支球队,决出冠、亚军前要增加一 场第三、四名之间的比赛。 (1) 小组赛一共要比多少场? (2) 小组赛后还要比多少场才能确定前三名 分别是哪支球队? 3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状 来研究数,著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6, 10……这样的数称为“三角形数”;把1,4,9, 16……这样的数称为“正方形数”。从图中可 以发现:任何一个大于1的“正方形数”都可 以看作两个相邻的“三角形数”之和。 按照上面的规律,想一想第④幅图的算式为 ( ),第⑧幅图的算式为( )。 4. 实验小学报告厅共有25排座位。其中第一 排有10个座位,第二排有12个座位,后面每 一排的座位都比前一排多2个。实验小学报 告厅一共有多少个座位? 5. (数形结合)在下面的正方形中画图表示1 3+ 1 6+ 1 12+ 1 24 ,再计算出结果。 6. 直接写出得数。 1 3- 1 5= 1 5- 1 7= 1 7- 1 9= 2 3+ 2 15+ 2 35+ 2 63+ 2 99+ 2 143= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 七　解决问题的策略 第3课时 练 习 课 1. 用分数表示下面各图中的涂色部分。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 下面每个小方格的边长表示1厘米,涂色部 分的周长是( )厘米,面积是( )平方 厘米。 3. 同一个问题可以用不同的方法来解决,请用 三种方法解决下面的问题。 方法一:结合梯形的面积公式。 1+3+5+7+9+11+13+15+17 方法二:结合“正方形数”。 1+3+5+7+9+11+13+15+17 方法三:结合连续的几个奇数和的规律。 1+3+5+7+9+11+13+15+17 4. (创新意识)如图(单位:厘米),大、小两个正 方形部分重合,没有重合的涂色部分的面积 相差多少? 5. 如图,线段AB 的长是20厘米,一只蚂蚁从 点A 出发,沿着四个半圆的弧爬行至点B。 蚂蚁爬行的总路程是多少厘米? 6. (创新应用)如图,将等腰三角形ABC 沿虚线 折叠,折叠后恰好形成了一个长方形。已知 三角形ABC 的底是6cm,高是4cm,则图中 涂色部分的面积是多少平方厘米? 7. (创新应用)如图,涂色部分是正方形内的一 个小长方形,涂色小长方形的周长是多少 厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 87 数学(苏教版)五年级下 提分真题集训 1. (无锡梁溪区)如图,校园里修建 了一个边长是6米的正方形花 坛,现在准备在涂色部分种花, 其余部分种草。种花的面积是( )平 方米。 2. (苏州昆山)学校举行羽毛球比赛,比赛采用 单场淘汰制(每场比赛淘汰一名选手),有 64名选手参加单打比赛,一共要比( )场 才能决出冠军;如果有32名选手参加双打比 赛,那么决出冠军要比( )场。 3. (扬州江都区)如图,将面积是20cm2的正方 形放于甲、乙两个等腰直角三角形中,甲的面 积是( )cm2,乙的面积是( )cm2。 4. (无锡江阴)如左下图,边长为8的正方形中 依次挖去了四个半圆,涂色部分的面积是 ( )。(结果用含有π的式子表示) 5. (连云港赣榆区)如右上图,长方形ABCD 的 长是8厘米,宽是3厘米,将这个长方形沿 EF 折叠,涂色部分的周长是( )厘米。 6. (苏州常熟)学校有一块空地,是由四个边长 为1.5米的正方形组成的。现要在空地上建 花坛(涂色部分),使花坛面积占空地面积的 一半,下面的设计中,不符合要求的是( )。 A. B. C. D. 7. (苏 州 常 熟)计算2+4+6+8+10+ 12+……这样的算式有简便方法吗? 丁丁遇 到这个问题时,想到用“数形结合”的方法来 探索,于是他用小圆片摆图形进行研究。 (1) 观察表格,把下面的等式补充完整。 序 号 1 2 3 4 … 图 形 … 小圆片 个数 2 2+4 2+4+ 6 2+4+ 6+8 … 2=1×2 2+4=2×3 2+4+6=3×4 2+4+6+8=( )×( ) (2) 若按此规律继续摆,则序号为( )的 图形共有156个小圆片,序号为n的图形共 有( )个小圆片。 