周测培优卷十八：平行关系-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷十八 测试内容：平行关系 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025浙江联考）下列说法中，与“直线 平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 2．（2025重庆期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（2024浙江温州月考）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A．   B．     C．   D．   5．（2024贵州黔东南二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025重庆调研）正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2024江西南昌开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 8．（2025浙江杭州月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是（    ） A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2025上海期末）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 10．如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）（2024吉林期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 12．（15分）如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： (1)证明；F，G，H，B四点共面； (2)平面平面﹔ (3)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【附加题】 13．（2025河北邢台月考）一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)证明：平面； (2)设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由. 解题笔记 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十八 测试内容：平行关系 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B A C BC BC 1．A 【详解】 平面 直线与平面无交点 和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 2．A 【详解】对于A，若则由面面平行的性质可得A正确； 对于B，若则或者异面，故B错误； 对于C，若则或，故C错误； 对于D，若则或异面，故D错误. 故选：A 3．C 【详解】因为平面平面，且平面平面， 平面平面，所以，所以， 可得，所以. 故选：C. 4．B 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接，    因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示：    在正方体中，若平面平面， 且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 5．A 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面， 且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面， 故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，， 可得， 所以为等边三角形，所以， 所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    6．C 【详解】取的中点为，连接， 由中位线易知， 又在平面 内，不在平面 内， 所以平面 ，平面 ， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面 ， 又 平面 ， 所以在平面内，又 是侧面 内一点， 所以的轨迹是线段, 易知, ， 所以 长度的取值范围是. 故选：C 7．BC 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 8．BC 【详解】如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN,设AM，CN交于点I， 由可得AM，CN交于点P， 则 平面APC，所以A选项错误； 对于B，由A知M，N在平面APC内， 由题知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC， C1Q平面APC，所以C1Q∥平面APC，所以B选项正确． 对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确． 对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误． 故选：BC. 9． 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 10．①③ 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴，∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 11．【详解】（1）连接,因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 分别是的中点，， 平面，平面，平面， 若平面平面， 又平面，所以. 12．【详解】（1）证明：连接BH，∵FG为的中位线， ∴，∴F，G，H，B四点共面； （2）由（1）知，， ∵平面，平面，∴平面； ∵，平面，平面，∴平面， ∵，EF、EG都在面EFG内，∴平面平面 （3）取的中点N，连接，，∴，， 取的中点M，连接，，∴，， ∴截面为平行四边形，且， 所以截面的面积为． 13．【详解】（1）设，的中点分别为、，连接、， 易得，又，即，， 则，， 又点为的重心，即， 与平行且相等， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 可得平面； （2）直线与平行. 证明如下： ，平面，平面， 平面， 又由平面，平面，平面平面， ； （3）分别取、的中点、，则当点时，有平面， 证明如下： 由、分别为、的中点得， 过点作的平行线交、于、两点， 因为，，所以，即、、、四点共面， 又因为，点为重心， 所以， 又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面， 同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 所以当点时，平面，满足平面. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$