专题10 导数在函数与方程中的应用 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题10 导数在函数与方程中的应用 一、学习目标（100%） 1、掌握导数在研究函数单调性、极值中的作用，能通过导函数符号变化分析原函数图像与x轴的交点情况； 2、理解导数与函数零点的关系，能用导数判断函数是否存在零点，并理解零点存在定理的应用条件； 3、掌握函数零点个数的判断方法，通过导数分析函数的单调性与极值，结合数形结合思想，判断函数零点的个数（如三次函数、含参函数的零点问题）； 4、熟练运用分离参数法，将零点问题转化为两函数图像交点问题，借助导数研究新函数的性质。 5、能根据零点个数或位置，分类讨论参数的范围，如极值点符号、区间端点值分析。 6、掌握通过构造辅助函数分析参数范围的方法，如将方程根问题转化为函数极值问题。 7、理解隐零点的存在性，能通过虚设零点结合单调性证明或求解相关不等式。 8、能将零点问题与不等式、极值、最值结合，解决实际应用中的优化问题（如利润最大、成本最小等模型）。 9、理解零点与方程根的等价性，解决涉及函数图像交点的综合题型。 二、课前热身（20%） 1. 下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 3. 函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 4. 声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），若某人交谈时的声强级为，则其声强约为（   ） A． B． C． D． 5. 已知函数，对任意实数，方程有解，则的取值范围是 . 三、知识梳理 考点一： 零点的基础知识 1. 函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2. 方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3. 零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 【即时演练】（30%） 对点训练：4. 已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】，所以， 因为是方程的一个解， 所以是方程的解，令， 则，当时，恒成立， 所以单调递增， 又， 所以. 故选：C. 对点训练：2. 已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即， 而函数是奇函数，则有， 所以. 故选：D 对点训练：3. 已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； ； 故选：A. 对点训练：4. 已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则．故选：D． 考点二： 零点定理 1、求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式； （2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. （3）导数法：唯一零点条件（若函数在区间内单调，导数符号不变，则零点唯一） 2、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【即时演练】（45%） 对点训练：1. 已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B． 对点训练：2. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 对点训练：3. 已知函数，，则其值域为 ． 【解析】令，∵，∴， ∴， 又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即， . 故答案为：. 对点训练：4. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵和在上是增函数， ∴在上是增函数， ∴只需即可，即，解得. 故选：D. 对点训练：5. 已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________. 【解析】设，则， 此时，则， 令， 当时，， 记，则， 所以在上递增，在上递减， 故,所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点三： 方程根的个数与函数零点问题 1、三次方程的根： 若 ,设 是 的两个极值点,且 . 1. 有一个零点 或 . 2. 有两个零点 . 3. 有三个零点 . 2、函数对称性与零点. ①已知 关于直线 对称,且 有唯一的零点则 . ②已知 关于点 对称,且 有唯一的零点,则 . ③已知 关于直线 对称,且 有 2 个零点 ,则 . ④已知 关于点 对称,且 有 2 个零点 ,则 . ⑤已知 关于直线 对称,且 有 7 个零点 ,则 . ⑥已知 关于点 对称,且 有 7 个零点 ,则 . 3、原函数 在点 处取到最值等于导函数 =0的零点. 【即时演练】（60%） 对点训练：1. 已知函数 有三个不同的零点,则 的取值范围是 . 【解析】 ,令 ,得 或 , 有三个不同的零点, , . 故答案为(-3,-2) 对点训练：2. 已知实数，满足，，则________. 【解析】由，即， 即， 令，则， 即，即. 由，得， 设函数，显然该函数增函数， 又， 所以函数在上有唯一的零点， 因此，即， 所以. 故答案为：4. 对点训练：3. 设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 【解析】因为，所以，其图象如图所示， 又有四个实数根，由图知，得到，即，且， 由，得到或，所以， 所以， 令，，易知在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为， 故答案为：. 对点训练：4. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】对函数求导可知在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 对点训练：5.已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 四、综合检验（80%） 1. (多选)已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．函数有两个零点 2. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 3. 已知函数且在区间上有唯一零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知实数，满足，，则________. 5. 已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________. 五、课后作业（100%） 跟踪训练：1. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】二次函数的对称轴为，且开口向下， 因为函数是正实数集上的增函数， 又函数在区间上有两个零点， 则在区间上单调递减，且恒成立， 只需满足， 故选：C. 跟踪训练：2. 已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，∴有唯一零点0， 函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴． 故选：A． 跟踪训练：3. 函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【解析】由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 跟踪训练：4. 已知关于x的方程，若方程在区间上有解，则的最大值为__________. 【解析】设，则， 此时，则， 令， 当时，， 记，则， 所以在上递增，在上递减， 故,所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 跟踪训练：5. 若曲线有两条过的切线，则a的范围是______. 【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：. 因过，则，由题函数图像 与直线有两个交点.， 得在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 据此可得大致图像如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线. 故答案为： 跟踪训练：6. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． (1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； (2)求证：是的“4重覆盖函数”； (3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由可知：，函数的图像如图所示： 当时， ， 当时，解得， 所以不是的“2重覆盖函数”； （2）证明：因为， 所以， 又因为， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 又因，可得为奇函数且单调递增， 作出两函数的内的大致图像，如图所示： ， 而函数在上单调递增，且，所以， 由此可知在内有4个解． 所以是在的“4重覆盖函数”； （3）可得的定义域为， 即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）， ∵，∴， 所以， 所以， 即， 即对任意，有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根， 当时，，符合题意， 当时，则需满足，解得， 当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立． 综上，实数a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$