8. (淮安洪泽区)工地上有一些粗细相同的圆柱 形钢管堆成梯形,最上层有10根,下面每层 都比上面一层多1根,最下层有24根。这堆 钢管一共有多少根? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 七　解决问题的策略 第七单元整合提升 类型一 运用转化法进行简便计算 计算相邻两个加数的差恒等的加法运算时,可以借助 梯形面积公式计算。计算某些分数的和时,可以转化 成两个数的差。 1. 巧算。 (1) 1+2+3+4+5+…+59+60 (2) 2+4+6+8+…+98+100 (3) 112+2 1 4+3 1 8+4 1 16+5 1 32 (4) 112+2 1 6+3 1 12+4 1 20+5 1 30 类型二 运用转化法解决图形的面积问题 利用切割、拼接、平移、旋转把不规则图形转化成规则 图形,或根据题目中存在的相等关系,通过变换找出 所求图形与已知图形之间的关系,从而求出所求图形 的面积。 2. (创新应用)如图,以AB 为直径的半圆绕点 A 逆时针旋转60°,使边AB 到达边AC 的位 置。若AB 为6厘米,求涂色部分的面积。 3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB 为10厘 米,EF 为5厘米。求涂色部分的面积。 4. (创新应用)求下面涂色部分的面积。 素养点 圆环面积的验证方法 5. (探究创新)借助“草垫”来验证圆环面积。 《九章算术》记载了一种求圆环面积的方法: “并中、外周而半之,以径乘之,为积步。”其大 意是圆环面积=(内圆周长+外圆周长)÷ 2×径,径的长度是外圆半径与内圆半径 的差。 这是真的吗? 聪聪将一个圆环形地垫沿一条 径剪开,你能根据展开后的梯形解释这个公 式吗? 如果上图中梯形的上底是6.28米,下底是 12.56米,那么圆环形地垫的面积是( ) 平方米。 思路提示:寻找变化前后对应的关系分析。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(苏教版)五年级下 8. 3.14×(20÷2)2÷2-28=129(平方厘米) 129×2÷20=12.9(厘米) 解析:根据题意,易得 涂色部分甲和涂色部分乙同时加上空白部分,面积 还是相差28平方厘米。可以先求出半圆的面积, 再求出直角三角形的面积,最后根据三角形面积计 算公式求出直角三角形的另一条直角边BC 的长。 9. 3.14×(20×2)=125.6(平方分米) 解析:题 图中小圆的半径r等于小等腰直角三角形的腰长, 所以小等腰直角三角形的面积等于小圆的半径的 平方的一半,即r2÷2;同理可得大等腰直角三角 形的面积为R2÷2,则涂色部分的面积=大等腰直 角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积= R2÷2-r2÷2=20平方分米,所以R2-r2=40平 方分米。再根据圆环的面积计算公式即可求出圆 环的面积。 10. 94.2÷3.14=30(平方分米) 解析:由题图可 知,大正方形的边长等于外圆的半径,小正方形的 边长等于内圆的半径,涂色部分的面积等于外圆半 径的平方与内圆半径的平方的差,所以直接用圆环 的面积除以3.14即可求出涂色部分的面积。 11. 25.12 易错分析 误认为半圆的周长就是圆周长的一半 半圆的周长由两部分组成,除圆周长的一 半外,还有一条直径的长度。 12. 50.24 易错分析 没有掌握外圆半径的计算方法 计算时误以为外圆的半径是内圆直径加 1个环宽再除以2,容易漏算1个环宽。解决 此类问题时,可以通过画图的方法来帮助理解 题意,避免出现错误。 13. 16 0.375πr 0.625πr 2r πr2 0.5πr 4r πr2 解析:将圆分成了16等份,每一份的弧 长都是0.125πr,通过数一数的方法分别得出梯形 的上底和下底,三角形的底边,以及两者的高,分别 代入梯形面积公式和三角形面积公式进行计算即可。 七　解决问题的策略 第1课时 用转化的策略 解决问题(1) 1. (1) 14 (2) 15.42 9 (3) 60 50 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 5 9 易错分析 误用转化的方法 直角三角形斜边比直角边长,本题容易误 用转化的方法,将涂色部分进行旋转,误认为 旋转后的图形是边长为2的正方形。 3. (1) 4×4÷2×2=16(平方厘米) 解析:将上 面的两个涂色部分移到下面,使涂色部分变成2个 腰长为4厘米的等腰直角三角形。 (2) 25=5×5 5×4=20(厘米) 解析:涂色部分 的周长就是正方形的周长。 4. 周长:2×3.14×4+3.14×4=37.68(cm) 面积:3.14×42-3.14×(4÷2)2=37.68(cm2) 解析:涂色部分的周长=半径为4cm的圆的周 长+直径为4cm的圆的周长;涂色部分的面积= 半径为4cm的圆的面积-直径为4cm的圆的 面积。 5. (80-3-3)×(60-3-3)=3996(平方米) 解析:将9块麦地合并,可以变成一个底是(80- 3-3)米、高是(60-3-3)米的平行四边形。 6. (12+5)×2=34(厘米) 解析:根据折叠的性 质,可得四个三角形的周长之和正好是一个长方形 的周长。 第2课时 用转化的策略 解决问题(2) 1. (1) 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64=1- 1 64= 63 64 (2) 1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32- 1 64=1- 12+14+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64 =1-1-164 =164 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 (3) 3+6+9+12+15+18+21+24=(3+24)× 8÷2=108 (4) 0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999=1×5- (0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001)= 4.88889 2. (1) (3+2+1)×8=48(场) 解析:采用循环 赛制时,每组的4支球队共比6场。因为有8组, 所以要比48场。 (2) 16-1+1=16(场) 解析:从16支球队中决 出冠军,就是最后只剩下1支球队,要淘汰15支球 队,即要比15场。与最终获得冠军的球队比赛,失 败的球队是第二名。在决出冠、亚军前,还有第三、 四名之争,即4进2时,失败的两支球队还要比 1场,决出第三名,所以还要比15+1=16(场)。 3. 25=10+15 81=36+45 4. 10+2×(25-1)=58(个) (10+58)×25÷ 2=850(个) 解析:根据“后面每一排的座位都比 前一排多2个”,先求出最后一排的座位,再转化成 同数连加的算式进行计算。 5. 1 3+ 1 6+ 1 12+ 1 24=1- 1 3- 1 24= 5 8 解析:将算式 和图形联系起来,可在图中分别表示出1 3 、1 6 、1 12 和1 24 ,通过观察发现,原算式可以转化成连减算式 1-13- 1 24 来计算。 6. 2 15 2 35 2 63 12 13 解析:将加法算式中的每一 个加数转化成两个数的差,进行计算。 第3课时 练 习 课 1. 1 4 1 4 3 8 2. 17.42 12 3. 方法一:(1+17)×9÷2=81 方法二:92=81 方法三:9×9=81 4. 9×9-5×5=56(平方厘米) 解析:要求两个 涂色部分的面积相差多少,就是求两个正方形的面 积之差。 5. 3.14×20÷2=31.4(厘米) 解析:题图中四个 半圆的弧长之和等于以AB 为直径的半圆的弧长, 所以蚂蚁爬行的总路程是直径为20厘米的圆的周 长的一半。 6. 6×4÷2=12(cm2) 12÷2÷2=3(cm2) 解析:由折叠的性质可知,长方形的面积等于大三 角形面积的一半。长方形内部大三角形的面积等 于长方形面积的一半,则两个小三角形的面积(涂 色部分的面积)等于长方形面积的一半,等于整个 大三角形面积的一半的一半。 7. (12+8)×2=40(厘米) 解析:涂色小长方形 的长等于正方形的边长,给出的两条线段的长度之 和相当于涂色小长方形一条长与一条宽的和,再乘 2就是涂色小长方形的周长。 提分真题集训 1. 18 2. 63 15 解析:淘汰赛,每场淘汰一人,需要淘汰 64-1=63(人),需要比63场,双打比赛共有32÷ 2=16(支)队伍参加,需要淘汰16-1=15(支)队 伍,故需要比15场。 3. 40 45 解析:如图,将甲中的正方形分成面积 相等的两份,那么等腰直角三角形可以分成面积相 等的4份,20÷2×4=40(cm2);将乙中的正方形 分成面积相等的4份,那么等腰直角三角形可以分 成面积相等的9份,20÷4×9=45(cm2)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 4. 64-16π 解析:先看最小的三角形和半圆,最 小的三角形的涂色部分的面积为三角形的面积减 去半圆的面积。由于三角形的两条直角边长是4, 圆心位于斜边的中点,从圆心向三角形的直角边作 垂线,由此即可知道圆的半径应该是直角三角形直 角边的一半,即4÷2=2,半圆的面积公式为πr2÷ 2,则涂色部分的面积是4×4÷2-π×(4÷2)2÷ 2=8-2π;由于最小的两个涂色部分的面积相等, 稍微大一点的三角形的面积是最小的三角形的 2倍,那么涂色部分的面积也是它的2倍,则稍微大 一点的涂色部分的面积是(8-2π)×2,最大的三角 形的面积是最小的三角形面积的4倍,那么涂色部 分的面积是最小的三角形的4倍,则它的面积是 (8-2π)×4,据此把四个部分的面积相加即可。 5. 22 解析:折叠前后对应长度不变,将涂色部分 的边长对应到长方形上面,发现两个涂色部分的周长 之和就是长方形的周长,即(8+3)×2=22(厘米)。 6. D 7. (1) 4 5 (2) 12 n(n+1) 解析:通过观察序号1至4的 图形中小圆片个数可知,当序号为1时,小圆片个 数为(1×2),序号为2时,小圆片个数为(2×3)……也 就是小圆片个数=序号×(序号+1),据此可表示 出序号为n的图形共有的小圆片个数。 8. (10+24)×(24-10+1)÷2=255(根) 解析:将钢管的根数转化为一个上底是10、下底是 24、高是(24-10+1)的梯形面积,利用梯形的面积 公式即可求解。 第七单元整合提升 1. (1) 1+2+3+4+5+…+59+60=(1+60)× 60÷2=1830 (2) 2+4+6+8+…+98+100= (2+100)×(100÷2)÷2=2550 (3) 112+2 1 4+ 318+4 1 16+5 1 32= (1+2+3+4+5)+ 1-132 =153132 (4) 112+2 1 6+3 1 12+4 1 20+ 5130= (1+2+3+4+5)+ 1-12+12-13+13- 1 4+ 1 4- 1 5+ 1 5- 1 6 =1556 2. 3.14×62÷360°×60°=18.84(平方厘米) 解析:求涂色部分的面积可以转化为求扇形CAB 的面积。 3. 10×5÷2×2=50(平方厘米) 解析:根据题 图,易知两个空白部分的面积相等,且三角形ADC 和三角形ABC 的面积相等,都去掉相同的空白部 分后,剩下的面积也相等,即三角形AEB 和另外 两个涂色部分的面积之和相等。 4. 6×(6÷2)=18(cm2) 解析:如图,画出三条半 径,可以看出,涂色部分最左边扇形的面积正好等 于空白半圆中左边扇形的面积,涂色部分最右边扇 形的面积正好等于空白半圆中右边扇形的面积。 所以涂色部分的面积就等于长6cm、宽(6÷2)cm 的长方形的面积。 5. 梯形面积=(上底+下底)×高÷2,而上底=内 圆周长,下底=外圆周长,高=外圆半径-内圆半 径,故这个公式可以说成圆环面积=(内圆周长+ 外圆周长)÷2×径 9.42 解析:根据题意结合图 形可知,梯形的上底等于内圆的周长,梯形的下底等 于外圆的周长,利用圆的周长公式计算出内圆、外圆 的半径分别为1米、2米,故径为2-1=1(米),故圆 环面积=(内圆周长+外圆周长)÷2×径=(6.28+ 12.56)÷2×1=9.42(平方米)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33